空间偶和带基点空间

定义 1　不交并

　　 给定集合 $A$ 和 $B$。如果在对这两个集合取并时特别区分两个集合中的元素，强行认为它们没有交集，这样取出来的并集被称为 $A$ 和 $B$ 的不交并，记为 $A⨿B$。

定义 2　空间偶

• 把拓扑空间 $X$ 和它的一个子空间 $A$ 绑定，记为 $(X,A)$，称其为一个空间偶。
• 如果一个连续映射 $f:X\to Y$ 还满足 $f(A)\subseteq B$，即限制在 $A$ 上时可以认为 $f:A\to B$，那么我们也称这是一个空间偶之间的映射 $f:(X,A)\to (Y,B)$。
• 空间偶的映射空间 $(Y,B{)}^{(X,A)}$ 是所有满足 $f(A)\subseteq B$ 的连续映射 $f:X\to Y$ 的集合。显然这是 $Y^X$ 的子集，因此我们定义其拓扑为 $Y^X$ 的子拓扑。
• 乘积空间偶 $(X,A)\times (Y,B)$ 定义为 $(X\times Y,(X\times B)\cup (A\times Y))$。特别地，$X\cong (X,\varnothing )$，所以由 $X\times (Y,B)=(X\times Y,X\times B)$。

定义 3　带基点空间

　　 取拓扑空间 $X$ 中的一个点 $x_0$。称空间偶 $(X,\{x_0\})=(X,x_0)$ 是一个带基点空间¹，称 $x_0$ 为这个带基点空间的基点。

定义 4　带基点空间的一点并和压缩积

• 给定带基点空间 $(X,x_0)$ 和 $(Y,y_0)$。记 $(X⨿Y)/(x_0\sim y_0)=(X,x_0)\vee (Y,y_0)=(X\vee Y,x_0\vee y_0)$，称为 $(X,x_0)$ 和 $(Y,y_0)$ 的一点并。换句话说，一点并就是将两个带基点空间进行不交并，然后再把基点粘在一起。
• 记 $(X\wedge Y,x_0\wedge y_0)=(X,x_0)\wedge (Y,y_0)=X\times Y/\sim$，其中 $\sim$ 定义为 $\mathrm{\forall }x\in X,y\in Y$ 有 $(x,y_0)\sim (x_0,y)\sim (x_0,y_0)$。