群的自由积

　　 将自由群的概念推广，即可得到两个群之间的自由积的概念．

1. 自由积的构造

　　 给定两个群 $G$ 和 $H$，取集合 $G\cup H$ 上的自由群 $F(G\cup H)$，则 $F(G\cup H)$ 的元素形如 $x_1x_2\cdots x_k$ 的有限长字符串，其中 $k$ 是某个正整数，各 $x_i$ 都是 $G\cup H$ 的元素．

　　 在 $F(G\cup H)$ 上定义一个等价关系：如果字符串 $g_1g_2\cdots g_k$ 中各 $g_i\in G$，那么令 $g_1g_2\cdots g_k\sim g_1\cdot g_2\cdot\cdots\cdot g_k$，即把该字符串等同于各字母在群 $G$ 中运算的结果；同样地把字母都是 $H$ 中元素的字符串等同于这些元素在群 $H$ 中的运算结果；把 $G$ 和 $H$ 的单位元等同于空词．比如说，在整数加法群 $\mathbb{Z}$ 中，把字符串 $123$ 等同于数字 $1+2+3$ 所代表的字符串，即只有一个字母 $6$ 的字符串．

　　 这样一来，商群 $F(G\cup H)/\sim$ 中的字符串就形如 $g_1h_1g_2h_2\cdots g_kh_k$、$g_1h_1g_2h_2\cdots g_k$、$h_1g_1h_2g_2\cdots h_kg_k$ 或 $h_1g_1h_2g_2\cdots h_k$ 的字符串，或者简单来说，有限长的 $g$ 和 $h$ 的交替字符串，其中 $g, g_i\in G$，$h, h_i\in H$．

　　 称商群 $F(G\cup H)/\sim$ 为群 $G$ 和群 $H$ 的自由积（free product），记为 $G*H$．

2. 共合积

　　 简单来说，$G*_FH$ 的元素依然是 $H$ 和 $G$ 中元素交替排列的字符串，但是在给定同态 $\phi:F\rightarrow G$ 和 $\varphi:F\rightarrow H$ 时，把所有 $\phi(f)\sim\varphi(f)$ 都看成等价元素．