求极限的一些方法

贡献者： ACertainUser; Giacomo; addis

本文处于草稿阶段。

　　¹尽管实际中极限的求解往往交给电脑解决，但求解极限还是高数考试中的重要环节。本文简要介绍求解极限的一些基本方法与思路。

　　要强调的是，极限问题千变万化，没有什么题目能只用一种方法就能解决，也没有什么能简单机械地解决任意问题的 “万能套路”。你往往需要多次运用各种方法才能得到最终的答案。解决问题的关键最终在于你的积累与灵性（多做题），而不是单纯地 “背诵方法”。

1. 基础知识

　　这里列举一些关于极限计算的基本知识。你需要熟悉这些内容。

极限的四则运算法则
极限与函数连续性：连续函数的极限值就是它在该点处的函数值 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) 如果 f (x) 连续,$ 极限运算可以 “通过” 连续函数 $lim_{x \to x_{0}} f (g (x)) = f (lim_{x \to x_{0}} g (x)) 如果 f (x) 连续 .$
极限的有理运算性质：可先提取极限存在且非零的乘数 $lim_{x \to x_{0}} f (x) g (x) = f (x_{0}) lim_{x \to x_{0}} g (x) .$ 也可先提取极限存在的加数 $lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) = f (x_{0}) + lim_{x \to x_{0}} g (x) .$ 这能帮助简化计算(为了方便展示，这里假定 $f (x)$ 连续，但这个条件其实是非必须的)。
导数的极限定义：有时，解决极限的办法是通过导数的定义，将其凑成某个函数的导数
三角函数的相关公式
有界函数*无穷小=0
洛必达法则：用来处理 $\frac{0}{0}$ ， $\frac{\infty}{\infty}$ 等不定式时很方便。洛必达虽好，可不要贪杯哦
泰勒展开：将一点处的函数换成他在该点处的泰勒展开式，从而将复杂函数化为多项式。
等价无穷小：也是用于将复杂的函数代换成简单的函数
几个常用的等式： $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1 .$ $lim_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x} = e .$ $lim_{x \to 0 +} x \ln (x) = 0 .$ $lim_{x \to + \infty} \frac{a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . .}{b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + . . .} = \frac{a_{n}}{b_{n}} .$ 你可以使用非常简单的方法从容地 “证明” 这些等式，不过最好有个大致印象。

2. 拼凑与代换

　　 有借有还，再借不难. 拼凑与代换的核心思路是变形待求的极限式，以配凑出容易解决的形式。当然，为了运用拼凑与代换，你先得有个目标、知道 “我想凑出什么样的形式”。这需要你知晓各种常用形式。（常用的等式、等价无穷小。。。）

　　拼凑与代换的基本方法包括：

加一项再减去相同的一项
乘一项再除以相同的一项
提取一个公因式
代换自变量
...

例 1　

　　求解 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{x}$ 。假设我们对等价无穷小、洛必达、泰勒等等等一无所知，我们能用的只有拼凑与代换法。

　　我们知道一个基本结论 $lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1$ ，因此我们想配凑出类似的形式。因此，我们令 $t = 3 x, x = t / 3$ ，那么原式化为 $lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{t / 3} = 3 lim_{t \to 0} \frac{\sin (t)}{t} = 3$ .

例 2　

　　由于很多结论都适用于 $x \to 0$ 的情况，因此常通过代换变量，令自变量趋于 0. 有时这种变形会给你一些启发。

　　例如，若 $x \to + \infty$ ，则令 $t = 1 / x$ ，那么 $t \to 0 +$ ;

　　若 $x \to - \infty$ ，则令 $t = - 1 / x$ ，那么 $t \to 0 +$ 。（我们不喜欢负数，特别当他在根式中时）

3. $\infty + \infty$ 型不定式

　　如果两个加数均为不定式（ $\infty + \infty$ ），将他们通分，并化为一个分式。

4. $0 \cdot \infty$ 型不定式

　　把趋于 0 的因子移动到分母,将整体化为分式 $\frac{\infty}{\infty}$

例 3　

　　求解 $lim_{x \to 0 +} x \ln (x)$

　　将 x 移动至分母，化为 1/x. 即 $lim_{x \to 0 +} x \ln (x) = lim_{x \to 0 +} \frac{\ln (x)}{1 / x}$

　　随后运用洛必达，即有 $- lim_{x \to 0 +} \frac{1 / x}{1 / x^{2}} = - lim_{x \to 0 +} x = 0 .$

5. 分式与根式

有理化。常用于出现根式相加减的情况。
上下同除以最高次的项

6. 幂指函数

　　若待求极限含有幂指函数，则可以运用指数与对数改写式子 $f (x)^{g (x)} = e^{g (x) \ln (f (x))}$

例 4　

　　求解 $lim (1 + f (x))^{g (x)}$ ，其中 $f (x) \to 0$ , $g (x) \to \infty$ .(即 $1^{\infty}$ 型不定式)

　　这是一个幂指函数，取对数再取指数。原式化为 $e^{lim g (x) \ln (1 + f (x))} .$ ，运用等价无穷小，再化为 $e^{lim g (x) f (x)} .$ 。即只要 $lim g (x) f (x)$ 存在，原式的极限就存在，且即为 $e^{lim g (x) f (x)}$ 。

　　有些考研教材将 $lim (1 + f (x))^{g (x)} = e^{lim g (x) f (x)} f (x) \to 0, g (x) \to \infty, lim g (x) f (x) 存在$ 作为一个基本结论。

　　当然，你也可以从常见等式 $e = lim_{x \to 0} (1 + x)^{1 / x}$ 出发，运用拼凑与代换解决问题，不过这会让问题变得过于繁琐。

7. 形式相近的项、变上限积分

　　若极限式中出现变上限积分，则可以运用积分中值定理。

　　若极限式中出现相似的结构，可以构造函数并运用 Lagrange 中值定理

例 5　

　　求解 $lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} \cos (x) d x}{x} .$

　　一种思路是直接运用洛必达法则，即 $lim_{x \to 0} \cos (x) = 1 .$

　　另一种思路是运用积分中值定理。根据中值定理， $\exists ξ \in (0, x), \int_{0}^{x} \cos (x) d x = \cos (ξ) (x - 0)$ ，因此原式化为 $lim_{x \to 0} \frac{\cos (ξ) x}{x} = lim_{x \to 0} \cos (ξ)$ 。由于 $ξ \in (0, x)$ ，当 $x \to 0$ 时， $ξ$ 别无选择，只能也趋向 0(这是可运用中值定理的重要特征；如果 $ξ$ 不趋于一个常数，这道题就无法由中值定理求解)。因此， $lim_{x \to 0} \cos (ξ) = 1 .$

　　尽管在这里微分中值定理看起来更为繁琐，但这是因为这道题太简单了。在另一些问题中，微分中值定理比洛必达更为优雅。

例 6　

　　求解 $lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - e^{x}}{x} .$

　　注意到分子的两项都是 $e^{x}$ 式结构，因此设 $f (x) = e^{x}$ ，原式化为 $lim_{x \to 0} \frac{f (x^{2}) - f (x)}{x} .$ 根据 Lagrange 中值定理， $\exists ξ \in (x^{2}, x), f (x^{2}) - f (x) = f^{'} (ξ) (x^{2} - x) .$ 所以原式化为 $lim_{x \to 0} \frac{f^{'} (ξ) (x^{2} - x)}{x} .$ 即 $lim_{x \to 0} e^{ξ} (x - 1) = - lim_{x \to 0} e^{ξ} = - 1 .$

1. ^ 本文参考了 [1]，[2] 与武忠祥的《考研高数》课程。部分例题来自练习册

[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
[2] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed

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