电磁场的能动张量

                     

贡献者： _Eden_; addis

　　 我们继续使用自然单位制，令 ${\mu }_0={ϵ}_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu ,\nu$ 时，取值范围为 $\{0,1,2,3\}$；使用拉丁字母如 $i,j$ 时，取值范围为 $\{1,2,3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。

1. 电动力学的守恒量

　　 根据经典场论中能动张量 ${T^{\mu }}_{\nu }$ 的定义（注意，由于这里采用的度规是 $(-1,1,1,1)$，所以和经典场论中的定义差一个负号。）

可以写出电磁场的能动张量 根据诺特定理，能动张量对应着四个守恒流： 其中 $T^0{}_0$ 对应着哈密顿量密度，或者说电磁场的能量密度；$T^0{}_i$ 对应着电磁场的动量密度。我们已经推导过电磁场的能量密度为 $\mathcal{H}=\frac{1}{8\pi }({\mathbf{E}}^2+{\mathbf{B}}^2)$ ，也推导过电磁场的动量密度为 $\mathcal{P}=\frac{1}{4\pi }\mathbf{E}\times \mathbf{B}$。下面可以通过推导 式 2 验证这些结论。

　　 如果先假设没有场源，即电流 4-矢量 $J^{\mu }=0$，自由电磁场的拉氏量密度为

所以 或者将 $\nu$ 指标上升： 然而现在的 $T^{\mu \nu }$ 是不对称的。为了使 $T^{\mu \nu }$ 成为对称张量，需要增添一项 ${\partial }_{\rho }{\psi }^{\mu \nu \rho }$（${\psi }^{\mu \nu \rho }$ 是某个三阶张量，且满足 ${\psi }^{\mu \nu \rho }=-{\psi }^{\mu \rho \nu }$，因此 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 仍然成立），最终可以将 $T^{\mu \nu }$ 写为

　　 现在来计算 $T^{\mu \nu }$ 的每一项。

这些恰好对应着电磁场的能量与动量密度。 这与麦克斯韦应力张量 式 2 的形式是一致的。

　　 最后根据方程 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$ 可以得到 4 个守恒流方程：

　　 现在考虑场源的影响。根据 式 5 ，作用量的完整形式为

所以拉格朗日量可以写为 现在考虑单个静质量为 $m$ 的粒子对能动张量 $T^{\mu \nu }$ 的影响，设它的运动轨迹为 ${\mathbf{r}}_0(t)$。设 $ϵ=m\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0(t))$。根据能动张量的物理意义，$T_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{00}=\gamma ϵ$，$T_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{0i}=T_{\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}}^{i0}=\gamma ϵ\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}$。由 $\gamma =\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau }$，并根据 $F^{\mu \nu }$ 的洛伦兹协变性，可以得到单个带电粒子的能动张量的表达式：

　　 设电磁场的能动张量为 $T_{\mathrm{e}.\mathrm{m}.}^{\mu \nu }$，由式 8 式 9 式 10 给出；而总的能动张量由电磁场和粒子的能动张量两部分组成。现在重写 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$，可以得到

这意味着电磁场的能量和动量会与粒子的能量动量发生交换，但粒子与场的总能量和总动量是守恒的。

　　 进一步，根据洛伦兹力公式式 22 ，

代入 式 15 将得到 等式左边包含两部分：一项是场的能量动量密度随时间变化率，另一项是能量动量流的散度；等式右侧代表的是电磁场对电荷作的功。因此 式 17 相当于电动力学的能量动量守恒律。