可取曲线（变分学）

                     

贡献者： 零穹

　　 Hamilton 分析方法是现代理论物理的通用方法，只要给定相应的作用量，就可以通过 Hamilton 分析构建一门理论，并判断理论的自洽性及对称性和相应的守恒量等诸多性质。经典力学如此，相对论如此，量子力学如此，杨米尔斯理论亦可如此。要掌握 Hamilton 分析，必要的数学准备是逃不开的。当然，我们不可能去搞懂每一个数学上的细节，因为每一个数学细节背后往往都有一门深厚的学问。同时也不该漏掉一些重要的数学概念，因为往往一个艰巨的物理问题后面只是一个简单的数学原理。我们力求在用到数学的地方，都有一个较合理的解释，以便更清楚的看清问题，把握问题的实质。

　　 变分学是 Hamilton 分析绕不过的一道坎，这也是目前首要的任务之一。当然，我们只挑取以后将用到的一部分内容。现在开始吧！

1. 泛函

　　 在变分法中，我们须研究这样的关系，其中因变数的值是由函数所确定的。比如研究连接给定两点 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$ 的任意曲线的长度，因变数的值 “曲线的长度” 是由连接 $A,B$ 两点的曲线的形状决定的。设连接 $A,B$ 两点的曲线的方程为

并设横坐标 $x$ 在区间 $x_A\leq x\leq x_B$ 上变动，而函数 $y(x)$ 在着区间内有连续的微商 $y'(x)$。于是曲线的长度 $J$ 等于 当函数 $y(x)$ 改变时，曲线的长度 $J$ 也将改变。所以，$J$ 是依赖于函数 $y(x)$ 的。如果 $J$ 的值随着某一类函数中的函数 $y(x)$ 而确定，我们就可以写成 通过这个例子，便可引出泛函的概念。

2. 可取曲线

　　 为将多元函数在极值点处微分等于零的原理，推广到泛函上去，需要了解可取曲线概念。

　　 在函数 $f(x)$ 中，自变数 $x$ 可取到的所有数构成的集合叫作函数 $f(x)$ 的定义域。同样，在变分学中，为求得使泛函给出极值的曲线，有可取曲线的概念。显然，为寻求使某一泛函达到极值的曲线，须首先指出关于函数定义区域内的曲线族的性质，以便在这族曲线中寻求给出极值的曲线，这族曲线叫做变分问题的可取曲线。

　　 可取曲线的确定随问题的性质而改变。比如在初等变分法中，可取曲线是连接两定点的平面曲线；在等周问题中，可取曲线必须有定长。

　　 对于积分 $\int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} $ 所表示的曲线函数，我们暂且只限于这种曲线 $y=y(x)$ 所组成的可取曲线族，这种函数 $y=y(x)$ 和它的一级微商都是连续的。

　　 这样我们可对可取曲线在两方面加于限制：一方面在函数理论的性质上限制它（例如，代表曲线的函数的连续性及其微商的连续性）。另一方面在问题的本身的性质上限制它（例如，在等周问题中可取曲线长度是相等的），改变问题的性质，就得到新的问题，它需要新的方法来解决。