电磁场的能动张量

             

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 电磁场的作用量,电磁场的能量守恒、坡印廷矢量,电磁场的动量守恒、动量流密度张量

   我们继续使用自然单位制,令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达.依照习惯,上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时,取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$;使用拉丁字母如 $i, j$ 时,取值范围为 $\{1, 2, 3\}$.约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$.

1. 电动力学的守恒量

   根据经典场论 中能动张量 ${T^\mu}_\nu$ 的定义(注意,由于这里采用的度规是 $(-1,1,1,1)$,所以和 中的定义差一个负号.)

\begin{equation} T^\mu{}_\nu \equiv -\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi + \mathcal L \delta^\mu{}_\nu \end{equation}
可以写出电磁场的能动张量
\begin{equation} T^\mu{}_\nu =-\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu A_\rho)} \partial_\nu A_\rho + \mathcal L \delta^\mu{}_\nu \end{equation}
根据诺特定理,能动张量对应着四个守恒流:
\begin{equation} \partial_\mu T^\mu{}_\nu=0 \end{equation}
其中 $T^0{}_0$ 对应着哈密顿量密度,或者说电磁场的能量密度;$T^0{}_i$ 对应着电磁场的动量密度.我们已经推导过电磁场的能量密度为 $\mathcal H=\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2)$ ,也推导过电磁场的动量密度为 $\mathcal P=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} $.下面可以通过推导 式 2 验证这些结论.

   如果先假设没有场源,即电流 4-矢量 $J^\mu = 0$,自由电磁场的拉氏量密度为

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L}&=-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}\\ &=-\frac{1}{16\pi}(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu)(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu) \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} T^\mu{}_\nu&=-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu A_\rho)}\partial_\nu A_\rho+\mathcal{L}\delta^\mu{}_\nu\\ &=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}\partial_\nu A_\rho-\frac{1}{16\pi}\delta^\mu{}_\nu F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda} \end{aligned} \end{equation}
或者将 $\nu$ 指标上升:
\begin{equation} T^{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}\partial^\nu A_\rho - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda} \end{equation}
然而现在的 $T^{\mu\nu}$ 是不对称的.为了使 $T^{\mu\nu}$ 成为对称张量,需要增添一项 $\partial_\rho \psi^{\mu\nu\rho}$($\psi^{\mu\nu\rho}$ 是某个三阶张量,且满足 $\psi^{\mu\nu\rho}=-\psi^{\mu\rho\nu}$,因此 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ 仍然成立),最终可以将 $T^{\mu\nu}$ 写为
\begin{equation} \begin{aligned} T^{\mu\nu}&=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}(\partial^\nu A_\rho-\partial_\rho A^\nu) - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}\\ &=\frac{1}{4\pi}F^{\mu\rho}F^\nu{}_\rho - \frac{1}{16\pi} \eta^{\mu\nu}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda} \end{aligned} \end{equation}

   现在来计算 $T^{\mu\nu}$ 的每一项.

\begin{equation} \begin{aligned} T^{00}&=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} +\frac{1}{16\pi}(2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)\\ &=\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2)=\mathcal{H} \end{aligned} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} T^{0i}=T^{i0}&=\frac{1}{4\pi}E^j F^i{}_j=\frac{1}{4\pi}\epsilon_{ijk}E_jB_k\\ &=\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} =\mathcal{P}_i \end{aligned} \end{equation}
这些恰好对应着电磁场的能量与动量密度.
\begin{equation} \begin{aligned} T^{ij}&=\frac{1}{4\pi}F^{i0}F^j{}_0+\frac{1}{4\pi}F^{ik}F^j{}_k-\frac{1}{16\pi}\eta^{ij}F^{\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}\\ &=-\frac{1}{4\pi}E_iE_j+\frac{1}{4\pi}\epsilon_{ikl}B_l \epsilon_{jkm}B_m-\frac{1}{16\pi}\delta_{ij}(2 \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2-2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2)\\ &=\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2-E_iE_j \right) +\frac{1}{4\pi} \left(\delta_{ij}\delta_{lm}-\delta_{im}\delta_{lj} \right) B_lB_m-\frac{1}{8\pi}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2\\ &=\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2-E_iE_j \right) +\frac{1}{4\pi} \left(\frac{1}{2}\delta_{ij} \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2 - B_iB_j \right) \end{aligned} \end{equation}
这与麦克斯韦应力张量 式 1 的形式是一致的.

   最后根据方程 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ 可以得到 4 个守恒流方程:

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{1}{8\pi}( \boldsymbol{\mathbf{E}} ^2+ \boldsymbol{\mathbf{B}} ^2) \right) +\nabla \cdot \left(\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) =0\\ &\frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{1}{4\pi} \boldsymbol{\mathbf{E}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right) +\partial_i T_{ij}=0 \end{aligned} \end{equation}

   现在考虑场源的影响.根据 式 5 ,作用量的完整形式为

\begin{equation} S=-\sum{m\int \,\mathrm{d}{\tau} }+\int \left(-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \right) { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \end{equation}
所以拉格朗日量可以写为
\begin{equation} \mathcal{L}=-\sum_i \frac{m_i\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _i(t))}{\gamma}-\frac{1}{16\pi}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+A_\mu J^\mu \end{equation}
现在考虑单个静质量为 $m$ 的粒子对能动张量 $T^{\mu\nu}$ 的影响,设它的运动轨迹为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t)$.设 $\epsilon=m\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0(t))$.根据能动张量的物理意义,$T_{\rm{part}}^{00}=\gamma \epsilon$,$T_{\rm{part}}^{0i}=T_{\rm{part}}^{i0}=\gamma m \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^i}{ \,\mathrm{d}{t} }$.由 $\gamma=\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{\tau} }$,并根据 $F^{\mu\nu}$ 的洛伦兹协变性,可以得到单个带电粒子的能动张量的表达式:
\begin{equation} T_{\rm{part}}^{\mu\nu}=\frac{\epsilon}{\gamma}\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \end{equation}

   设电磁场的能动张量为 $T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}$,由式 8 式 9 式 10 给出;而总的能动张量由电磁场和粒子的能动张量两部分组成.现在重写 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$,可以得到

\begin{equation} \begin{aligned} \partial_{\mu}T^{\mu\nu}&=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\partial_\mu T_{\rm{part}}^{\mu\nu}\\ &=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\partial_\mu \left(\frac{\epsilon}{\gamma}\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) \\ &=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} }\partial_\mu \left(\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) +\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }\partial_\mu \left(\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} } \right) \\ &=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{t} }\partial_\mu U^\nu+\frac{m}{q}U^\nu\partial_\mu J^\mu \\ &=\partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}+\epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=0 \end{aligned} \end{equation}
这意味着电磁场的能量和动量会与粒子的能量动量发生交换,但粒子与场的总能量和总动量是守恒的

   进一步,根据洛伦兹力公式式 22

\begin{equation} \epsilon \frac{ \,\mathrm{d}{U} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=\rho F^\mu{}_\nu U^\nu \frac{ \,\mathrm{d}{\tau} }{ \,\mathrm{d}{t} }=\rho F^\mu{}_\nu\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{t} }=F^\mu{}_\nu J^\nu \end{equation}
代入 式 15 将得到
\begin{equation} \partial_\mu T_{\rm{e.m.}}^{\mu\nu}=-F^{\mu\nu}J^\nu \end{equation}
等式左边包含两部分:一项是场的能量动量密度随时间变化率,另一项是能量动量流的散度;等式右侧代表的是电磁场对电荷作的功.因此 式 17 相当于电动力学的能量动量守恒律.


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