极值的必要条件(变分学)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 变分

   正如习题 1 所示,绝对极值必定是相对极值,相对强的极值必定是相对弱的极值.所以,弱的相对极值的必要条件也是绝对极值和强的相对极值的必要条件.因为这个原因,弱的极值的必要条件就称为极值的必要条件

   曲线 $y=y(x)$ 实现了泛函 $J(y)$ 的极值的必要条件是:在曲线 $y=y(x)$ 的某个一级 $\epsilon-$ 邻区中,对任一曲线 $y=\overline{y}(x)$,$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)$ 符号一定.

   对于泛函 $J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $,有下面关于极值的必要条件定理

定理 1 

   设 $y(x)$ 是 $C_1$ 类的子节 2 ,且 $y(a)=y_0,y(b)=y_1$.则 $y(x)$ 给出泛函 $J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $ 的极值的必要条件是:变分

\begin{equation} \delta J=\int_a^b[F'_y(x,y,y')\eta(x)+F'_{y'}(x,y,y')\eta'(x)] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
对于 $C_1$ 类的任意满足 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 的函数 $\eta(x)$,成立 $\delta J=0$.

1. 证明

   由弱的相对极值的定义,若 $y(x)$ 实现 $J(y)$ 的弱的相对极值,则对 $y(x)$ 的某个一级 $\epsilon-$ 邻区中,任意 $\overline{y}(x)$,在弱极大时,$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)\leq 0$;在若极小时,$\Delta J=J(\overline{y})-J(y)\geq 0$.即 $\Delta J$ 符号一定.

   为证明定理 1 ,先引入一个引理.

引理 1 

   设 $d$ 是常数,$\alpha$ 可以任意方式趋于 0,$\epsilon_\alpha$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小且随 $\alpha$ 趋于 0.如果对于一切充分小的 $\alpha$,成立

\begin{equation} \alpha d+\epsilon_\alpha\geq0\quad or\quad\alpha d+\epsilon_\alpha\leq0 \end{equation}
则 $d=0$.

   证明: 设 $d\neq 0$.则因 $\epsilon_\alpha$ 是 $\alpha$ 的高阶无穷小,当 $\alpha\rightarrow0$ 时,表式

\begin{equation} d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha} \end{equation}
将与 $d$ 的符号一致.所以,表式
\begin{equation} \alpha d+\epsilon_\alpha=\alpha \left(d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha} \right) \end{equation}
的符号取决于 $\alpha$.即若 $\alpha$ 与 $d+\frac{\epsilon_\alpha}{\alpha}$ 符号相反时,式 4 为负,相同时为正.这与条件式 2 相违背.因此,$d=0$.引理得证.

定理 1 的证明

   考虑函数 $y(x)+t\eta(x)$,则由式 11 式 12

\begin{equation} J(y+t\eta)-J(y)=t\delta J+\epsilon_1 \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta) \end{equation}
式中,右边第二项是 $t$ 的高阶无穷小,并且式中已经使用了 $r(y,y+t\eta)= \left\lvert t \right\rvert r(y,y+\eta)$定义 2

   由于 $y(x)$ 给 $J(y)$ 于极值,由极值的必要条件,对任意的 $t\rightarrow0$, 式 5 符号都一定.由泛函变分 $\delta J$ 的定义,当 $y$ 和 $\eta$ 固定时,其是一个常数.所以式 5 满足引理 1 的条件,故 $\delta J=0$.定理得证.


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