电磁场角动量分解

             

   电磁场的动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
角动量为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{J}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} = \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{equation}
现在假设电磁场只在一定范围内不为零,且体积分的边界处场强为零.假设该范围内没有净电荷与电流,则
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) &= \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) - \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )]_{\partial A} \\ &= [( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial A} \end{aligned} \end{equation}
其中转微分算符 $[\,]_{\partial A}$ 的作用是先把方括号内的 $ \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} $ 作为普通矢量进行计算,再把展开结果中每一项的偏微分作用在 $A$ 的分量上.上式第一项为 $\sum\limits_i {E_i} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) A_i$,第二项为
\begin{equation} -[( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial A} = - ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) + [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial r} \end{equation}
其中第二项为 $[( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial r} = [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) \boldsymbol{\mathbf{r}} ] \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} $,第一项中
\begin{equation} \begin{aligned} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) &= [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial ErA} - [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial E}\\ & = [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial ErA} \end{aligned} \end{equation}
这是因为 $[( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial E} = ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = 0$. 综上,
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{J}} = \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \sum_i E_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) A_i + \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial ErA} \end{equation}
现在证明最后一项为 0.以 $x$ 分量为例,
\begin{equation} \begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \int \,\mathrm{d}{V} [( \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} )( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial ErA} &= \int \,\mathrm{d}{V} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} [ \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) ] \\ &= \oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = 0 \end{aligned} \end{equation}
最后一步是因为边界处场强为零.现在我们可以看出角动量由两部分组成
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{J}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} + \boldsymbol{\mathbf{S}} \qquad \boldsymbol{\mathbf{L}} = \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \sum_i E_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} ) A_i \qquad \boldsymbol{\mathbf{S}} = \epsilon_0 \int \,\mathrm{d}{V} \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $ 是轨道角动量,$ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 是自旋角动量.

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