极值的必要条件（变分学）

贡献者：零穹

预备知识　变分

　　正如习题 1 所示，绝对极值必定是相对极值，相对强的极值必定是相对弱的极值。所以，弱的相对极值的必要条件也是绝对极值和强的相对极值的必要条件。因为这个原因，弱的极值的必要条件就称为极值的必要条件。

　　曲线 $y = y (x)$ 实现了泛函 $J (y)$ 的极值的必要条件是：在曲线 $y = y (x)$ 的某个一级 $ϵ -$ 邻区中，对任一曲线 $y = \overset{―}{y} (x)$ ， $Δ J = J (\overset{―}{y}) - J (y)$ 符号一定。

　　对于泛函 $J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x$ ，有下面关于极值的必要条件定理

定理 1　

　　设 $y (x)$ 是 $C_{1}$ 类的子节 2 ，且 $y (a) = y_{0}, y (b) = y_{1}$ 。则 $y (x)$ 给出泛函 $J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x$ 的极值的必要条件是：变分

\begin{matrix} (1) & δ J = \int_{a}^{b} [F_{y}^{'} (x, y, y^{'}) η (x) + F_{y^{'}}^{'} (x, y, y^{'}) η^{'} (x)] d x . \end{matrix}

对于

C_{1}

类的任意满足

η (a) = η (b) = 0

的函数

η (x)

，成立

δ J = 0

。

1. 证明

　　由弱的相对极值的定义，若 $y (x)$ 实现 $J (y)$ 的弱的相对极值，则对 $y (x)$ 的某个一级 $ϵ -$ 邻区中，任意 $\overset{―}{y} (x)$ ，在弱极大时， $Δ J = J (\overset{―}{y}) - J (y) \leq 0$ ；在若极小时， $Δ J = J (\overset{―}{y}) - J (y) \geq 0$ 。即 $Δ J$ 符号一定。

　　为证明定理 1 ，先引入一个引理。

引理 1　

　　设 $d$ 是常数， $α$ 可以任意方式趋于 0， $ϵ_{α}$ 是 $α$ 的高阶无穷小且随 $α$ 趋于 0。如果对于一切充分小的 $α$ ，成立

\begin{matrix} (2) & α d + ϵ_{α} \geq 0 o r α d + ϵ_{α} \leq 0, \end{matrix}

则

d = 0

。

　　 证明： 设 $d \neq 0$ 。则因 $ϵ_{α}$ 是 $α$ 的高阶无穷小，当 $α \to 0$ 时，表达式

\begin{matrix} (3) & d + \frac{ϵ_{α}}{α} \end{matrix}

将与

d

的符号一致。所以，表达式

\begin{matrix} (4) & α d + ϵ_{α} = α (d + \frac{ϵ_{α}}{α}) \end{matrix}

的符号取决于

α

。即若

α

与

d + \frac{ϵ_{α}}{α}

符号相反时，式 4 为负，相同时为正。这与条件式 2 相违背。因此，

d = 0

。引理得证。

定理 1 的证明

　　考虑函数 $y (x) + t η (x)$ ，则由式 11 ，式 12

\begin{matrix} (5) & J (y + t η) - J (y) = t δ J + ϵ_{1} | t | r (y, y + η) . \end{matrix}

式中，右边第二项是

t

的高阶无穷小，并且式中已经使用了

r (y, y + t η) = | t | r (y, y + η)

定义 2 。

　　由于 $y (x)$ 给 $J (y)$ 于极值，由极值的必要条件，对任意的 $t \to 0$ , 式 5 符号都一定。由泛函变分 $δ J$ 的定义，当 $y$ 和 $η$ 固定时，其是一个常数。所以式 5 满足引理 1 的条件，故 $δ J = 0$ 。定理得证。

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