氦原子中的对易算符

             

贡献者: addis

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预备知识 类氢原子的束缚态,对易算符

   要思考是否对易,除了直接计算以外,也可以思考定理 1 中的其他等效条件,例如是否存在一组共同本征矢,又例如 $A$ 是否在 $B$ 的本征子空间闭合,也就是 $A$ 是否会耦合 $B$ 的不同本征值的本征矢($ \left\langle b_i \middle| A \middle| b_j \right\rangle \ne 0$).

   氦原子中总哈密顿算

\begin{equation} H = H_1 + H_2 + V_{12} \qquad H_i = K_i + \frac{L_i^2}{2r^2} \end{equation}
$K_i$ 是纯径向算符(只和 $r_i$ 有关),所有的 $L$ 都是纯角向算符(只和角度有关),纯径向算符和纯角向算符可对易.不同 $i$ 的任意算符可对易.

   所以 $L_1^2, L_2^2, L^2, L_z$ 两两对易,$L_1^2, L_2^2, L_{1z}, L_{2z}$ 也两两对易,$L_z$ 和 $L_{iz}$ 对易,但 $L^2$ 和单个 $L_{iz}$ 不对易.

   比较复杂的是 $V_{12}$,既有径向也有角向,且耦合两个电子(式 8

\begin{equation} [V_{12}, L^2] = [V_{12}, M] = 0 \qquad [V_{12}, L_i^2] \ne 0 \qquad [V_{12}, L_{iz}] \ne 0 \end{equation}
从经典力学的角度来看这是成立的.

   已经数值验证:$ \langle{l'_1,l'_2,L',M'}|{\mathcal Y_{l,l}^{0,0}}|{l_1,l_2,L,M}\rangle = \delta_{L,L'}\delta_{M,M'}$.说明 $H$ 只会耦合不同的 $l_1,l_2$ 而不会耦合不同的 $L,M$.$H$ 的其他部分不会耦合任何不同的分波.根据定理 1 这说明 $H,L^2,L_z$ 两两对易,可以在每个 $L,M$ 本征子空间中分别求解能量本征值.这可以用于束缚态能量求解.


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