氦原子中的对易算符与能项符号

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　类氢原子的束缚态

　　要思考是否对易，除了直接计算以外，也可以思考定理 1 中的其他等效条件，例如是否存在一组共同本征矢，又例如 $A$ 是否在 $B$ 的本征子空间闭合，也就是 $A$ 是否会耦合 $B$ 的不同本征值的本征矢（ $⟨ b_{i} | A | b_{j} ⟩ \neq 0$ ）。

　　氦原子中总哈密顿算

\begin{matrix} (1) & H = H_{1} + H_{2} + V_{12}, H_{i} = K_{i} + \frac{L_{i}^{2}}{2 r_{i}^{2}} . \end{matrix}

K_{i}

是纯径向算符（只和

r_{i}

有关），所有的

L

都是纯角向算符（只和角度有关），纯径向算符和纯角向算符可对易。不同

i

的任意算符可对易。

　　所以 $L_{1}^{2}, L_{2}^{2}, L^{2}, L_{z}$ 两两对易， $L_{1}^{2}, L_{2}^{2}, L_{1 z}, L_{2 z}$ 也两两对易， $L_{z}$ 和 $L_{i z}$ 对易，但 $L^{2}$ 和单个 $L_{i z}$ 不对易。

　　比较复杂的是 $V_{12}$ ，既有径向也有角向，且耦合两个电子（式 9 ）

\begin{matrix} (2) & [V_{12}, L^{2}] = [V_{12}, M] = 0, [V_{12}, L_{i}^{2}] \neq 0, [V_{12}, L_{i z}] \neq 0 . \end{matrix}

从经典力学的角度来看这是成立的。

　　已经数值验证： $⟨ l_{1}^{'}, l_{2}^{'}, L^{'}, M^{'} | Y_{l, l}^{0, 0} | l_{1}, l_{2}, L, M ⟩ = δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}}$ 。说明 $H$ 只会耦合不同的 $l_{1}, l_{2}$ 而不会耦合不同的 $L, M$ 。 $H$ 的其他部分不会耦合任何不同的分波。根据定理 1 这说明 $H, L^{2}, L_{z}$ 两两对易，可以在每个 $L, M$ 本征子空间中分别求解能量本征值。这可以用于束缚态能量求解。

　　另外容易证明宇称算符 $Π$ 和 $H$ 对易，和 $L^{2}$ 、 $L_{z}$ 也对易（用式 4 式 5 ）。所以 $H, L^{2}, L_{z}, Π$ 两两对易。最后还可以加上粒子交换算符 $P_{12}$ ，得到 $H, L^{2}, L_{z}, Π, P_{12}$ 两两对易。单自旋态的氦原子的空间波函数满足交换对称，三重态自旋满足交换反对称。这样就可以写出氦原子束缚态的能项符号（ $M = 0$ ）

\begin{matrix} (3) & n^{2 S + 1} L^{o / e} . \end{matrix}

其中

L = 0, 1, 2

分别对应

S, P, D

等，单态

S = 0

，三重态

S = 1

，若所有组成的分波都是

l_{1} + l_{2}

为偶，那么宇称就是 e，若所有都为奇，则宇称为 o。

　　所以若把波函数展开为式 2 ，在单个 $L, M$ 本征子空间中，对 $l_{1}, l_{2}$ 的求和中还可以指定 $l_{1} + l_{2}$ 的奇偶性，以及二维径向波函数基底的交换对称性。如果用张量积基底 $ψ (r_{1}, r_{2}) = \sum ψ (r_{1}) ψ (r_{2})$ ，那么解出来以后既有单态也有三重态。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。