变分的变换（变分学）

贡献者：零穹

预备知识　变分

　　在变分一节中，我们得到泛函

\begin{matrix} (1) & J (y) = \int_{a}^{b} F (x, y, y^{'}) d x . \end{matrix}

变分的表达式式 18 ，即

\begin{matrix} (2) & δ J = \int_{a}^{b} [F_{y}^{'} (x, y, y^{'}) δ y + F_{y^{'}}^{'} (x, y, y^{'}) δ y^{'}] d x . \end{matrix}

利用分部积分式 1 ，可以将上式积分号下只表达为

δ y

（拉格朗日变换）或

δ y^{'}

（黎曼变换）的线性函数定义 1 。这就是这里说的变分的变换.

　　若在点 $a$ 及 $b$ 上， $δ y = 0$ ，那么：

拉格朗日变换：
$\begin{matrix} (3) & δ J = \int_{a}^{b} (F_{y}^{'} - \frac{d}{d x} F_{y^{'}}^{'}) δ y d x . \end{matrix}$
黎曼变换：
$\begin{matrix} (4) & δ J = \int_{a}^{b} (F_{y^{'}}^{'} - N) δ y^{'} d x, w h e r e N = \int_{a}^{x} F_{y}^{'} d x . \end{matrix}$

　　注意，在引出式 2 时，仅假定 $y (x)$ 是 $C_{1}$ 类的，即 $y (x)$ 具有连续微商 $y^{'} (x)$ , 而没有假定 $y^{'} (x)$ 可微分。这将使我们看到，拉格朗日变换是不合法的，取而代之的将是黎曼变换。

1. 证明

拉格朗日变换

　　利用分部积分，有

\begin{matrix} (5) & \int_{a}^{b} F_{y^{'}}^{'} δ y^{'} d x = {[F_{y^{'}}^{'} δ y]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} δ y \frac{d}{d x} F_{y^{'}}^{'} d x . \end{matrix}

这里使用了式 17

\begin{matrix} (6) & δ y^{'} = {\overset{―}{y}}^{'} - y^{'} = (\overset{―}{y} - y)^{'} = (δ y)^{'} . \end{matrix}

当

δ y

在

a, b

处为 0 时，式 5 第一项为 0，代入式 2 即得式 3 。

　　但是，在进行分部积分式 5 时，必须要求， $\frac{d}{d x} F_{y^{'}}^{'}$ 存在，而 $F_{y^{'}}^{'} (x, y, y^{'})$ 也是 $y^{'}$ 的函数，这要求 $y^{'}$ 对 $x$ 可微分，即 $y^{″}$ 要存在。然而正如上面所提到的，这是没有假定的，即 $y^{″}$ 不一定存在，所以拉格朗日变换不合法。

黎曼变换

　　为要去除 $y^{″}$ 的存在的附加假设，黎曼提出另外的变分变换。令 $N (x) = \int_{a}^{x} F_{y}^{'} d x$ ，代入式 2 ，得

\begin{matrix} (7) & δ J = \int_{a}^{b} [\frac{d N}{d x} δ y + F_{y^{'}}^{'} δ y^{'}] d x, \end{matrix}

应用分部积分

\begin{matrix} (8) & \int_{a}^{b} \frac{d N}{d x} δ y d x = {[N δ y]}_{a}^{b} - \int_{a}^{b} N δ y^{'} d x . \end{matrix}

上式代入式 2 ，并考虑在

a, b

处

δ y = 0

，即得式 4 。显然，这个变换不要求函数

y (x)

的附加条件。

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