端点可变问题

                     

贡献者: 零穹

预备知识 极端曲线

1. 问题的提出

   在前面的问题中,总是取以两个固定点为端点的曲线作为可取曲线.现在,我们研究以更广泛的曲线作为可取曲线的泛函极值问题.

   设函数 $F(x,y,y')$ 满足普通的连续性及可微性条件;此外,在 $xOy$ 平面上,给定两个 $C_1$ 类的曲线 $\varphi$ 及 $\psi$:

\begin{equation} y=\varphi(x),\quad y=\psi(x) \end{equation}
在此规定下,我们的问题可叙述如下:

   取端点分别在曲线 $\varphi$ 及曲线 $\psi$ 上的 $C_1$ 类中全体曲线 $\gamma$,作为可取曲线族.现在要求泛函

\begin{equation} J(\gamma)=\int_\gamma F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
的极值,其中积分是沿曲线 $\gamma$ 而取的.

   注意到:若某一以 $A$ 和 $B$ 为端点的曲线 $\gamma_0$ 是本问题的解,即 $\gamma_0$ 给积分式 2 以极值,那么这一曲线 $\gamma_0$ 也在连接 $A_0$ 及 $B_0$ 的所有 $C_1$ 类曲线中,给 $J$ 以极值.由最简单问题时的欧拉定理,曲线 $\gamma_0$ 满足欧拉方程

\begin{equation} F_y- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y'}=0 \end{equation}

   这就是说,若以可取曲线族中的极端曲线构成新的可取曲线族,得到的使 $J$ 取极值的曲线仍是同一条曲线.

2. $J(\gamma)$ 对极端曲线的微分

定理 1 

   泛函 $J$ 式 2 对极端曲线(其起点和终点坐标分别为 $x_0,y_0;x_1,y_1$)的微分为

\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\partial J}{\partial x_0} =-(F-y'F_{y'})^{(0)},\quad \frac{\partial J}{\partial y_0} =-F_{y'}^{(0)}\\ & \frac{\partial J}{\partial x_1} =(F-y'F_{y'})^{(1)},\quad \frac{\partial J}{\partial y_1} =F_{y'}^{(1)}\\ & \,\mathrm{d}{J} =-[(F-y'F_{y'})^{(0)}\delta {x_0}+ F_{y'}^{(0)}\delta y_0]+[(F-y'F_{y'})^{(1)}\delta {x_1}+F_{y'}^{(1)}\delta y_1] \end{aligned} \end{equation}
其中,指标 ${(0)},{(1)}$ 在这里及以后(特指变分学相关词条)都表示对应的函数值是取在弧的起点及终点上

证明

   设 $\gamma_0$ 是起点为 $A$ 终点为 $B$ 的极端曲线,考虑临近于它的极端曲线族 $\{\gamma\}$,它们的端点在 $A,B$ 的某二邻区内.假设 $\{\gamma\}$ 中只有唯一的弧通过每二端点,则 $\{\gamma\}$ 中每一条弧将由它们的起点和终点坐标 $x_0,y_0;x_1,y_1$ 决定,即在族 $\{\gamma\}$ 上的泛函 $J(\gamma)$ 变成弧 $\gamma$ 的端点的坐标函数:$J(\gamma)=J(x_0,y_0,x_1,y_1)$.于是当变数微分为 $\delta x_0,\delta y_0,\delta x_1,\delta y_1$ 时,就有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{J} = \left( \frac{\partial J}{\partial x_0} \delta x_0+ \frac{\partial J}{\partial y_0} \delta y_0 \right) + \left( \frac{\partial J}{\partial x_1} \delta x_1+ \frac{\partial J}{\partial y_1} \delta y_1 \right) \end{equation}
1.首先,考虑 $x_0,x_1$ 固定的族 $\{\gamma\}$ 中的曲线构成的部分族(弧 $\gamma$ 的端点在两条平行于 $y$ 轴的直线上流动),于是这个部分族只含两参变数 $y_0,y_1$,且在该部分族上微分与变分重合.设 $y=y(x)$ 与 $y=y(x)+\delta y(x)$ 是这个部分族中的两条无限接近的极端曲线弧.于是 $y_0=y(x_0),y_1=y(x_1)$,并令 $\delta y_0=\delta y(x_0),\delta y_1=\delta y(x_1)$.于是,从弧 $y=y(x)$ 到 $y=y(x)+\delta y(x)$ 的变分 $\delta J$ 等于取在前一弧上的积分定理 1
\begin{equation} \delta J=\int_{x_0}^{x_1}(F_{y}\delta y+F_{y'}\delta y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
注意到式 6 ,并利用分部积分,得
\begin{equation} \int_{x_0}^{x_1}F_{y'}\delta y' \,\mathrm{d}{x} =F_{y'}^{(1)}\delta y_1-F_{y'}^{(0)}\delta y_0-\int_{x_0}^{x_1} \left( \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
于是式 6 化为
\begin{equation} \begin{aligned} \delta J&=F_{y'}^{(1)}\delta y_1-F_{y'}^{(0)}\delta y_0+\int_{x_0}^{x_1} \left(F_y- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}{x} \\ &=F_{y'}^{(1)}\delta y_1-F_{y'}^{(0)}\delta y_0 \end{aligned} \end{equation}
其中,积分项为 0 是因为弧 $y=y(x)$ 为极端曲线,满足欧拉方程.

   同时,因为对该部分族有

\begin{equation} \delta J= \,\mathrm{d}{J} = \frac{\partial J}{\partial y_0} \delta y_0+ \frac{\partial J}{\partial y_1} \delta y_1 \end{equation}
比较上面两式得
\begin{equation} \frac{\partial J}{\partial y_0} =-F_{y'}^{(0)},\quad \frac{\partial J}{\partial y_1} =F_{y'}^{(1)} \end{equation}
2.现在,考虑另一部分族,它由同一条极端曲线 $y=y(x)$ 组成(见末尾的注),这些弧的起止点坐标有下列关系
\begin{equation} \delta y_0=y'(x_0)\delta x_0=y'_0\delta x_0,\quad \delta y_1=y'(x_1)\delta x_1=y'_1\delta x_1 \end{equation}
于是,微分 $ \,\mathrm{d}{J} $ 的表示化为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{J} = \left( \frac{\partial J}{\partial x_0} +y'_0 \frac{\partial J}{\partial y_0} \right) \delta x_0+ \left( \frac{\partial J}{\partial x_1} +y'_1 \frac{\partial J}{\partial y_1} \right) \delta x_1 \end{equation}
另一方面,按对积分上下限求微分法则,从
\begin{equation} J=\int_{x_0}^{x_1}F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
得到
\begin{equation} \,\mathrm{d}{J} =F^{(1)} \,\mathrm{d}{x} _1-F^{(0)} \,\mathrm{d}{x} _0 \end{equation}
比较式 12 式 14 得到
\begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\partial J}{\partial x_0} =-F^{(0)}-y'_0 \frac{\partial J}{\partial y_0} =-(F-y'F_{y'})^{(0)}\\ & \frac{\partial J}{\partial x_1} =F^{(1)}-y'_1 \frac{\partial J}{\partial y_1} =(F-y'F_{y'})^{(1)} \end{aligned} \end{equation}

   综合 1,2,便得式 4 .定理得证!

   注:

  1. 证明中,1 中加黑体处(式 6 前)表明仅需起始弧为极端曲线弧,而不要求移动的弧是极端曲线弧,即当族 $\{\gamma'\}$ 不是极端曲线族,但包含着极端曲线 $\gamma_0$,那么定理仍成立;
  2. 在证明中的 2 部分,之所以能这样取部分族是因为,点 $A,B$ 是面上的点,那么它们各自的邻区当然是以它们为中心的一个圆了,那么这样取的部分族只需要在这个圆内延长曲线的端点就行了.

3. 问题的解决

   给出问题中泛函以极值的曲线的端点满足的方程称为斜截条件,解该方程就能得到所要的曲线的端点,那么所要的曲线就是端点满足斜截条件的极端曲线.


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