极端曲线

贡献者：零穹; addis

预备知识　欧拉方程（变分学）

　　从欧拉方程一节中，可以知道极值曲线是使二维空间中泛函

\begin{matrix} (1) & J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x \end{matrix}

取极值的曲线，它满足欧拉方程。当推广到高维空间时，我们称使

n

维空间中泛函

\begin{matrix} (2) & J (y_{1}, \dots, y_{n}) = \int_{a_{0}}^{a_{1}} F (x; y_{1}, \dots, y_{n}; y_{1}^{'}, \dots, y_{n}^{'}) . \end{matrix}

取极值的曲线

\begin{matrix} (3) & y_{1} = y_{1} (x); \dots; y_{n} = y_{n} (x) \end{matrix}

中的每一个为极端曲线。式中，

a_{0}, a_{1}

分别是

n

维空间中可取曲线的起止点的参数值。在高维空间中，泛函式 2 取极值的必要条件满足如下定理

定理 1　

　　如果曲线

\begin{matrix} (4) & y_{1} = y_{1} (x), y \dots, y_{n} = y_{n} (x) \end{matrix}

属于可取曲线

C_{1}

类，并且给出积分

\begin{matrix} (5) & J (y_{1}, \dots, y_{n}) = \int_{a_{0}}^{a_{1}} F (x; y_{1}, \dots, y_{n}; y_{1}^{'}, \dots, y_{n}^{'}) \end{matrix}

的极值。其中，

F

和它对所有变数的二阶以内的偏微商都是连续的。那么函数

y_{1} = y_{1} (x), y \dots, y_{n} = y_{n} (x)

满足微分方程组

\begin{matrix} (6) & F_{y_{1}} - \frac{d}{d x} F_{y_{1}^{'}} = 0 \dots, F_{y_{n}} - \frac{d}{d x} F_{y_{n}^{'}} = 0 . \end{matrix}

并且若

Δ = | \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{i}^{'} \partial y_{k}^{'}} |

沿着某极端曲线

y_{k} = y_{k} (x)

不为 0，那么这条极端曲线是属于

C_{2}

类的。

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