空间偶和带基点空间

             

预备知识 映射空间

定义 1 不交并

   给定集合 $A$ 和 $B$.如果在对这两个集合取并时特别区分两个集合中的元素,强行认为它们没有交集,这样取出来的并集被称为 $A$ 和 $B$ 的不交并,记为 $A\amalg B$.

例 1 不交并的例子

  • 给定集合 $A=\{1,2,3\}$,$B=\{2,3,4\}$,给两集合中的元素打上各自的标签以进行区分,得到 $A'=\{1_A, 2_A, 3_A\}$ 和 $B'=\{2_B, 3_B, 4_B$,那么并集 $A'\cup B'=\{1_A, 2_A, 3_A, 2_B, 3_B, 4_\}=\{1, 2_A, 3_A, 2_B, 3_B, 4\}$ 也就是不交并 $A\amalg B$.
  • 给定两个一维球(圆)$A=\{(x, y)|x^2+y^2=1\}$ 和 $B=\{(x, y)|(x-1)^2+y^2=3\}$,那么 $A\cup B$ 是两个粘在一起的圆,而 $A\amalg B$ 是两个分开的圆.由于在拓扑意义上,任何两个圆都是同胚的,取不交并时也强行将其分开了,我们就可以把任何圆简单记为 $S^1$ 再作不交并.一般地,$S^n$ 表示任意一个 $n$ 维球面.

定义 2 空间偶

  • 把拓扑空间 $X$ 和它的一个子空间 $A$ 绑定,记为 $(X, A)$,称其为一个空间偶
  • 如果一个连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 还满足 $f(A)\subseteq B$,即限制在 $A$ 上时可以认为 $f:A\rightarrow B$,那么我们也称这是一个空间偶之间的映射 $f:(X, A)\rightarrow(Y, B)$.
  • 空间偶的映射空间 $(Y, B)^{(X, A)}$ 是所有满足 $f(A)\subseteq B$ 的连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 的集合.显然这是 $Y^X$ 的子集,因此我们定义其拓扑为 $Y^X$ 的子拓扑.
  • 乘积空间偶 $(X, A)\times(Y,B)$ 定义为 $(X\times Y, (X\times B)\cup(A\times Y))$.特别地,$X\cong(X, \varnothing)$,所以由 $X\times(Y, B)=(X\times Y, X\times B)$.

定义 3 带基点空间

   取拓扑空间 $X$ 中的一个点 $x_0$.称空间偶 $(X, \{x_0\})=(X, x_0)$ 是一个带基点空间,称 $x_0$ 为这个带基点空间的基点

定义 4 带基点空间的一点并和压缩积

  

  • 给定带基点空间 $(X, x_0)$ 和 $(Y, y_0)$.记 $(X\amalg Y)/(x_0\sim y_0)=(X, x_0)\vee(Y, y_0)=(X\vee Y, x_0\vee y_0)$,称为 $(X, x_0)$ 和 $(Y, y_0)$ 的一点并.换句话说,一点并就是将两个带基点空间进行不交并,然后再把基点粘在一起.
  • 记 $(X\land Y, x_0\land y_0)=(X, x_0)\land(Y, y_0)=X\times Y/\sim$,其中 $\sim$ 定义为 $\forall x\in X, y\in Y$ 有 $ (x, y_0)\sim(x_0, y)\sim(x_0, y_0)$.
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