介质的边界条件

                     

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    • 需要添加 A 的边界条件；补充相应的证明
预备知识　麦克斯韦方程组（介质）

　　1 在解决场与势在电、磁介质边界的问题时，微分形式的麦克斯韦方程组不再适用，但积分形式的麦克斯韦方程组仍然适用。（边界处的场可以是不连续的）

　　 本文中，σf 指自由面电荷密度，σ 指总面电荷密度，即包括所有自由电荷与因介质极化而产生的感应电荷。在计算时，使用势的边界条件计算，往往比使用场更为简便。

1. 电场

E 场

(1)Eabove⊥−Ebelow⊥=σϵ0 ,
(2)ϵaboveEabove⊥−ϵbelowEbelow⊥=σf ,
(3)Eabove∥−Ebelow∥=0 .

D 场

(4)Dabove⊥−Dbelow⊥=σf ,
将 Dabove=ϵaboveE,Dbelow=ϵbelowE 代入该式，即可推导出式 2 。

电势 φ

(5)φabove−φbelow=0 ,
(6)∂φabove∂n−∂φbelow∂n=−σϵ0 ,
(7)ϵabove∂φabove∂n−ϵbelow∂φbelow∂n=−σf .
将 E=−∇φ 分别代入式 1 式 2 ，即可得式 6 式 7 。

例 1　

　　 初步说明 式 4 。

图
图 1：边界处的高斯面.仿自 [1]

　　 在两介质的边界处（图中所示平面）绘制一个高斯面（图中所示正方形），对其运用麦克斯韦方程组（介质）的积分形式 ∮D⋅dA=qf。

　　 当高度 d→0 时，D 场的垂直分量只存在于上下表面，即 Dabove⊥A−Dbelow⊥A=qf (二者符号不同是因为积分时总是取曲面向外为面法向量的正方向)。两边同除以 A，得 Dabove⊥−Dbelow⊥=σf

例 2　

　　 初步说明 式 3 。

图
图 2：边界处的环路

　　 在介质边界处绘制一环路。根据静电场环路性质，我们有 ∮E⋅dl=0 . 令环路的 h→0，那么电场在环路垂直边上的积分就为 0。此时环路积分的结果只与上下边有关： Eabove∥d−Ebelow∥d=0 , 即 Eabove∥−Ebelow∥=0 .

2. 磁场

B 场

(8)Babove⊥−Bbelow⊥=0 ,
(9)Babove∥−Bbelow∥=μ0K×n^ ,
(10)1μaboveBabove∥−1μbelowBbelow∥=Kf×n^ .
K: 面电流密度

H 场

(11)Habove∥−Hbelow∥=Kf×n^ .

　　 式 10 是他的推论。

磁标势 φ (如果有定义)

(12)φabove−φbelow=0 ,
(13)μabove∂φabove∂n−μbelow∂φbelow∂n=0 .

1. ^ 本文参考自 [1] 与周磊教授的讲义。

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed

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