电磁场的能动张量

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 电磁场的作用量,电磁场的动量守恒、动量流密度张量

   我们继续使用自然单位制,令 μ0=ϵ0=c=1 来简化表达。依照习惯,上下标使用希腊字母如 μ,ν 时,取值范围为 {0,1,2,3};使用拉丁字母如 i,j 时,取值范围为 {1,2,3}。约定闵氏时空度规为 (1,1,1,1)

1. 电动力学的守恒量

   根据经典场论中能动张量 Tμν 的定义(注意,由于这里采用的度规是 (1,1,1,1),所以和经典场论中的定义差一个负号。)

(1)TμνL(μϕ)νϕ+Lδμν ,
可以写出电磁场的能动张量
(2)Tμν=L(μAρ)νAρ+Lδμν .
根据诺特定理,能动张量对应着四个守恒流:
(3)μTμν=0 .
其中 T00 对应着哈密顿量密度,或者说电磁场的能量密度;T0i 对应着电磁场的动量密度。我们已经推导过电磁场的能量密度为 H=18π(E2+B2) ,也推导过电磁场的动量密度为 P=14πE×B。下面可以通过推导 式 2 验证这些结论。

   如果先假设没有场源,即电流 4-矢量 Jμ=0自由电磁场的拉氏量密度为

(4)L=116πFμνFμν=116π(μAννAμ)(μAννAμ) ,
所以
(5)Tμν=L(μAρ)νAρ+Lδμν=14πFμρνAρ116πδμνFσλFσλ .
或者将 ν 指标上升:
(6)Tμν=14πFμρνAρ116πημνFσλFσλ ,
然而现在的 Tμν 是不对称的。为了使 Tμν 成为对称张量,需要增添一项 ρψμνρψμνρ 是某个三阶张量,且满足 ψμνρ=ψμρν,因此 μTμν=0 仍然成立),最终可以将 Tμν 写为
(7)Tμν=14πFμρ(νAρρAν)116πημνFσλFσλ=14πFμρFνρ116πημνFσλFσλ ,

   现在来计算 Tμν 的每一项。

(8)T00=14πEE+116π(2B22E2)=18π(E2+B2)=H ,
(9)T0i=Ti0=14πEjFij=14πϵijkEjBk=14πE×B=Pi ,
这些恰好对应着电磁场的能量与动量密度。
(10)Tij=14πFi0Fj0+14πFikFjk116πηijFσλFσλ=14πEiEj+14πϵiklBlϵjkmBm116πδij(2B22E2)=14π(12δijE2EiEj)+14π(δijδlmδimδlj)BlBm18πδijB2=14π(12δijE2EiEj)+14π(12δijB2BiBj) .
这与麦克斯韦应力张量 式 2 的形式是一致的。

   最后根据方程 μTμν=0 可以得到 4 个守恒流方程:

(11)t(18π(E2+B2))+(14πE×B)=0 ,t(14πE×B)+iTij=0 .

   现在考虑场源的影响。根据 式 5 ,作用量的完整形式为

(12)S=mdτ+(116πFμνFμν+AμJμ)d4x ,
所以拉格朗日量可以写为
(13)L=imiδ(rri(t))γ116πFμνFμν+AμJμ .
现在考虑单个静质量为 m 的粒子对能动张量 Tμν 的影响,设它的运动轨迹为 r0(t)。设 ϵ=mδ(rr0(t))。根据能动张量的物理意义,Tpart00=γϵTpart0i=Tparti0=γϵdxidt。由 γ=dtdτ,并根据 Fμν 的洛伦兹协变性,可以得到单个带电粒子的能动张量的表达式:
(14)Tpartμν=ϵγdxμdτdxνdτ .

   设电磁场的能动张量为 Te.m.μν,由式 8 式 9 式 10 给出;而总的能动张量由电磁场和粒子的能动张量两部分组成。现在重写 μTμν=0,可以得到

(15)μTμν=μTe.m.μν+μTpartμν=μTe.m.μν+μ(ϵγdxμdτdxνdτ)=μTe.m.μν+ϵdxμdtμ(dxνdτ)+dxνdτμ(ϵdxμdt)=μTe.m.μν+ϵdxμdtμUν+mqUνμJμ=μTe.m.μν+ϵdUνdt=0 .
这意味着电磁场的能量和动量会与粒子的能量动量发生交换,但粒子与场的总能量和总动量是守恒的

   进一步,根据洛伦兹力公式式 22

(16)ϵdUνdt=ρFμνUνdτdt=ρFμνdxνdt=FμνJν .
代入 式 15 将得到
(17)μTe.m.μν=FμνJν .
等式左边包含两部分:一项是场的能量动量密度随时间变化率,另一项是能量动量流的散度;等式右侧代表的是电磁场对电荷作的功。因此 式 17 相当于电动力学的能量动量守恒律。


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