张量的分类

             

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 协变和逆变

   协变和逆变词条中提到,尽管张量是多个任意的线性空间 $V$ 之间的多重线性映射,我们通常只考虑用 $V$ 和其对偶空间 $V^*$ 定义的张量,这样只需要定义一个空间的基就可以得到所有空间的基了.

   回忆张量词条中所教的判断张量阶数的方法:看一共有多少线性空间参与映射,不过是作为自变量的一部分还是像的一部分.在协变和逆变词条中我们介绍了定义一个张量时给线性空间分类的方法,即分为 $V$ 和 $V^*$,这样就可以进一步把张量分出类型来,比阶数更细致一些.

定义 1 

   一个 $(m, n)$ 型张量是涉及了 $n$ 个逆变向量和 $m$ 个协变向量的 $(m+n)$ 阶张量.

   一个 $(m, n)$ 型张量可以把 $n$ 个逆变向量和 $m$ 个协变向量映射为一个数字,也可以是映射成低阶张量.比如说,如果 $h^{ab}_c$ 是一个 $(2, 1)$ 型张量,那么它乘以一个逆变向量 $v^c$,就得到一个 $(2, 0)$ 型张量 $g^{ab}=v^ch^{ab}_c$;同样,它乘以两个协变向量后就得到一个 $(0, 1)$ 型张量,也就是一个协变向量.

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