电磁场的能动张量
贡献者: _Eden_; addis
预备知识 电磁场的作用量
,电磁场的动量守恒、动量流密度张量
我们继续使用自然单位制,令 来简化表达。依照习惯,上下标使用希腊字母如 时,取值范围为 ;使用拉丁字母如 时,取值范围为 。约定闵氏时空度规为 。
1. 电动力学的守恒量
根据经典场论中能动张量 的定义(注意,由于这里采用的度规是 ,所以和经典场论中的定义差一个负号。)
可以写出电磁场的能动张量
根据诺特定理,能动张量对应着四个守恒流:
其中 对应着哈密顿量密度,或者说电磁场的能量密度; 对应着电磁场的动量密度。我们已经推导过电磁场的能量密度为
,也推导过电磁场的动量密度为
。下面可以通过推导
式 2 验证这些结论。
如果先假设没有场源,即电流 4-矢量 ,自由电磁场的拉氏量密度为
所以
或者将 指标上升:
然而现在的 是不对称的。为了使 成为对称张量,需要增添一项 ( 是某个三阶张量,且满足 ,因此 仍然成立),最终可以将 写为
现在来计算 的每一项。
这些恰好对应着电磁场的能量与动量密度。
这与麦克斯韦应力张量
式 2 的形式是一致的。
最后根据方程 可以得到 4 个守恒流方程:
现在考虑场源的影响。根据 式 5 ,作用量的完整形式为
所以拉格朗日量可以写为
现在考虑单个静质量为 的粒子对能动张量 的影响,设它的运动轨迹为 。设 。根据能动张量的物理意义,,。由 ,并根据 的洛伦兹协变性,可以得到单个带电粒子的能动张量的表达式:
设电磁场的能动张量为 ,由式 8 式 9 式 10 给出;而总的能动张量由电磁场和粒子的能动张量两部分组成。现在重写 ,可以得到
这意味着电磁场的能量和动量会与粒子的能量动量发生交换,但
粒子与场的总能量和总动量是守恒的。
进一步,根据洛伦兹力公式式 22 ,
代入
式 15 将得到
等式左边包含两部分:一项是场的能量动量密度随时间变化率,另一项是能量动量流的散度;等式右侧代表的是电磁场对电荷作的功。因此
式 17 相当于电动力学的能量动量守恒律。
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