可取曲线(变分学)

                     

贡献者: 零穹

   Hamilton 分析方法是现代理论物理的通用方法,只要给定相应的作用量,就可以通过 Hamilton 分析构建一门理论,并判断理论的自洽性及对称性和相应的守恒量等诸多性质.经典力学如此,相对论如此,量子力学如此,杨米尔斯理论亦可如此.要掌握 Hamilton 分析,必要的数学准备是逃不开的.当然,我们不可能去搞懂每一个数学上的细节,因为每一个数学细节背后往往都有一门深厚的学问.同时也不该漏掉一些重要的数学概念,因为往往一个艰巨的物理问题后面只是一个简单的数学原理.我们力求在用到数学的地方,都有一个较合理的解释,以便更清楚的看清问题,把握问题的实质.

   变分学是 Hamilton 分析绕不过的一道坎,这也是目前首要的任务之一.当然,我们只挑取以后将用到的一部分内容.现在开始吧!

1. 泛函

图
图 1:过给定两点之间的曲线

   在变分法中,我们须研究这样的关系,其中因变数的值是由函数所确定的.比如研究连接给定两点 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$ 的任意曲线的长度,因变数的值 “曲线的长度” 是由连接 $A,B$ 两点的曲线的形状决定的.设连接 $A,B$ 两点的曲线的方程为

\begin{equation} y=y(x) \end{equation}
并设横坐标 $x$ 在区间 $x_A\leq x\leq x_B$ 上变动,而函数 $y(x)$ 在着区间内有连续的微商 $y'(x)$.于是曲线的长度 $J$ 等于
\begin{equation} J=\int_{x_A}^{x_B} \sqrt{1+y'^2} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
当函数 $y(x)$ 改变时,曲线的长度 $J$ 也将改变.所以,$J$ 是依赖于函数 $y(x)$ 的.如果 $J$ 的值随着某一类函数中的函数 $y(x)$ 而确定,我们就可以写成
\begin{equation} J=J[y(x)] \end{equation}
通过这个例子,便可引出泛函的概念.

定义 1 泛函

   设 $y(x)$ 是给定的某类函数.如果对于这类函数 $y(x)$ 中的每一个函数,有某数 $J[y(x)]$ 与之对应,那么我们说 $J[y(x)]$ 是这类函数 $y(x)$ 的泛函

2. 可取曲线

   为将多元函数在极值点处微分等于零的原理,推广到泛函上去,需要了解可取曲线概念.

   在函数 $f(x)$ 中,自变数 $x$ 可取到的所有数构成的集合叫作函数 $f(x)$ 的定义域.同样,在变分学中,为求得使泛函给出极值的曲线,有可取曲线的概念.显然,为寻求使某一泛函达到极值的曲线,须首先指出关于函数定义区域内的曲线族的性质,以便在这族曲线中寻求给出极值的曲线,这族曲线叫做变分问题的可取曲线

   可取曲线的确定随问题的性质而改变.比如在初等变分法中,可取曲线是连接两定点的平面曲线;在等周问题中,可取曲线必须有定长.

   对于积分 $\int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $ 所表示的曲线函数,我们暂且只限于这种曲线 $y=y(x)$ 所组成的可取曲线族,这种函数 $y=y(x)$ 和它的一级微商都是连续的.

   这样我们可对可取曲线在两方面加于限制:一方面在函数理论的性质上限制它(例如,代表曲线的函数的连续性及其微商的连续性).另一方面在问题的本身的性质上限制它(例如,在等周问题中可取曲线长度是相等的),改变问题的性质,就得到新的问题,它需要新的方法来解决.


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利