群的自由积

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 自由群

   将自由群的概念推广,即可得到两个群之间的自由积的概念。

1. 自由积的构造

   给定两个群 $G$ 和 $H$,取集合 $G\cup H$ 上的自由群 $F(G\cup H)$,则 $F(G\cup H)$ 的元素形如 $x_1x_2\cdots x_k$ 的有限长字符串,其中 $k$ 是某个正整数,各 $x_i$ 都是 $G\cup H$ 的元素。

   在 $F(G\cup H)$ 上定义一个等价关系:如果字符串 $g_1g_2\cdots g_k$ 中各 $g_i\in G$,那么令 $g_1g_2\cdots g_k\sim g_1\cdot g_2\cdot\cdots\cdot g_k$,即把该字符串等同于各字母在群 $G$ 中运算的结果;同样地把字母都是 $H$ 中元素的字符串等同于这些元素在群 $H$ 中的运算结果;把 $G$ 和 $H$ 的单位元等同于空词。比如说,在整数加法群 $\mathbb{Z}$ 中,把字符串 $123$ 等同于数字 $1+2+3$ 所代表的字符串,即只有一个字母 $6$ 的字符串。

   这样一来,商群 $F(G\cup H)/\sim$ 中的字符串就形如 $g_1h_1g_2h_2\cdots g_kh_k$、$g_1h_1g_2h_2\cdots g_k$、$h_1g_1h_2g_2\cdots h_kg_k$ 或 $h_1g_1h_2g_2\cdots h_k$ 的字符串,或者简单来说,有限长的 $g$ 和 $h$ 的交替字符串,其中 $g, g_i\in G$,$h, h_i\in H$。

   称商群 $F(G\cup H)/\sim$ 为群 $G$ 和群 $H$ 的自由积(free product),记为 $G*H$。

2. 共合积

定义 1 共合积

   设有三个群 $F, G, H$,且有群同态 $\phi:F\rightarrow G$ 和 $\varphi:F\rightarrow H$,那么可以定义 $G$ 和 $H$ 关于 $F$ 的共合积 $G*_FH$ 如下:

   $G*_FH$ 是 $G*H$ 的商集,$G*H/\sim$,其中等价关系为:$\forall f\in F, \phi(f)\sim\varphi(f)$。

   简单来说,$G*_FH$ 的元素依然是 $H$ 和 $G$ 中元素交替排列的字符串,但是在给定同态 $\phi:F\rightarrow G$ 和 $\varphi:F\rightarrow H$ 时,把所有 $\phi(f)\sim\varphi(f)$ 都看成等价元素。

   既然是自由群上规定等价关系得来的,共合积也可以用描述为自由群的商群。

定理 1 

   给定互不相交的群 $G$ 和 $H$,再给定群 $F$ 和群同态$\varphi:F\to G$ 和 $\phi: F\to H$。

   令 $S$ 为 $G*H$ 上全体形如 $A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}$ 和 $A\phi(x)\varphi(x^{-1})A^{-1}$ 的元素构成的集合,其中 $A\in G*H$,$x\in F$,则由 $S$ 生成的 $G*H$ 的子群 $\langle S \rangle$ 是 $G*H$ 的正规子群

   进一步有 $G*_FH=G*H/\langle S \rangle$。

   证明

   $\langle S \rangle \lhd G*H$ 很好证,从形式上就可以,此处只举一例权作证明思路:对于 $A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}B\phi(y)\varphi(y^{-1})B^{-1}\in \langle S \rangle$,任取 $C\in G*H$,则

\begin{equation} \begin{aligned} &CA\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}B\phi(y)\varphi(y^{-1})B^{-1}C^{-1} \\ ={}& CAC^{-1}C\varphi(x)\phi(x^{-1})C^{-1}CA^{-1}C^{-1}CBC^{-1}C\phi(y)\varphi(y^{-1})C^{-1}CB^{-1}C^{-1}\\ ={}& (CAC^{-1}C)\varphi(x)\phi(x^{-1})(CAC^{-1}C)^{-1}(CBC^{-1}C)\phi(y)\varphi(y^{-1})(CBC^{-1}C)^{-1}\\ \in{}& \langle S \rangle~. \end{aligned} \end{equation}

   下证 $G*H/\langle S \rangle \cong G*_F H$。

   定义满同态 $\sigma:G*H\to G*_FH$,使得 $\sigma$ 限制在 $G$ 或 $H$ 上都是恒等映射。

   取 $G*H\subseteq G*H*F$ 中的一个已化简的词 $W$,则 $\sigma(W)$ 等价于把 $W$ 中能替换为 $F$ 中元素的字母都替换了。替换后,如果有来自 $F$ 的字母相邻,将它们进行 $F$ 的群运算,再把所得新词中来自 $F$ 的字母都替换回 $G$ 或 $H$ 中,化简,所得结果依然等价于1 $W$。$G*H$ 中任何等价于 $W$ 的词都可以按这个程序得出。

   如果 $W$ 中没有任何字母可以替换,那么 $W$ 无法化简为空字。

   于是,如果 $\sigma(W)=1$,则 $W$ 中必有可以替换进 $F$ 的字母。挑其中一个这样的字母如 $a=\varphi(x)$,则可将其补充为 $a\phi(x^{-1})\phi(x)$,使得 $W$ 作为自由积 $G*H$ 不变。补充后,保持 $a\phi(x^{-1})$ 部分不动,剩下部分按自由积的定义化简。接下来,在剩下的可替换进 $F$ 的字母中挑一个,重复上述补充、化简的程序2

   可替换字母乘以一个不可替换字母,结果一定是不可替换的3

   将上述步骤最后所得的词按共合积的定义化简,即先将所有形如 $\varphi(x)\phi(x^{-1})$ 和 $\phi(x)\varphi(x^{-1})$ 的元素化为 $1$,然后将所得结果按自由积的定义化简。此时如果所得结果是 $1$,那么 $W$ 确实是 $S$ 中的元素相乘而得;如果不是,那么它已经不可再施行上述补充、化简的程序,从而 $W$ 不可能等价为 $1$。

   综上,$ \operatorname {ker}\sigma\subseteq \langle S \rangle $

   又显然有 $\langle S \rangle \subseteq \operatorname {ker}\sigma$,从而 $ \operatorname {ker}\sigma=\langle S \rangle$。由群同态基本定理即可得证。

   证毕

   $\langle S \rangle$ 实际上是 $G*H$ 中包含形如 $\varphi(x)\phi(x^{-1})$ 和 $\phi(x)\varphi(x^{-1})$ 的元素的最小正规子群。你可能会疑问,如果包含这些元素的最小正规子群是 $N$,那么任取 $A, B\in G*H$,应有

\begin{equation} \begin{aligned} &\varphi(x)\phi(x^{-1}), \varphi(y)\phi(y^{-1})\in N \\ \implies{}& A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}\in N\\ \implies{}& \varphi(y)\phi(y^{-1})A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}\in N\\ \implies{}& B\varphi(y)\phi(y^{-1})A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}B^{-1}\in N \end{aligned} ~. \end{equation}
最右端这个词似乎不是直接由 $S$ 的元素相乘而得的,但它其实是的:
\begin{equation} \begin{aligned} &B\varphi(y)\phi(y^{-1})A\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}B^{-1} \\ ={}& \left(B\varphi(y)\phi(y^{-1})B^{-1} \right) \left(BA\varphi(x)\phi(x^{-1})A^{-1}B^{-1} \right) \end{aligned} ~. \end{equation}


1. ^ 比如令 $W=g_1h_1g_2h_2g_3$,替换后可能得到 $g_1h_1x_1x_2g_3$,如果 $x_1x_2=x_3$,则 $W$ 还等价于 $g_1h_1x_3g_3$,这时候我们再把 $x_3$ 替换为 $\varphi(x_3)$ 或者 $\phi(x_3)$,将它和 $g_3$ 或者 $h_1$ 运算后得到剩下的词。
2. ^ 举例而言,设 $f_i\in F$,令 $\varphi(f_i)=a_i, \phi(f_i)=b_i$,而 $W=\cdots a_1b_2a_3 \cdots$。先对 $a_1$ 进行程序,所得结果为 $\cdots a_1b_1^{-1}b_1b_2a_3 \cdots $,注意此时 $b_1b_2$ 是一个元素。接下来对 $b_1b_2$ 进行程序,得到 $\cdots a_1b_1^{-1}b_1b_2a_2^{-1}a_1^{-1}a_1a_2a_3 \cdots $;再对 $a_1a_2a_3$ 进行程序,得到 $\cdots a_1b_1^{-1}b_1b_2a_2^{-1}a_1^{-1}a_1a_2a_3b_3^{-1}b_2^{-1}b_1^{-1}b_1b_2b_3 \cdots $。最后这一步的最后三个字母 $b_1b_2b_3$ 要乘进后面的省略号里,该省略号的第一个字母确实是 $H$ 的元素。
3. ^ 原因是子群中的元素乘以子群外的元素一定在子群外,这可由消去律得。这里的子群就是 $\varphi(F)$ 和 $\phi(F)$。


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