求极限的一些方法

例 1　

　　 求解 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(3x\right) }{x}$。假设我们对等价无穷小、洛必达、泰勒等等等一无所知，我们能用的只有拼凑与代换法。

　　 我们知道一个基本结论 $\lim_{x \to 0} \frac{ \sin\left(x\right) }{x}=1$，因此我们想配凑出类似的形式。因此，我们令 $t=3x, x=t/3$，那么原式化为 $\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t/3}=3\lim_{t \to 0} \frac{ \sin\left(t\right) }{t}=3$.

例 2　

　　 由于很多结论都适用于 $x\to0$ 的情况，因此常通过代换变量，令自变量趋于 0. 有时这种变形会给你一些启发。

　　 例如，若 $x\to+\infty$，则令 $t=1/x$，那么 $t\to0+$;

　　 若 $x\to-\infty$，则令 $t=-1/x$，那么 $t\to0+$。（我们不喜欢负数，特别当他在根式中时）

例 3　

　　 求解 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) $

　　 将 x 移动至分母，化为 1/x. 即 $\lim_{x\to0+} x \ln\left(x\right) =\lim_{x\to0+} \frac{ \ln\left(x\right) }{1/x}$

　　 随后运用洛必达，即有 $-\lim_{x\to0+} \frac{1/x}{1/x^2}=-\lim_{x\to0+} x=0~.$

例 4　

　　 求解 $\lim (1+f(x))^{g(x)}$，其中 $f(x)\to0$,$g(x)\to\infty$.(即 $1^\infty$ 型不定式)

　　 这是一个幂指函数，取对数再取指数。原式化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) \ln\left(1+f(x)\right) }~.$$，运用等价无穷小，再化为$$ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}~.$$。即只要 $\lim g(x) f(x)$ 存在，原式的极限就存在，且即为 $ \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x)}$。

　　 有些考研教材将 $$\lim (1+f(x))^{g(x)} = \mathrm{e} ^{\lim g(x) f(x) } \qquad f(x) \to 0, g(x)\to\infty,\lim g(x) f(x)\text{存在}~$$作为一个基本结论。

　　 当然，你也可以从常见等式 $e=\lim_{x\to0} (1+x)^{1/x}$ 出发，运用拼凑与代换解决问题，不过这会让问题变得过于繁琐。

例 5　

　　 求解 $$\lim_{x\to0} \frac{\int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} }{x}~.$$

　　 一种思路是直接运用洛必达法则，即$$\lim_{x\to0} \cos\left(x\right) = 1~.$$

　　 另一种思路是运用积分中值定理。根据中值定理，$$\exists \xi \in (0,x), \int^x_0 \cos\left(x\right) \,\mathrm{d}{x} = \cos\left(\xi\right) (x-0)~$$，因此原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{ \cos\left(\xi\right) x}{x} = \lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) ~$$。由于 $\xi \in (0,x)$，当 $x\to0$ 时，$\xi$别无选择，只能也趋向 0(这是可运用中值定理的重要特征；如果 $\xi$ 不趋于一个常数，这道题就无法由中值定理求解)。因此，$$\lim_{x\to0} \cos\left(\xi\right) =1~.$$

　　 尽管在这里微分中值定理看起来更为繁琐，但这是因为这道题太简单了。在另一些问题中，微分中值定理比洛必达更为优雅。

例 6　

　　 求解 $$\lim_{x\to0} \frac{e^{x^2}-e^x}{x}~.$$

　　 注意到分子的两项都是 $e^x$ 式结构，因此设 $f(x)=e^x$，原式化为$$\lim_{x\to0} \frac{f(x^2)-f(x)}{x}~.$$ 根据 Lagrange 中值定理，$$\exists \xi \in (x^2,x), f(x^2)-f(x) = f'(\xi)(x^2-x)~.$$ 所以原式化为 $$\lim_{x\to0} \frac{f'(\xi)(x^2-x)}{x}~.$$ 即$$\lim_{x\to0} e^\xi(x-1)=-\lim_{x\to0} e^\xi=-1~.$$