介质的边界条件

                     

贡献者: ACertainUser; addis

  • 本文存在未完成的内容。
  • 需要添加 A 的边界条件;补充相应的证明
预备知识 麦克斯韦方程组(介质)

  1 在解决场与势在电、磁介质边界的问题时,微分形式的麦克斯韦方程组不再适用,但积分形式的麦克斯韦方程组仍然适用。(边界处的场可以是不连续的)

   本文中,$\sigma_f$ 指自由面电荷密度,$\sigma$ 指总面电荷密度,即包括所有自由电荷与因介质极化而产生的感应电荷。在计算时,使用势的边界条件计算,往往比使用场更为简便。

1. 电场

E 场

\begin{equation} E^\perp_{above} - E^\perp_{below} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}~, \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_{above}E^\perp_{above} - \epsilon_{below}E^\perp_{below} = \sigma_f~, \end{equation}
\begin{equation} E^\parallel_{above} - E^\parallel_{below} = 0~. \end{equation}

D 场

\begin{equation} D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f~, \end{equation}
将 $D_{above}=\epsilon_{above} E, D_{below}=\epsilon_{below} E$ 代入该式,即可推导出式 2

电势 $\varphi$

\begin{equation} \varphi_{above}-\varphi_{below}=0~, \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0}~, \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \epsilon_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\sigma_f~. \end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi$ 分别代入式 1 式 2 ,即可得式 6 式 7

例 1 

   初步说明 式 4

图
图 1:边界处的高斯面.仿自 [1]

   在两介质的边界处(图中所示平面)绘制一个高斯面(图中所示正方形),对其运用麦克斯韦方程组(介质)的积分形式 $\oint \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = q_f$。

   当高度 $d\rightarrow0$ 时,D 场的垂直分量只存在于上下表面,即 $D^\perp_{above} A- D^\perp_{below} A= q_f$ (二者符号不同是因为积分时总是取曲面向外为面法向量的正方向)。两边同除以 A,得 $D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f$

例 2 

   初步说明 式 3

图
图 2:边界处的环路

   在介质边界处绘制一环路。根据静电场环路性质,我们有 $$ \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{}}} l = 0~.$$ 令环路的 $h\to0$,那么电场在环路垂直边上的积分就为 $0$。此时环路积分的结果只与上下边有关: $$ E_{above}^\parallel d-E_{below}^\parallel d = 0~,$$ 即 $$ E_{above}^\parallel-E_{below}^\parallel = 0~.$$

2. 磁场

B 场

\begin{equation} B^\perp_{above} - B^\perp_{below} = 0~, \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{K}} \times \hat n ~, \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{\mu_{above}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \frac{1}{\mu_{below}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n ~. \end{equation}
K: 面电流密度

H 场

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n~. \end{equation}

   式 10 是他的推论。

磁标势 $\varphi$ (如果有定义)

\begin{equation} \varphi_{above}-\varphi_{below}=0~, \end{equation}
\begin{equation} \mu_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \mu_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = 0~. \end{equation}


1. ^ 本文参考自 [1] 与周磊教授的讲义


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利