斜截条件

贡献者：零穹

预备知识　端点可变问题

　　所谓的斜截条件是变端问题中使得泛函 $J$ （式 2 ）取极值的曲线的端点所满足的条件。它是指下面两个方程

\begin{matrix} (1) & [F + (φ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(0)} = 0, [F + (ψ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(1)} = 0 . \end{matrix}

其中，指标

(0), (1)

在这里表示对应的函数值是取在弧的起点及终点上的，而

φ (x), ψ (x)

是可取曲线的起点和终点所在的曲线函数。

　　于是变端问题的解答可用下述定理表述

定理 1　

　　在一切连接已给曲线 $y = φ (x)$ 及 $y = ψ (x)$ 上的任意点的 $C_{1}$ 类的曲线中，如果曲线 $γ : y = y (x)$ 给出积分

\begin{matrix} (2) & J (γ) = \int_{γ} F (x, y, y^{'}) d x \end{matrix}

的极值，那么

γ

是极端曲线，并且在它的端点上满足斜截条件式 1 。

1. 证明

　　由子节 1 中的注意及定理 1 。给出积分式 2 的曲线必定是极端曲线，且要在诸极端曲线中找到使 $J$ 达到极值的弧，对于任意的 $δ x_{0}, δ x_{1}$ ，有

\begin{matrix} (3) & d J = - [(F - y^{'} F_{y^{'}})^{(0)} δ x_{0} + F_{y^{'}}^{(0)} δ y_{0}] + [(F - y^{'} F_{y^{'}})^{(1)} δ x_{1} + F_{y^{'}}^{(1)} δ y_{1}] = 0 . \end{matrix}

　　考虑到可取曲线端点在 $y = φ (x), y = ψ (x)$ 上，那么

\begin{matrix} (4) & y_{0} = φ (x_{0}), y_{1} = ψ (x_{1}), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (5) & δ y_{0} = φ^{'} δ x_{0}, δ y_{1} = ψ^{'} δ x_{1}, \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (6) & d J = - [F + (φ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(0)} δ x_{0} + [F + (ψ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(1)} δ x_{1} = 0 . \end{matrix}

由于，

δ x_{0}, δ x_{1}

的任意性，所以

\begin{matrix} (7) & [F + (φ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(0)} = 0, [F + (ψ^{'} - y^{'}) F_{y^{'}}]^{(1)} = 0 . \end{matrix}

定理得证！

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