介质的边界条件

                     

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预备知识 麦克斯韦方程组(介质)

  1 在解决场与势在电、磁介质边界的问题时,微分形式的麦克斯韦方程组不再适用,但积分形式的麦克斯韦方程组仍然适用.(边界处的场可以是不连续的)

   本文中,$\sigma_f$ 指自由面电荷密度,$\sigma$ 指总面电荷密度,即包括所有自由电荷与因介质极化而产生的感应电荷.在计算时,使用势的边界条件计算,往往比使用场更为简便.

1. 电场

E 场

\begin{equation} E^\perp_{above} - E^\perp_{below} = \frac{\sigma}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_{above}E^\perp_{above} - \epsilon_{below}E^\perp_{below} = \sigma_f \end{equation}
\begin{equation} E^\parallel_{above} - E^\parallel_{below} = 0 \end{equation}

D 场

\begin{equation} D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f \end{equation}
将 $D_{above}=\epsilon_{above} E, D_{below}=\epsilon_{below} E$ 代入该式,即可推导出式 2

电势 $\varphi$

\begin{equation} \varphi_{above}-\varphi_{below}=0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\frac{\sigma}{\epsilon_0} \end{equation}
\begin{equation} \epsilon_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \epsilon_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = -\sigma_f \end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi$ 分别代入式 1 式 2 ,即可得式 6 式 7

例 1 

   初步说明 式 4

图
图 1:边界处的高斯面.仿自 [19]

   在两介质的边界处绘制一个高斯面,对其运用麦克斯韦方程组(介质)的积分形式 $\oint \boldsymbol{\mathbf{D}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{A}} } = q_f$.

   当高度 $d\rightarrow0$ 时,D 场的垂直分量只存在于上下表面,即 $D^\perp_{above} A- D^\perp_{below} A= q_f$ (二者符号不同是因为积分时总是取曲面向外为面法向量的正方向).两边同除以 A,得 $D^\perp_{above} - D^\perp_{below} = \sigma_f$

2. 磁场

B 场

\begin{equation} B^\perp_{above} - B^\perp_{below} = 0 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{K}} \times \hat n \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{\mu_{above}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{above} - \frac{1}{\mu_{below}} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n \end{equation}
K: 面电流密度

H 场

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{above} - \boldsymbol{\mathbf{H}} ^\parallel_{below} = \boldsymbol{\mathbf{K}} _f \times \hat n \end{equation}

   式 10 是他的推论.

磁标势 $\varphi$ (如果有定义)

\begin{equation} \varphi_{above}-\varphi_{below}=0 \end{equation}
\begin{equation} \mu_{above} \frac{\partial \varphi_{above}}{\partial n} - \mu_{below} \frac{\partial \varphi_{below}}{\partial n} = 0 \end{equation}


1. ^ 本文参考自 [19] 与周磊教授的讲义


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