端点可变问题

                     

贡献者： 零穹

1. 问题的提出

　　 在前面的问题中，总是取以两个固定点为端点的曲线作为可取曲线。现在，我们研究以更广泛的曲线作为可取曲线的泛函极值问题。

　　 设函数 $F(x,y,y^{\prime })$ 满足普通的连续性及可微性条件；此外，在 $xOy$ 平面上，给定两个 $C_1$ 类的曲线 $\phi$ 及 $\psi$：

在此规定下，我们的问题可叙述如下：

　　 取端点分别在曲线 $\phi$ 及曲线 $\psi$ 上的 $C_1$ 类中全体曲线 $\gamma$，作为可取曲线族。现在要求泛函

的极值，其中积分是沿曲线 $\gamma$ 而取的。

　　 注意到：若某一以 $A$ 和 $B$ 为端点的曲线 ${\gamma }_0$ 是本问题的解，即 ${\gamma }_0$ 给积分式 2 以极值，那么这一曲线 ${\gamma }_0$ 也在连接 $A$ 及 $B$ 的所有 $C_1$ 类曲线中，给 $J$ 以极值。由最简单问题时的欧拉定理，曲线 ${\gamma }_0$ 满足欧拉方程

　　 这就是说，若以可取曲线族中的极端曲线构成新的可取曲线族，得到的使 $J$ 取极值的曲线和以 $C_1$ 类曲线作为可取曲线族时得到的是同一条曲线。

2. $J(\gamma )$ 对极端曲线的微分

证明

　　 设 ${\gamma }_0$ 是起点为 $A$ 终点为 $B$ 的极端曲线，考虑临近于它的极端曲线族 $\{\gamma \}$，它们的端点在 $A,B$ 的某二邻区内。假设 $\{\gamma \}$ 中只有唯一的弧通过每二端点，则 $\{\gamma \}$ 中每一条弧将由它们的起点和终点坐标 $x_0,y_0;x_1,y_1$ 决定，即在族 $\{\gamma \}$ 上的泛函 $J(\gamma )$ 变成弧 $\gamma$ 的端点的坐标函数：$J(\gamma )=J(x_0,y_0,x_1,y_1)$。于是当变数微分为 $\delta x_0,\delta y_0,\delta x_1,\delta y_1$ 时，就有

1。首先，考虑 $x_0,x_1$ 固定的族 $\{\gamma \}$ 中的曲线构成的部分族（弧 $\gamma$ 的端点在两条平行于 $y$ 轴的直线上流动），于是这个部分族只含两参变数 $y_0,y_1$，且在该部分族上微分与变分重合。设 $y=y(x)$ 与 $y=y(x)+\delta y(x)$ 是这个部分族中的两条无限接近的极端曲线弧。于是 $y_0=y(x_0),y_1=y(x_1)$，并令 $\delta y_0=\delta y(x_0),\delta y_1=\delta y(x_1)$。于是，从弧 $y=y(x)$ 到 $y=y(x)+\delta y(x)$ 的变分 $\delta J$ 等于取在前一弧上的积分定理 1 注意到式 6 ，并利用分部积分，得 于是式 6 化为 其中，积分项为 0 是因为弧 $y=y(x)$ 为极端曲线，满足欧拉方程。

　　 同时，因为对该部分族有

比较上面两式得 2。现在，考虑另一部分族，它由同一条极端曲线 $y=y(x)$ 组成（见末尾的注），这些弧的起止点坐标有下列关系 于是，微分 $\mathrm{d}J$ 的表示化为 另一方面，按对积分上下限求微分法则，从 得到 比较式 12 ，式 14 得到

　　 综合 1，2，便得式 4 。定理得证！

　　 注：

1. 证明中，1 中加黑体处（式 6 前）表明仅需起始弧为极端曲线弧，而不要求移动的弧是极端曲线弧，即当族 $\{{\gamma }^{\prime }\}$ 不是极端曲线族，但包含着极端曲线 ${\gamma }_0$，那么定理仍成立；
2. 在证明中的 2 部分，之所以能这样取部分族是因为，点 $A,B$ 是面上的点，那么它们各自的邻区当然是以它们为中心的一个圆了，那么这样取的部分族只需要在这个圆内延长曲线的端点就行了。

3. 问题的解决

　　 给出问题中泛函以极值的曲线的端点满足的方程称为斜截条件，解该方程就能得到所要的曲线的端点，那么所要的曲线就是端点满足斜截条件的极端曲线。