贡献者： addis
有了 CG 系数的相位约定和球谐函数的相位约定，就可以由球谐函数定义广义球谐函数（Generalized Spherical Harmonics）
\begin{equation}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1 m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~.
\end{equation}
由于只有 $m_1 + m_2 = M$ 时 CG 系数才不为零，公式中令 $m_2 = M - m_1$，求和就由双重求和变为了单个求和，而且只有有限项。$m_1$ 的上下限满足 $-l_1 \leqslant m_1 \leqslant l_1$，$-l_2 \leqslant M-m_1 \leqslant l_2$ 即
\begin{equation}
\max\{-l_1, M-l_2\} \leqslant m_1 \leqslant \max\{l_1, M+l_1\}~.
\end{equation}
可以看作一个
酉矩阵乘以列向量。
由于式 1 是一个正交变换，其逆变换为
\begin{equation}
Y_{l_1 m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2 m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \sum_{L} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~.
\end{equation}
由于球谐函数一般是复函数，而 CG 系数是实数，所以 $\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}$ 一般也是
复函数。
未完成：什么时候是实数？
Mathematica 代码
在 Mathematica 中可以把广义球谐函数定义为1
YY[l1_, l2_, L_, M_, θ1_, ϕ1_, θ2_, ϕ2_] :=
Sum[ClebschGordan[{l1, m1}, {l2, M - m1}, {L, M}] SphericalHarmonicY[
l1, m1, θ1, ϕ1] SphericalHarmonicY[l2,
M - m1, θ2, ϕ2], {m1, Max[-l1, -l2 + M],
Min[l2, l2 + M]}]
1. 微分方程
广义球谐函数是量子力学中双粒子总角动量算符 $ \hat{L} ^2, \hat{L} _z$ 的本征函数。
\begin{equation}
\hat{L} ^2 \mathcal Y_{l_1,l_2}^{L,M} = L(L+1) \hbar^2 \mathcal Y_{l_1,l_2}^{L,M}~,
\qquad
\hat{L} _z \mathcal Y_{l_1,l_2}^{L,M} = M\hbar \mathcal Y_{l_1,l_2}^{L,M}~.
\end{equation}
2. 宇称
宇称（parity）算符 $\Pi$ 作用在一个函数上，就是把函数所有自变量乘以 $-1$。其本征函数是所有中心对称或反对称的函数，本征值为分别为 $\pm 1$。
球谐函数是宇称算符的本征矢，本征值为 $(-1)^l$（式 25 ），易得广义球谐函数也是宇称算符的本征矢，本征值为 $(-1)^{l_1+l_2}$
\begin{equation}
\Pi \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, - \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = (-1)^{l_1+l_2} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~.
\end{equation}
3. 交换对称性
广义球谐函数不具有交换对称性2（除非 $l_1 = l_2$）
\begin{equation}
P_{12} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) =
(-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~,
\end{equation}
也可以记为
\begin{equation}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) =
(-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1)~.
\end{equation}
但是我们可以轻易构造对称（+）或反对称（-）的函数
\begin{equation}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \pm (-1)^{l_1+l_2-L}\mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) =
R(r_1, r_2)\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) - R(r_1, r_2)\mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~, \qquad (l_1+l_2-L = odd).
\end{equation}
证明可以用 CG 系数的对称性（交换左边两列，式 7 ）
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1)
&= \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L\\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1, m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)Y_{l_2, m_2}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) \\
&= (-1)^{l_1+l_2-L} \sum_{m_1, m_2} \begin{bmatrix}l_2 & l_1 & L\\ m_2 & m_1 & M\end{bmatrix} Y_{l_2, m_2}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_1, m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\
& = (-1)^{l_1+l_2-L} \mathcal{Y}_{l_2,l_1}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)~,
\end{aligned} \end{equation}
从
式 6 也可以得到对易关系
\begin{equation}
\left[L^2, P_{12}\right] = \left[L_z, P_{12}\right] = 0~,
\end{equation}
即交换两个粒子不改变总角动量。
操作类算符（宇称，平移，交换）如果与某物理量算符对易，就说明波函数经过该操作，改物理量守恒。如果哈密顿中的某一项算符（例如 $z$ 方向的电场的 dipole）如果与某物理量算符（例如 $L_z$）对易，就说明波函数经过该传播子传播，该物理量守恒。
4. 正交性
将式 10 用这里的符号表示，就是
\begin{equation}
\int \mathcal{Y}_{l_1', l_2'}^{L', M'}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \mathcal{Y}_{l_1, l_2}^{L, M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) \,\mathrm{d}{\Omega_1} \,\mathrm{d}{\Omega_2} = \delta_{l_1, l_1'} \delta_{l_2, l_2'} \delta_{L, L'} \delta_{M, M'}~.
\end{equation}
5. 其他性质
\begin{equation}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) = (-1)^{l_1 + l_2 + L + M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)^*~,
\end{equation}
其中 $*$ 表示复共轭。推导如下，
\begin{equation}
\begin{aligned}
\mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,-M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2) &= \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ -m_1 & -m_2 & -M\end{bmatrix} Y_{l_1,-m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, -m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\
&= (-1)^{l_1+l_2+L} \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1,-m_1}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, -m_2} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\
&= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \sum_{m_1+m_2 = M} \begin{bmatrix}l_1 & l_2 & L \\ m_1 & m_2 & M\end{bmatrix} Y_{l_1,m_1}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1) Y_{l_2, m_2}^* ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)\\
&= (-1)^{l_1+l_2+L+M} \mathcal{Y}_{l_1,l_2}^{L,M}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} _2)^*~.
\end{aligned} \end{equation}
1. ^ 使用时出现的 “not triangular” 警告可忽略。
2. ^ 式中 $l_1+l_2-L$ 前面的负号可以变为加号，但习惯上仍然写成负号，因为虽然球谐函数要求 $L$ 为整数，但在涉及到电子自旋时 $L$ 有可能是半整数，这时就不能变为加号了。
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