空间偶和带基点空间
贡献者： JierPeter
定义 1 不交并
给定集合 $A$ 和 $B$。如果在对这两个集合取并时特别区分两个集合中的元素，强行认为它们没有交集，这样取出来的并集被称为 $A$ 和 $B$ 的不交并，记为 $A\amalg B$。
例 1 不交并的例子
- 给定集合 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，给两集合中的元素打上各自的标签以进行区分，得到 $A'=\{1_A, 2_A, 3_A\}$ 和 $B'=\{2_B, 3_B, 4_B$，那么并集 $A'\cup B'=\{1_A, 2_A, 3_A, 2_B, 3_B, 4_\}=\{1, 2_A, 3_A, 2_B, 3_B, 4\}$ 也就是不交并 $A\amalg B$。
- 给定两个一维球（圆）$A=\{(x, y)|x^2+y^2=1\}$ 和 $B=\{(x, y)|(x-1)^2+y^2=3\}$，那么 $A\cup B$ 是两个粘在一起的圆，而 $A\amalg B$ 是两个分开的圆。由于在拓扑意义上，任何两个圆都是同胚的，取不交并时也强行将其分开了，我们就可以把任何圆简单记为 $S^1$ 再作不交并。一般地，$S^n$ 表示任意一个 $n$ 维球面。
定义 2 空间偶
- 把拓扑空间 $X$ 和它的一个子空间 $A$ 绑定，记为 $(X, A)$，称其为一个空间偶。
- 如果一个连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 还满足 $f(A)\subseteq B$，即限制在 $A$ 上时可以认为 $f:A\rightarrow B$，那么我们也称这是一个空间偶之间的映射 $f:(X, A)\rightarrow(Y, B)$。
- 空间偶的映射空间 $(Y, B)^{(X, A)}$ 是所有满足 $f(A)\subseteq B$ 的连续映射 $f:X\rightarrow Y$ 的集合。显然这是 $Y^X$ 的子集，因此我们定义其拓扑为 $Y^X$ 的子拓扑。
- 乘积空间偶 $(X, A)\times(Y,B)$ 定义为 $(X\times Y, (X\times B)\cup(A\times Y))$。特别地，$X\cong(X, \varnothing)$，所以由 $X\times(Y, B)=(X\times Y, X\times B)$。
定义 3 带基点空间
取拓扑空间 $X$ 中的一个点 $x_0$。称空间偶 $(X, \{x_0\})=(X, x_0)$ 是一个带基点空间1，称 $x_0$ 为这个带基点空间的基点。
定义 4 带基点空间的一点并和压缩积
- 给定带基点空间 $(X, x_0)$ 和 $(Y, y_0)$。记 $(X\amalg Y)/(x_0\sim y_0)=(X, x_0)\vee(Y, y_0)=(X\vee Y, x_0\vee y_0)$，称为 $(X, x_0)$ 和 $(Y, y_0)$ 的一点并。换句话说，一点并就是将两个带基点空间进行不交并，然后再把基点粘在一起。
- 记 $(X\land Y, x_0\land y_0)=(X, x_0)\land(Y, y_0)=X\times Y/\sim$，其中 $\sim$ 定义为 $\forall x\in X, y\in Y$ 有 $ (x, y_0)\sim(x_0, y)\sim(x_0, y_0)$。
1. ^ 这里的 “带” 是个动词，即 “带了个基点的空间”。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。