斜截条件

                     

贡献者: 零穹

预备知识 端点可变问题

   所谓的斜截条件是变端问题中使得泛函 $J$(式 2 )取极值的曲线的端点所满足的条件.它是指下面两个方程

\begin{equation} [F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}=0,\quad [F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}=0 \end{equation}
其中,指标 ${(0)},{(1)}$ 在这里表示对应的函数值是取在弧的起点及终点上的,而 $\varphi(x),\psi(x)$ 是可取曲线的起点和终点所在的曲线函数.

   于是变端问题的解答可用下述定理表述

定理 1 

   在一切连接已给曲线 $y=\varphi(x)$ 及 $y=\psi(x)$ 上的任意点的 $C_1$ 类的曲线中,如果曲线 $\gamma:y=y(x)$ 给出积分

\begin{equation} J(\gamma)=\int_{\gamma}F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
的极值,那么 $\gamma$ 是极端曲线,并且在它的端点上满足斜截条件式 1

1. 证明

   由子节 1 中的注意及定理 1 .给出积分式 2 的曲线必定是极端曲线,且要在诸极端曲线中找到使 $J$ 达到极值的弧,对于任意的 $\delta x_0,\delta x_1$,有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{J} =-[(F-y'F_{y'})^{(0)}\delta {x_0}+ F_{y'}^{(0)}\delta y_0]+[(F-y'F_{y'})^{(1)}\delta {x_1}+F_{y'}^{(1)}\delta y_1]=0 \end{equation}

   考虑到可取曲线端点在 $y=\varphi(x),y=\psi(x)$ 上,那么

\begin{equation} y_0=\varphi(x_0),y_1=\psi(x_1) \end{equation}
所以
\begin{equation} \delta y_0=\varphi'\delta x_0,\quad \delta y_1=\psi'\delta x_1 \end{equation}
于是
\begin{equation} \,\mathrm{d}{J} =-[F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}\delta {x_0}+[F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}\delta {x_1}=0 \end{equation}
由于,$\delta x_0,\delta x_1$ 的任意性,所以
\begin{equation} [F+(\varphi'-y')F_{y'}]^{(0)}=0,\quad [F+(\psi'-y')F_{y'}]^{(1)}=0 \end{equation}
定理得证!


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