电磁场张量

                     

贡献者: _Eden_; JierPeter; addis

预备知识 张量的分类,洛伦兹规范,闵可夫斯基空间,抽象指标

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达.依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$.约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$.

   一个参考系中的电磁场需要用六个实函数数来刻画,三个用来刻画电场,三个用来刻画磁场.六个实数太过复杂,我们希望寻求一种简单的方式来简化表达.把六个实数合成一个对象的方法,最直接的当然是使用一个六维向量——不过这样并不能带来实质上的简化.实践中我们使用的其实是一个反对称张量场,用它来表示电磁场.

   在狭义相对论里,时空是一个线性空间,事件的时空坐标随着基的不同而不同,而不同的基就代表不同的观察者,事件的坐标分量就是观察者的测量值.

   和向量一样,任何张量只有给定了空间的基,才有 “坐标分量” 的概念.换句话说,只有有了观察者,才有观察者的测量值.张量本身不随基的选择而改变,改变的只是坐标分量.对于电磁场张量来说,其坐标分量,或称观察者的测量值,就是电场强度和磁场强度的空间分量,一共六个实函数.

1. 电磁场张量的定义

定义 1 电磁场张量

   $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$,其中 $\partial^{\mu}=(-\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$,$A^{\mu}=(\phi,A_x,A_y,A_z)$,其中 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 满足洛伦兹规范 $\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$1,洛伦兹规范在这里可以简写为 $\partial_\mu A^{\mu}=0$.

   从上面的定义式可以看出,电磁场张量 $F^{\mu\nu}$ 是个反对称张量2,且具有洛伦兹协变性,即满足

\begin{equation} \begin{aligned} &F'^{\mu\nu}={L^\mu}_\alpha {L^\nu}_\beta F^{\alpha\beta}\\ &F'_{\mu\nu}={L_\mu}^\alpha {L_\nu}^\beta F_{\alpha\beta} \end{aligned} \end{equation}

   电磁场张量是一个二阶张量,为了方便可以写成矩阵形式(假定 $F^{\mu\nu}$ 的第一个指标为行数,第二个指标为列数).矩阵的元素是关于 $\phi$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的表达式,所以它反映了电磁场的性质,进一步地式 1 反映了电磁场的变化规律.

   根据 $\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的定义,我们有

\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi-\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{A}} }{\partial t} \\ & \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{aligned} \end{equation}
所以对任意的 $i=1,2,3$(不妨记 $x_1=x,x_2=y,x_3=z$).
\begin{equation} \begin{aligned} &F^{0i}=-\frac{\partial A_i}{\partial t}-\frac{\partial \phi}{\partial x_i}=E_i\\ &F^{ij}=\frac{\partial A_j}{\partial i}-\frac{\partial A_i}{\partial j}=\epsilon_{ijk}B_k \end{aligned} \end{equation}

   于是我们有下面的定义,描述了电磁场张量的坐标分量与坐标系对应的电磁场分量的联系.

定义 2 电磁场张量

   一个伪黎曼流形上的电磁场是一个二阶反对称张量 $F^{\mu\nu}$.若在某基下其分量为 $F^{01}=E_x, F^{02}=E_y, F^{03}=E_z, F^{23}=B_x, F^{31}=B_y, F^{12}=B_z$,那么在这个基对应的观察者所观察到的电场就是 $ \begin{pmatrix}E_x, E_y, E_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,磁场就是 $ \begin{pmatrix}B_x, B_y, B_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $. 电磁场张量可以写成以下矩阵形式:

\begin{equation} F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} &0, &E_x, &E_y, &E_z\\ &-E_x, &0, &B_z, &-B_y\\ &-E_y, &-B_z, &0, &B_x\\ &-E_z, &B_y, &-B_x, &0 \end{pmatrix} _{\mu\nu} \end{equation}
或者用列维—奇维塔符号 来表示:
\begin{equation} F^{0 i}=-F^{i 0}=E_i,\ F^{ij}=\epsilon_{ijk}B_k \end{equation}

   即假定 $F^{\mu\nu}$ 的第一个指标为行数,第二个指标为列数3

   用反对称张量来表示电磁场的方式不止一种,还可以使用以下定义的对偶张量.

定义 3 电磁张量的对偶张量

   电磁场张量 $F^{\mu\nu}$ 的对偶张量,记为 $G^{\mu\nu}$.如果 $F^{\mu\nu}$ 在某基下的分量为 $F^{01}=E_x, F^{02}=E_y, F^{03}=E_z, F^{23}=B_x, F^{31}=B_y, F^{12}=B_z$,那么有 $G^{01}=-B_x, G^{02}=-B_y, G^{03}=-B_z, G^{23}=E_x, G^{31}=E_y, G^{12}=E_z$. 对偶张量有一个简单的记法:

\begin{equation} G_{\mu\nu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma} \end{equation}
其中 $\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ 是一个四维反对称张量,$(\mu\nu\rho\sigma)$ 为偶排列的时候 $\epsilon$ 取 $1$,如果是奇排列则 $\epsilon$ 取 $-1$,其他情况(有重复指标的时候)$\epsilon$ 取 $0$.由于爱因斯坦求和约定,这里对重复指标 $\rho,\sigma$ 进行求和,所以要乘以系数 $\frac{1}{2}$.

   也可以用列维—奇维塔符号 来表示:

\begin{equation} G^{0i}=-G^{i0}=-B_i,\ G^{ij}=\epsilon_{ijk}E_k \end{equation}

   对偶张量,用类似式 4 的方式写出来,就是

\begin{equation} \begin{aligned} G^{\mu\nu}=\eta^{\mu\mu'}\eta^{\nu\nu'}G_{\mu'\nu'}= \begin{pmatrix} &0, &-B_x, &-B_y, &-B_z\\ &B_x, &0, &E_z, &-E_y\\ &B_y, &-E_z, &0, &E_x\\ &B_z, &E_y, &-E_x, &0 \end{pmatrix} _{\mu\nu} \end{aligned} \end{equation}

2. 电磁场张量的参考系变换

   电磁场张量是二阶张量,所以它满足四维时空下的变换规律. 只需要将洛伦兹变换的矩阵形式式 12 代入式 1 就可以得到电磁场在参考系变换下的结果.

   在自然单位制下,$c=1$,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} /c= \boldsymbol{\mathbf{v}} $,$\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}=1/\sqrt{1-v^2}$,电磁场的变换公式为

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{E}} '=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} \\ \boldsymbol{\mathbf{B}} '=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{aligned} \end{equation}
这里我们先推导电场的变换公式.根据电磁场张量的定义和变换公式,$E'_i=F'^{0i}={L^0}_\mu {L^i}_{\nu} F^{\mu\nu}$,所以
\begin{equation} \begin{aligned} E'_i&={L^0}_\mu {L^i}_\nu F^{\mu\nu}\\ &={L^0}_0 {L^i}_j F^{0j}+{L^0}_j {L^i}_0 F^{j0} + {L^0}_j {L^i}_k F^{jk} \\ &=\gamma[\delta_{ij}+(\gamma-1) v_iv_j/v^2]E_j+\gamma v_j\gamma v_i (-E_j)\\ &\ \ \ -\gamma v_j [\delta_{ik}+(\gamma-1)v_i v_k/v^2]\epsilon_{jkl}B_l\\ &=\gamma E_i+(\gamma^2-\gamma)\frac{v_iv_jE_j}{v^2}-\gamma^2v_iv_jE_j-\gamma v_j\epsilon_{jil}B_l -(\gamma^2-\gamma)\frac{v_iB_l}{v^2}\epsilon_{jkl}v_jv_k \\ &=\gamma E_i+(1-\gamma)\frac{v_iv_jE_j}{v^2}-\gamma\epsilon_{ijk}B_jv_k \end{aligned} \end{equation}
改写成矢量形式,就可以得到电场的变换公式
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{E}} '&=\gamma \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{1-\gamma}{v^2} \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\gamma \boldsymbol{\mathbf{B}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} \\ &=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )+\frac{1-\gamma}{1-1/\gamma^2} \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} )\\ &=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{aligned} \end{equation}
如果想得到磁场的变换公式,根据麦克斯韦方程组的对称性,我们只需要将上面的 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 替换为 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 替换为 $- \boldsymbol{\mathbf{E}} $,就可以得到
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} '=\gamma ( \boldsymbol{\mathbf{B}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{E}} )-\frac{\gamma^2}{1+\gamma}( \boldsymbol{\mathbf{v}} \times B) \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}

3. 闵可夫斯基时空中的电动力学

场源的描述

定义 4 电流密度 4-矢量

   在闵可夫斯基空间中,电流密度被表示为一个 4-矢量 $J^\mu$.如果在某观察者看来,电荷密度的分布是 $\rho$,而电流密度的分布是 $ \begin{pmatrix}J_x, J_y, J_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,那么在这个观察者的坐标系下,电流密度 4-矢量的坐标就是 $ \begin{pmatrix}\rho, J_x, J_y, J_z\end{pmatrix} $.

   电流密度 4-矢量应当满足连续性条件(或者说电荷守恒):

\begin{equation} \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{J}} =-\frac{\partial\rho}{\partial t} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x^i}J^i+\frac{\partial}{\partial t}\rho=0 \end{equation}
或者可以写成协变形式:
\begin{equation} \partial_\mu J^\mu=0 \end{equation}

四维形式的麦克斯韦方程组

   利用四维形式的电磁场张量和电流密度 4-矢量,我们可以将麦克斯韦方程组表示为以下两个方程

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\partial_\mu F^{\mu\nu}=-4\pi J^\nu\\ &\partial^\mu G_{\mu\nu}=0 \end{aligned}\right. \end{equation}

   注意式 16 中的真指标是 $\nu$,赝指标是 $\mu$(根据爱因斯坦求和约定,对重复指标进行求和).第二个方程也可以用 $\partial^\mu F^{\nu\rho}+\partial^\nu F^{\rho\mu}+\partial^\rho F^{\mu\nu}=0$ 代替.

   式 16 的第一个方程是一个四维矢量方程,可以拆成一个标量方程和一个三维矢量方程,其中标量方程就是 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =-4\pi \rho$,而矢量方程就是 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} +\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} /\partial t$.

   类似地,式 16 的第二个方程分别代表了 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} /\partial t$.

   详细推导:

\begin{equation} \begin{aligned} &\partial_\mu F^{\mu 0}=-4\pi J^0=-4\pi \rho\\ \Rightarrow &\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =4\pi \rho \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\partial_\mu F^{\mu i}=-4\pi J^i=-4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} _i\\ \Rightarrow & \frac{\partial E_i}{\partial t} +\partial_k\epsilon_{kij}B_j=-4\pi J_i\\ \Rightarrow &\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t}-\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =-4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} \\ \Rightarrow &\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{B}} =4\pi \boldsymbol{\mathbf{J}} +\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\partial^\mu G_{\mu 0} = 0\\ \Rightarrow &\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0 \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\partial^\mu G_{\mu i} = 0\\ \Rightarrow &-\frac{\partial B_i}{\partial t}+\partial_k \epsilon_{kij} \boldsymbol{\mathbf{E}} _j = 0\\ \Rightarrow &\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\partial t} \end{aligned} \end{equation}

电荷受力

   对于一个带电荷 $q$ 的粒子,如果它在某参考系下的 4-速度为 $U^\mu=(\gamma,\gamma v_x,\gamma v_y,\gamma v_z)$,那么在电磁场 $F^{\mu\nu}$ 中,该电荷受到的闵可夫斯基力

\begin{equation} K^{\mu}=q {F^{\mu}}_\nu U^\nu \end{equation}
注意,其中 $U_\mu=\eta_{\mu\nu}U^\nu$,而 $\eta_{\mu\nu}$ 是闵可夫斯基度规.换句话说,如果粒子在该参考系下的 3-速度为 $ \begin{pmatrix}v_x, v_y, v_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,那么有 $U_\mu=\gamma \begin{pmatrix}-1, v_x, v_y, v_z\end{pmatrix} $.$K^\mu$ 是一个四矢量,也具有洛伦兹协变性,事实上它正比于 4-速度关于原时的导数,比例系数为 $m$,即粒子的静质量.
\begin{equation} m\frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }=K^\mu=q {F^{\mu}}_\nu U^\nu \end{equation}

   我们把式 22 分为一个标量方程和一个三维向量方程.

   标量方程展开来就是

\begin{equation} \begin{aligned} m\frac{ \,\mathrm{d}{\gamma} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }&=q \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \gamma \boldsymbol{\mathbf{v}} \\ \Rightarrow\frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma m \right) }{ \,\mathrm{d}{\tau} }&=\gamma q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \\ \Rightarrow \frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma m \right) }{ \,\mathrm{d}{t} }&=q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{aligned} \end{equation}
注意到 $\gamma m$ 是粒子的动质量,$q \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 对应的是电场对粒子做的功(磁场对粒子不做功).所以该方程对应经典物理中的功能原理:$ \,\mathrm{d}{E} / \,\mathrm{d}{t} = \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} $.

   向量方程展开则得到的是

\begin{equation} \begin{aligned} &m\frac{ \,\mathrm{d}\left(\gamma v_i \right) }{ \,\mathrm{d}{\tau} } =K^i=q{F^i}_0U^0+q{F^i}_jU^j=q\gamma E_i+q\epsilon_{ijk} \gamma v_j B_k \\ \Rightarrow &\frac{ \,\mathrm{d}{P} _i}{ \,\mathrm{d}{\tau} }= \boldsymbol{\mathbf{K}} =q\gamma( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\ \Rightarrow &\frac{ \,\mathrm{d}{P} _i}{ \,\mathrm{d}{t} }= \boldsymbol{\mathbf{F}} =q( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{aligned} \end{equation}
它对应经典物理中的动量原理,其中力是洛伦兹力.


1. ^ 在 SI 单位制下,洛伦兹规范应当写为 $\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =0$.而这里用的是自然单位制,将 $1/c^2$ 略去.
2. ^ “反对称” 意味着 $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$.
3. ^ 为了方便,我们常借用二阶矩阵来表示电磁张量,但是要记住,这是一个不规范的表达.


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