求极限的一些方法

                     

贡献者: ACertainUser

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  1 尽管实际中极限的求解往往交给电脑解决,但求解极限还是高数考试中的重要环节.本文简要介绍求解极限的一些基本方法与思路.

   要强调的是,极限问题千变万化,没有什么题目能只用一种方法就能解决,也没有什么能简单机械地解决任意问题的 “万能套路”.你往往需要多次运用各种方法才能得到最终的答案.解决问题的关键最终在于你的积累与灵性(多做题),而不是单纯地 “背诵方法”.

1. 基础知识

   这里列举一些关于极限计算的基本知识.你需要熟悉这些内容.

2. 拼凑与代换

   有借有还,再借不难. 拼凑与代换的核心思路是变形待求的极限式,以配凑出容易解决的形式.当然,为了运用拼凑与代换,你先得有个目标、知道 “我想凑出什么样的形式”.这需要你知晓各种常用形式.(常用的等式、等价无穷小...)

   拼凑与代换的基本方法包括:

例 1 

   求解 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(3x\right) }{x}$.假设我们对等价无穷小、洛必达、泰勒等等等一无所知,我们能用的只有拼凑与代换法.

   我们知道一个基本结论 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(x\right) }{x}=1$,因此我们想配凑出类似的形式.因此,我们令 $t=3x, x=t/3$,那么原式化为 $\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t/3}=3\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t}=3$.

例 2 

   由于很多结论都适用于 $x\to0$ 的情况,因此常通过代换变量,令自变量趋于 0. 有时这种变形会给你一些启发.

   例如,若 $x\to+\infty$,则令 $t=1/x$,那么 $t\to0+$;

   若 $x\to-\infty$,则令 $t=-1/x$,那么 $t\to0+$.(我们不喜欢负数,特别当他在根式中时)

3. $\infty+\infty$ 型不定式

   如果两个加数均为不定式($\infty+\infty$),将他们通分,并化为一个分式.

4. $0\cdot\infty$ 型不定式

   把趋于 0 的因子移动到分母,将整体化为分式 $\frac{\infty}{\infty}$

例 3 

   求解 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) $

   将 x 移动至分母,化为 1/x. 即 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) =\lim_{x\to0+} \frac{ \ln\left(x\right) }{1/x}$

   随后运用洛必达,即有 $-\lim_{x\to0+} \frac{1/x}{1/x^2}=-\lim_{x\to0+} x=0$

5. 分式与根式

6. 幂指函数

   若待求极限含有幂指函数,则可以运用指数与对数改写式子 $f(x)^{g(x)}= \mathrm{e} ^{g(x) \ln\left(f(x)\right) }$

例 4 

   求解 $\lim (1+f(x))^{g(x)}$,其中 $f(x)\to0$,$g(x)\to\infty$.(即 $1^\infty$ 型不定式)

   这是一个幂指函数,取对数再取指数.原式化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) \ln\left(1+f(x)\right) }$$,运用等价无穷小,再化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}$$.即只要 $\lim g(x) f(x)$ 存在,原式的极限就存在,且即为 $ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}$.

   有些考研教材将 $$\lim (1+f(x))^{g(x)} = \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x) } \qquad f(x) \to 0, g(x)\to\infty,\lim g(x) f(x)\text{存在}$$作为一个基本结论.

   当然,你也可以从常见等式 $e=\lim_{x\to0} (1+x)^{1/x}$ 出发,运用拼凑与代换解决问题,不过这会让问题变得过于繁琐.

7. 形式相近的项、变上限积分

   若极限式中出现变上限积分,则可以运用积分中值定理.

   若极限式中出现相似的结构,可以构造函数并运用 Lagrange 中值定理

例 5 

   求解 $$\lim_{x\to0} \frac{\int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} }{x}$$

   一种思路是直接运用洛必达法则,即$$\lim_{x\to0} \cos\left(x\right) = 1$$

   另一种思路是运用积分中值定理.根据中值定理,$$\exists \xi \in (0,x), \int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} = \cos\left(\xi\right) (x-0)$$,因此原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{ \cos\left(\xi\right) x}{x} = \lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) $$.由于 $\xi \in (0,x)$,当 $x\to0$ 时,$\xi$别无选择,只能也趋向 0(这是可运用中值定理的重要特征;如果 $\xi$ 不趋于一个常数,这道题就无法由中值定理求解).因此,$$\lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) =1$$

   尽管在这里微分中值定理看起来更为繁琐,但这是因为这道题太简单了.在另一些问题中,微分中值定理比洛必达更为优雅

例 6 

   求解 $$\lim_{x\to0} \frac{e^{x^2}-e^x}{x}$$

   注意到分子的两项都是 $e^x$ 式结构,因此设 $f(x)=e^x$,原式化为$$\lim_{x\to0} \frac{f(x^2)-f(x)}{x}$$ 根据 Lagrange 中值定理,$$\exists \xi \in (x^2,x), f(x^2)-f(x) = f'(\xi)(x^2-x)$$ 所以原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{f'(\xi)(x^2-x)}{x}$$ 即$$\lim_{x\to0} e^\xi(x-1)=-\lim_{x\to0} e^\xi=-1$$


1. ^ 本文参考了 [2][4] 与武忠祥的《考研高数》课程.部分例题来自练习册


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