单电子原子模型
贡献者： addis
单电子原子模型（single active electron SAE）氦原子 SAE 势能，是指通过给对氢原子薛定谔方程修改势能项（等效势能），用于模拟其他原子的行为，尤其是单电子电离。
例如 Tong-Lin 模型中，氦原子的等效势能为
\begin{equation}
V(r) = -\frac{Z_c + a_1 \mathrm{e} ^{-a_2 r} + a_3 r \mathrm{e} ^{-a_4 r} + a_5 \mathrm{e} ^{-a_6 r}}{r}~.
\end{equation}
对氦原子，有
\begin{equation}
Z_c = 1, \ a_1 = 1.231,\ a_2 = 0.662,\ a_3 = -1.325,\ a_4 = 1.236,\ a_5 = -0.231,\ a_6 = 0.480~,
\end{equation}
满足
\begin{align}
&\lim_{r\to +\infty} \frac{V(r)}{-Z_c/r} = \lim_{r\to +\infty} \frac{V(r)}{-1/r} = 1~,\\
&\lim_{r\to 0} \frac{V(r)}{-(Z_c + a_1 + a_5)/r} = \lim_{r\to 0} \frac{V(r)}{-2/r} = 1~,
\end{align}
这个势能的基态 $E_0 = -24.6$eV 就是氦原子单电离 threshold。但激发态 $E_1 = -4.35$eV，$E_2 = -1.70$eV 并不正确。
而我现在需要氦原子 shake-up 的 SAE 势能。
V = @(r) (-1 -1.231*exp(-0.662*r) + 1.325*r .*exp(-1.236*r) ...
+ 0.231*exp(-0.480*r)) ./ r;
shake-up
若要模拟激发态 shake-up 电离，一种较为粗暴的做法是直接把 $V$ 乘以一个常数 $2.3632$，使得势阱更深，电离能更大，基态为 $E_0 = 65.4$。这么做的问题是 $r$ 的两端极限都不物理。做了 streaking 以后 $n=1,2$ delay 是 $18 \,\mathrm{as} $。
另一种方式是，就是重新令 $a_3 = 2.07415$。这样极限依然正确。做了 streaking 以后 $n=1,2$ delay 是？
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