变分的变换(变分学)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 变分

   在变分一节中,我们得到泛函

\begin{equation} J(y)=\int_a^bF(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
变分的表达式式 18 ,即
\begin{equation} \delta J=\int_a^b \left[F'_y(x,y,y')\delta y+F'_{y'}(x,y,y')\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
利用分部积分式 1 ,可以将上式积分号下只表达为 $\delta y$(拉格朗日变换)或 $\delta y'$(黎曼变换)的线性函数定义 1 .这就是这里说的变分的变换.

   若在点 $a$ 及 $b$ 上,$\delta y=0$,那么:

  1. 拉格朗日变换:
    \begin{equation} \delta J=\int_a^b \left(F'_y- \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  2. 黎曼变换:
    \begin{equation} \delta J=\int_a^b \left(F'_{y'}-N \right) \delta y' \,\mathrm{d}{x} ,\quad where \;N=\int_a^xF'_y \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   注意,在引出式 2 时,仅假定 $y(x)$ 是 $C_1$ 类的,即 $y(x)$ 具有连续微商 $y'(x)$, 而没有假定 $y'(x)$ 可微分.这将使我们看到,拉格朗日变换是不合法的,取而代之的将是黎曼变换.

1. 证明

拉格朗日变换

   利用分部积分,有

\begin{equation} \int_a^bF'_{y'}\delta y' \,\mathrm{d}{x} = \left[F'_{y'}\delta y \right] _a^b-\int_a^b\delta y \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'} \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
这里使用了式 17
\begin{equation} \delta y'=\overline{y}'-y'=(\overline{y}-y)'=(\delta y)' \end{equation}
当 $\delta y$ 在 $a,b$ 处为 0 时,式 5 第一项为 0,代入式 2 即得式 3

   但是,在进行分部积分式 5 时,必须要求,$ \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} F'_{y'}$ 存在,而 $F'_{y'}(x,y,y')$ 也是 $y'$ 的函数,这要求 $y'$ 对 $x$ 可微分,即 $y''$ 要存在.然而正如上面所提到的,这是没有假定的,即 $y''$ 不一定存在,所以拉格朗日变换不合法.

黎曼变换

   为要去除 $y''$ 的存在的附加假设,黎曼提出另外的变分变换. 令 $N(x)=\int_a^xF'_y \,\mathrm{d}{x} $,代入式 2 ,得

\begin{equation} \delta J=\int_a^b \left[ \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{x}} \delta y+F'_{y'}\delta y' \right] \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
应用分部积分
\begin{equation} \int_a^b \frac{\mathrm{d}{N}}{\mathrm{d}{x}} \delta y \,\mathrm{d}{x} = \left[N\delta y \right] _a^b-\int_a^bN\delta y' \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
上式代入式 2 ,并考虑在 $a,b$ 处 $\delta y=0$,即得式 4 .显然,这个变换不要求函数 $y(x)$ 的附加条件.


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