群的自由积

             

预备知识 自由群

   将自由群的概念推广,即可得到两个群之间的自由积的概念.

1. 自由积的构造

   给定两个群 $G$ 和 $H$,取集合 $G\cup H$ 上的自由群 $F(G\cup H)$,则 $F(G\cup H)$ 的元素形如 $x_1x_2\cdots x_k$ 的有限长字符串,其中 $k$ 是某个正整数,各 $x_i$ 都是 $G\cup H$ 的元素.

   在 $F(G\cup H)$ 上定义一个等价关系:如果字符串 $g_1g_2\cdots g_k$ 中各 $g_i\in G$,那么令 $g_1g_2\cdots g_k\sim g_1\cdot g_2\cdot\cdots\cdot g_k$,即把该字符串等同于各字母在群 $G$ 中运算的结果;同样地把字母都是 $H$ 中元素的字符串等同于这些元素在群 $H$ 中的运算结果;把 $G$ 和 $H$ 的单位元等同于空词.比如说,在整数加法群 $\mathbb{Z}$ 中,把字符串 $123$ 等同于数字 $1+2+3$ 所代表的字符串,即只有一个字母 $6$ 的字符串.

   这样一来,商群 $F(G\cup H)/\sim$ 中的字符串就形如 $g_1h_1g_2h_2\cdots g_kh_k$、$g_1h_1g_2h_2\cdots g_k$、$h_1g_1h_2g_2\cdots h_kg_k$ 或 $h_1g_1h_2g_2\cdots h_k$ 的字符串,或者简单来说,有限长的 $g$ 和 $h$ 的交替字符串,其中 $g, g_i\in G$,$h, h_i\in H$.

   称商群 $F(G\cup H)/\sim$ 为群 $G$ 和群 $H$ 的自由积(free product),记为 $G*H$.

2. 共合积

定义 1 共合积

   设有三个拓扑空间 $F, G, H$,且有同态 $\phi:F\rightarrow G$ 和 $\varphi:F\rightarrow H$,那么可以定义 $G$ 和 $H$ 关于 $F$ 的共合积 $G*_FH$ 如下:

   $G*_FH$ 是 $G*H$ 的商空间,$G*H/\sim$,其中等价关系为:$\forall f\in F, \phi(f)\sim\varphi(f)$.

   简单来说,$G*_FH$ 的元素依然是 $H$ 和 $G$ 中元素交替排列的字符串,但是在给定同态 $\phi:F\rightarrow G$ 和 $\varphi:F\rightarrow H$ 时,把所有 $\phi(f)\sim\varphi(f)$ 都看成等价元素.

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