极端曲线

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 欧拉方程(变分学)

   从欧拉方程 一节中,可以知道极值曲线是使二维空间中泛函

\begin{equation} J(y)=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
取极值的曲线,它满足欧拉方程.当推广到高维空间时,我们称使 $n$ 维空间中泛函
\begin{equation} J(y_1,\cdots, y_n)=\int_{a_0}^{a_1}F(x;y_1,\cdots,y_n;y_1',\cdots,y_n') \end{equation}
取极值的曲线
\begin{equation} y_1=y_1(x);\cdots;y_n=y_n(x) \end{equation}
中的每一个为极端曲线.式中,$a_0,a_1$ 分别是 $n$ 维空间中可取曲线的起止点的参数值. 在高维空间中,泛函式 2 取极值的必要条件满足如下定理

定理 1 

   如果曲线

\begin{equation} y_1=y_1(x),y\cdots,y_n=y_n(x) \end{equation}
属于可取曲线 $C_1$ 类,并且给出积分
\begin{equation} J(y_1,\cdots, y_n)=\int_{a_0}^{a_1}F(x;y_1,\cdots,y_n;y_1',\cdots,y_n') \end{equation}
的极值.其中,$F$ 和它对所有变数的二阶以内的偏微商都是连续的.那么函数 $y_1=y_1(x),y\cdots,y_n=y_n(x)$ 满足微分方程组
\begin{equation} F_{y_1}- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y_1'}=0\cdots, F_{y_n}- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F_{y_n'}=0 \end{equation}
并且若 $\Delta= \left\lvert \frac{\partial^2 F}{\partial y_i'\partial y_k'} \right\rvert $ 沿着某极端曲线 $y_k=y_k(x)$ 不为 0,那么这条极端曲线是属于 $C_2$ 类的.


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