广义球谐函数

贡献者： addis

预备知识　CG 系数，球谐函数

　　有了 CG 系数的相位约定和球谐函数的相位约定，就可以由球谐函数定义广义球谐函数（Generalized Spherical Harmonics）

\begin{matrix} (1) & Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) = \sum_{m_{1}, m_{2}} [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{matrix}] Y_{l_{1} m_{1}} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{2} m_{2}} ({\hat{r}}_{2}) . \end{matrix}

由于只有

m_{1} + m_{2} = M

时 CG 系数才不为零，公式中令

m_{2} = M - m_{1}

，求和就由双重求和变为了单个求和，而且只有有限项。

m_{1}

的上下限满足

- l_{1} ⩽ m_{1} ⩽ l_{1}

，

- l_{2} ⩽ M - m_{1} ⩽ l_{2}

即

\begin{matrix} (2) & max {- l_{1}, M - l_{2}} ⩽ m_{1} ⩽ max {l_{1}, M + l_{1}} . \end{matrix}

式 1 可以看作一个酉矩阵乘以列向量。

　　由于式 1 是一个正交变换，其逆变换为

\begin{matrix} (3) & Y_{l_{1} m_{1}} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{2} m_{2}} ({\hat{r}}_{2}) = \sum_{L} [\begin{matrix} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{matrix}] Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) . \end{matrix}

由于球谐函数一般是复函数，而 CG 系数是实数，所以

Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M}

一般也是复函数。

未完成：什么时候是实数？

Mathematica 代码

　　在 Mathematica 中可以把广义球谐函数定义为¹

YY[l1_, l2_, L_, M_, θ1_, ϕ1_, θ2_, ϕ2_] := 
 Sum[ClebschGordan[{l1, m1}, {l2, M - m1}, {L, M}] SphericalHarmonicY[
    l1, m1, θ1, ϕ1] SphericalHarmonicY[l2, 
    M - m1, θ2, ϕ2], {m1, Max[-l1, -l2 + M], 
   Min[l2, l2 + M]}]

1. 微分方程

　　广义球谐函数是量子力学中双粒子总角动量算符 ${\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{z}$ 的本征函数。

\begin{matrix} (4) & {\hat{L}}^{2} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} = L (L + 1) ℏ^{2} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M}, {\hat{L}}_{z} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} = M ℏ Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} . \end{matrix}

2. 宇称

　　 宇称（parity）算符 $Π$ 作用在一个函数上，就是把函数所有自变量乘以 $- 1$ 。其本征函数是所有中心对称或反对称的函数，本征值为分别为 $\pm 1$ 。

　　球谐函数是宇称算符的本征矢，本征值为 $(- 1)^{l}$ （式 25 ），易得广义球谐函数也是宇称算符的本征矢，本征值为 $(- 1)^{l_{1} + l_{2}}$

\begin{matrix} (5) & Π Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) = Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} (- {\hat{r}}_{1}, - {\hat{r}}_{2}) = (- 1)^{l_{1} + l_{2}} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) . \end{matrix}

3. 交换对称性

　　广义球谐函数不具有交换对称性²（除非 $l_{1} = l_{2}$ ）

\begin{matrix} (6) & P_{12} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) = Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{2}, {\hat{r}}_{1}) = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} Y_{l_{2}, l_{1}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}), \end{matrix}

也可以记为

\begin{matrix} (7) & Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} Y_{l_{2}, l_{1}}^{L, M} ({\hat{r}}_{2}, {\hat{r}}_{1}) . \end{matrix}

但是我们可以轻易构造对称（+）或反对称（-）的函数

\begin{matrix} (8) & Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) \pm (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} Y_{l_{2}, l_{1}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & Ψ (r_{1}, r_{2}) = R (r_{1}, r_{2}) Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) - R (r_{1}, r_{2}) Y_{l_{2}, l_{1}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}), (l_{1} + l_{2} - L = o d d) . \end{matrix}

　　证明可以用 CG 系数的对称性（交换左边两列，式 7 ）

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{2}, {\hat{r}}_{1}) & = \sum_{m_{1}, m_{2}} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] Y_{l_{1}, m_{1}} ({\hat{r}}_{2}) Y_{l_{2}, m_{2}} ({\hat{r}}_{1}) \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} \sum_{m_{1}, m_{2}} [\begin{array}{c} l_{2} & l_{1} & L \\ m_{2} & m_{1} & M \end{array}] Y_{l_{2}, m_{2}} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{1}, m_{1}} ({\hat{r}}_{2}) \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} - L} Y_{l_{2}, l_{1}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}), \end{aligned} \end{matrix}

从式 6 也可以得到对易关系

\begin{matrix} (11) & [L^{2}, P_{12}] = [L_{z}, P_{12}] = 0, \end{matrix}

即交换两个粒子不改变总角动量。

　　操作类算符（宇称，平移，交换）如果与某物理量算符对易，就说明波函数经过该操作，改物理量守恒。如果哈密顿中的某一项算符（例如 $z$ 方向的电场的 dipole）如果与某物理量算符（例如 $L_{z}$ ）对易，就说明波函数经过该传播子传播，该物理量守恒。

4. 正交性

　　将式 10 用这里的符号表示，就是

\begin{matrix} (12) & \int Y_{l_{1}^{'}, l_{2}^{'}}^{L^{'}, M^{'}} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) d Ω_{1} d Ω_{2} = δ_{l_{1}, l_{1}^{'}} δ_{l_{2}, l_{2}^{'}} δ_{L, L^{'}} δ_{M, M^{'}} . \end{matrix}

5. 其他性质

\begin{matrix} (13) & Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, - M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) = (- 1)^{l_{1} + l_{2} + L + M} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2})^{*}, \end{matrix}

其中

*

表示复共轭。推导如下，

\begin{matrix} (14) & \begin{aligned} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, - M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2}) & = \sum_{m_{1} + m_{2} = M} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ - m_{1} & - m_{2} & - M \end{array}] Y_{l_{1}, - m_{1}} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{2}, - m_{2}} ({\hat{r}}_{2}) \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} + L} \sum_{m_{1} + m_{2} = M} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] Y_{l_{1}, - m_{1}} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{2}, - m_{2}} ({\hat{r}}_{2}) \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} + L + M} \sum_{m_{1} + m_{2} = M} [\begin{array}{c} l_{1} & l_{2} & L \\ m_{1} & m_{2} & M \end{array}] Y_{l_{1}, m_{1}}^{*} ({\hat{r}}_{1}) Y_{l_{2}, m_{2}}^{*} ({\hat{r}}_{2}) \\ = (- 1)^{l_{1} + l_{2} + L + M} Y_{l_{1}, l_{2}}^{L, M} ({\hat{r}}_{1}, {\hat{r}}_{2})^{*} . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 使用时出现的 “not triangular” 警告可忽略。
2. ^ 式中 $l_{1} + l_{2} - L$ 前面的负号可以变为加号，但习惯上仍然写成负号，因为虽然球谐函数要求 $L$ 为整数，但在涉及到电子自旋时 $L$ 有可能是半整数，这时就不能变为加号了。

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