广义球谐函数

             

预备知识 CG 系数

   有了 CG 系数的相位约定和球谐函数的相位约定,就可以定义广义球谐函数(Generalized Spherical Harmonics)

\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1 m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \end{equation}
由于只有 $m_1 + m_2 = M$ 时 CG 系数才不为零,公式中令 $m_2 = M - m_1$,求和就由双重求和变为了单个求和,而且只有有限项.$m_1$ 的上下限满足 $-l_1 \leqslant m_1 \leqslant l_1$,$-l_2 \leqslant M-m_1 \leqslant l_2$ 即
\begin{equation} \max\{-l_1, M-l_2\} \leqslant m_1 \leqslant \max\{l_1, M+l_1\} \end{equation}
在 Mathematica 中可以把广义球谐函数定义为1
YY[l1_, l2_, L_, M_, θ1_, ϕ1_, θ2_, ϕ2_] := 
 Sum[ClebschGordan[{l1, m1}, {l2, M - m1}, {L, M}] SphericalHarmonicY[
    l1, m1, θ1, ϕ1] SphericalHarmonicY[l2, 
    M - m1, θ2, ϕ2], {m1, Max[-l1, -l2 + M], 
   Min[l2, l2 + M]}]

1. 宇称

   宇称(parity)算符 $\Pi$ 的作用是把所有自变量乘以 $-1$ 得到的函数.本征函数是所有中心对称或反对车的函数,本征值为分别为 $\pm 1$.

   球谐函数是宇称算符的本征矢,本征值为 $(-1)^l$(式 19 ),易得广义球谐函数也是宇称算符的本征矢,本征值为 $(-1)^{l_1+l_2}$

\begin{equation} \Pi \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = (-1)^{l_1+l_2} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \end{equation}

2. 交换对称性

   广义球谐函数不具有交换对称性2(除非 $l_1 = l_2$)

\begin{equation} P_{12} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \end{equation}
也可以记为
\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) \end{equation}
但是我们可以轻易构造对称(+)或反对称(-)的函数
\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \pm (-1)^{l_1+l_2-L}\mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \end{equation}
\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = R(r_1, r_2)\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) - R(r_1, r_2)\mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \qquad (l_1+l_2-L = odd) \end{equation}

   证明可以用 CG 系数的对称性(交换左边两列,式 7

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) &= \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1, m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)Y_{l_2, m_2}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) \\ &= (-1)^{l_1+l_2-L} \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_2 & l_1 & L\\ m_2 & m_1 & M\end{bmatrix} Y_{l_2, m_2}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_1, m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\ & = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \end{aligned} \end{equation}
式 4 也可以得到对易关系
\begin{equation} \left[L^2, P_{12}\right] = \left[L_z, P_{12}\right] = 0 \end{equation}
即交换两个粒子不改变总角动量.

   操作类算符(宇称,平移,交换)如果与某物理量算符对易,就说明波函数经过该操作,改物理量守恒.如果哈密顿中的某一项算符(例如 $z$ 方向的电场的 dipole)如果与某物理量算符(例如 $L_z$)对易,就说明波函数经过该传播子传播,该物理量守恒.

3. 正交性

   将式 10 用这里的符号表示,就是

\begin{equation} \int \mathcal{Y}_{l_1', l_2'}^{L', M'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \mathcal{Y}_{l_1, l_2}^{L, M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \,\mathrm{d}{\Omega_1} \,\mathrm{d}{\Omega_2} = \delta_{l_1, l_1'} \delta_{l_2, l_2'} \delta_{L, L'} \delta_{M, M'} \end{equation}

4. 其他性质

\begin{equation} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = (-1)^{l_1 + l_2 + L + M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)^* \end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭.推导如下,
\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) &= \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ -m_1 & -m_2 & -M\end{bmatrix} Y_{l_1,-m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, -m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L} \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1,-m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, -m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1,m_1}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, m_2}^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\ &= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)^* \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 使用时出现的 “not triangular” 警告可忽略.
2. ^ 式中 $l_1+l_2-L$ 前面的负号可以变为加号,但习惯上仍然写成负号,因为虽然球谐函数要求 $L$ 为整数,但在涉及到电子自旋时 $L$ 有可能是半整数,这时就不能变为加号了.

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