贡献者： 零穹
所谓的斜截条件是变端问题中使得泛函 $J$（式 2 ）取极值的曲线的端点所满足的条件。它是指下面两个方程
\begin{equation}
[F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}=0~,\quad [F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}=0~.
\end{equation}
其中，指标 ${(0)},{(1)}$ 在这里表示对应的函数值是取在弧的起点及终点上的，而 $\varphi(x),\psi(x)$ 是可取曲线的起点和终点所在的曲线函数。
于是变端问题的解答可用下述定理表述
定理 1
在一切连接已给曲线 $y=\varphi(x)$ 及 $y=\psi(x)$ 上的任意点的 $C_1$ 类的曲线中，如果曲线 $\gamma:y=y(x)$ 给出积分
\begin{equation}
J(\gamma)=\int_{\gamma}F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
的极值，那么 $\gamma$ 是极端曲线，并且在它的端点上满足斜截条件
式 1 。
1. 证明
由子节 1 中的注意及定理 1 。给出积分式 2 的曲线必定是极端曲线，且要在诸极端曲线中找到使 $J$ 达到极值的弧，对于任意的 $\delta x_0,\delta x_1$，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{J} =-[(F-y'F_{y'})^{(0)}\delta {x_0}+ F_{y'}^{(0)}\delta y_0]+[(F-y'F_{y'})^{(1)}\delta {x_1}+F_{y'}^{(1)}\delta y_1]=0~.
\end{equation}
考虑到可取曲线端点在 $y=\varphi(x),y=\psi(x)$ 上，那么
\begin{equation}
y_0=\varphi(x_0),y_1=\psi(x_1)~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\delta y_0=\varphi'\delta x_0,\quad \delta y_1=\psi'\delta x_1~,
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{J} =-[F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}\delta {x_0}+[F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}\delta {x_1}=0~.
\end{equation}
由于，$\delta x_0,\delta x_1$ 的任意性，所以
\begin{equation}
[F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}=0,\quad [F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}=0~.
\end{equation}
定理得证！
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