Clifford 代数

贡献者：叶月2_

　　如果要构建有限维结合代数，我们需要对 basis 的结合作出约束。例如，Grassmann 代数要求反对称性： $e_{1} e_{2} = - e_{2} e_{1}$ 。实际上，Grassmann 代数是 Clifford 代数的一个平凡特例，或者也可以理解为一般 Clifford 代数上的内嵌结构。本节先给出线性空间上的 Clifford 代数的定义，再用集合语言将其拓展为更一般的 Clifford 代数。

1. 几何代数

定理 1　线性空间的理想

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $V$ ，其上有一二次型 $B_{q} (B_{q} (v, w) = \frac{1}{2} (q (v + w) - q (v) - q (w)))$ .令 $T (V)$ 为 $V$ 上的张量代数，那么如下定义的 $I_{q} (V)$ 是它的理想:

\begin{matrix} (1) & I_{q} (V) = {\sum A_{k} \otimes (v_{k} \otimes v_{k} - q (v_{k})) \otimes B_{k} ∣ v \in V, A_{k}, B_{k} \in T (V)}, \end{matrix}

　　 proof. 环理想首先是加法子群，其次对乘法有 “吸收律”。该定理可以简化成一个更简单的形式。即对于环 $R$ 上的一个非空子集 $S$ ,我们可以证明该子集生成的理想为

\begin{matrix} (2) & I_{S} = {\sum_{k} a_{k} s_{k} b_{k} | k \in N, a_{k}, b_{k} \in R, s_{k} \in S}, \end{matrix}

检查理想的定义，该集合确实构成加法子群。其次，无论是左乘还是右乘环元素，都能表示为该形式，因而是理想。对于张量代数，乘法为张量积。

定义 1　几何代数

　　给定域 $F$ 上的线性空间 $V$ ，其上有一二次型 $B_{q}$ .理想同上定义，商代数则为几何代数(geometric algebra)，即

\begin{matrix} (3) & G (V, q) \overset{def}{=} T (V) / I_{q} (V), \end{matrix}

另外，称

V

为

G (V, q)

的底空间（base space）。

　　划分等价类后，把 $G (V, q)$ 上的向量积称为几何积，或者Clifford 积，符号可以用 $\cdot$ 或者不写。

　　观察等价类，我们会发现一项特殊的等价关系。即

\begin{matrix} (4) & v \cdot v = q (v), \end{matrix}

　　理想首先是正规子群。回想对正规子群求商集时，若 $a, b$ 等价，即属于同一左陪集，那么 $a^{- 1} b$ 属于该正规子群。因而，上式的等价关系实际上指的是 $v \otimes v - q (v)$ 在理想里，显然这是成立的。该等价关系得以让我们把重复的 $e_{i}$ 约掉。如果 ${e_{i}}$ 是线性空间中的正交基，由于

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} q (e_{i} + e_{j}, e_{i} + e_{j}) & = q (e_{i}) + q (e_{j}) + 2 B_{q} (e_{i}, e_{j}) \\ = e_{i} e_{i} + e_{j} e_{j} + e_{i} e_{j} + e_{j} e_{i}, \end{aligned} \end{matrix}

　　因而对于正交基有 $e_{i} e_{j} = - e_{j} e_{i}$ ，满足交换反对称关系。对于 $V$ 中任意的两个向量 $v, w$ ，由 $q (v + w, v + w)$ 的展开式得到 Clifford 代数下的交换反对称关系：

\begin{matrix} (6) & v w + w v = 2 B_{q} (v, w) \end{matrix}

二次型是欧几里得空间中内积定义的推广，因此我们可以把两个向量正交定义为对应的二次型结果为 0.

2. Clifford 代数的形式化定义

　　几何代数的基域为线性空间，而Clifford 代数的基域是交换幺环。Clifford 代数实际上是交换环上的模。

定义 2　Clifford 代数

　　给定任意指标集合 $X$ ，任意给定交换幺环 $R$ ，任意函数 $s : X \to R$ 作为 $X$ 上的符号。幂集 $2^{X}$ 可以生成如下自由 R-模：

\begin{matrix} (7) & Cl (X, R, s) = ⨁_{2^{X}} R, \end{matrix}

称之为

(X, R, s)

上的Clifford 代数。

　　例如，给定整数环，指标集为 ${1, 2, 3}$ 。那么 $C l (X, R, s)$ 上的一个元素为 $2 {1} + 3 {2, 3} + 4 {}$

　　 $C l (X, R, s)$ 上的乘法是 $R$ -线性的，并且对于 $A, B \in 2^{X}$ 有

\begin{matrix} (8) & A B = τ (A, B) A Δ B, \end{matrix}

其中映射

2^{X} \times 2^{X} \to R

定义为

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} τ ({x}, {x}) & = s (x), \forall x \in X, \\ τ ({x}, {y}) & = - τ ({y}, {x}), \forall x, y \in X, x \neq y, \\ τ (A, B) & \in {1, - 1}, \forall A, B \subseteq X, A \cap B = \emptyset, \\ τ (A, \emptyset) & = τ (\emptyset, A) = 1, \forall A \subseteq X, \\ τ (A, B) τ (A Δ B, C) & = τ (B, C) τ (A, B Δ C), \forall A, B, C \subseteq X, \end{aligned} \end{matrix}

　　从上式我们可以发现其与定义 1 的联系。

幂集是张量积空间基底的拓展。因此 $τ ({x}, {x})$ 是二次型的拓展。当环为域时可以清晰地看见这种联系： $τ ({e_{i}}, {e_{i}}) = q (e_{i}) = s (e_{i})$
同样的，上式第二条是正交基的反对称性。实际上是 $e_{i} e_{j} = - e_{j} e_{i}$ 。也就是说，如果集合定义要与定义 1 兼容，各单点集需要构成正交基。
第三条定义是为了和第二条自洽
第四条是 $1 \times e_{A} = e_{A} \times 1$ 的拓展
最后一条实际上是结合律 $(A B) C = A (B C)$ ，再次强调这里的 $A, B, C$ 是指标集合 $X$ 的子集（默认该子集的指标按从小到大排列），各自相当于张量积空间的基底。即 $(e_{A} e_{B}) e_{C} = e_{A} (e_{B} e_{C}), e_{A} = e_{i} / e_{i} e_{j} / . . .$
式 8 实际上说的是 $e_{A} e_{B} \propto e_{A Δ B}$ 。比如 $(e_{1} e_{2} e_{3}) (e_{2} e_{3} e_{4} e_{5}) = - q (e_{2}) q (e_{3}) e_{1} e_{4} e_{5}$

　　下面证明第四条实际上是结合律。

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} (e_{A} e_{B}) e_{C} & = τ (A, B) e_{A Δ B} e_{C} \\ = τ (A, B) τ (A Δ B, C) e_{(A Δ B) Δ C} \\ = τ (B, C) τ (A, B Δ C) e_{A Δ (B Δ C)} \\ = τ (B, C) e_{A} e_{B Δ C} \\ = e_{A} (e_{B} e_{C}) . \end{aligned}, \end{matrix}

从第二行到第三行的推导使用

(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

分次结构

定义 3　

　　给定 Clifford 代数 $Cl (X, R, s)$ 。定义

\begin{matrix} (11) & {Cl}^{k} (X, R, s) = ⨁_{A \in 2^{X} : | A | = k} R, \end{matrix}

称之为

Cl (X, R, s)

的 k 次部分。该子空间中的元素称之为k-向量

定义 4　

\begin{matrix} (12) & \begin{array}{l} {Cl}^{+} (X, R, s) = ⨁_{k 为偶数} {Cl}^{k} (X, R, s) \\ {Cl}^{-} (X, R, s) = ⨁_{k 为奇数} {Cl}^{k} (X, R, s) \end{array}, \end{matrix}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

Clifford 代数

1. 几何代数

定理 1 线性空间的理想

定义 1 几何代数

2. Clifford 代数的形式化定义

定义 2 Clifford 代数

分次结构

定义 3

定义 4

定理 1　线性空间的理想

定义 1　几何代数

定义 2　Clifford 代数

定义 3　

定义 4　