张量的分类

贡献者： JierPeter; addis; Giacomo

本文处于草稿阶段。
内容已合并至协变和逆变。

预备知识　协变和逆变

　　协变和逆变文章中提到，尽管张量是多个任意的线性空间 $V$ 之间的多重线性映射，我们通常只考虑用 $V$ 和其对偶空间 $V^*$ 定义的张量，这样只需要定义一个空间的基就可以得到所有空间的基了。

　　回忆张量文章中所教的判断张量阶数的方法：看一共有多少线性空间参与映射，不过是作为自变量的一部分还是像的一部分。在协变和逆变文章中我们介绍了定义一个张量时给线性空间分类的方法，即分为 $V$ 和 $V^*$，这样就可以进一步把张量分出类型来，比阶数更细致一些。

定义 1　

　　一个 $(m, n)$ 型张量是涉及了 $n$ 个逆变向量和 $m$ 个协变向量的 $(m+n)$ 阶张量。

　　一个 $(m, n)$ 型张量可以把 $n$ 个逆变向量和 $m$ 个协变向量映射为一个数字，也可以是映射成低阶张量。比如说，如果 $h^{ab}_c$ 是一个 $(2, 1)$ 型张量，那么它乘以一个逆变向量 $v^c$，就得到一个 $(2, 0)$ 型张量 $g^{ab}=v^ch^{ab}_c$；同样，它乘以两个协变向量后就得到一个 $(0, 1)$ 型张量，也就是一个协变向量。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。