电磁场角动量分解

                     

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   电磁场的动量为

(1)p=ϵ0dVE×B .
角动量为
(2)J=r×p=ϵ0dVr×E×(×A) .
现在假设电磁场只在一定范围内不为零,且体积分的边界处场强为零。假设该范围内没有净电荷与电流,则
(3)r×E×(×A)=r×[(EA)A(E)]A=[(r×)(EA)(E)(r×A)]A .
其中转微分算符 []A 的作用是先把方括号内的 作为普通矢量进行计算,再把展开结果中每一项的偏微分作用在 A 的分量上。上式第一项为 iEi(r×)Ai,第二项为
(4)[(E)(r×A)]A=(E)(r×A)+[(E)(r×A)]r .
其中第二项为 [(E)(r×A)]r=[(E)r]×A=E×A,第一项中
(5)(E)(r×A)=[(E)(r×A)]ErA[(E)(r×A)]E=[(E)(r×A)]ErA ,
这是因为 [(E)(r×A)]E=(E)(r×A)=0。 综上,
(6)J=ϵ0dViEi(r×)Ai+ϵ0dVE×A+ϵ0dV[(E)(r×A)]ErA .
现在证明最后一项为 0。以 x 分量为例,
(7)x^dV[(E)(r×A)]ErA=dV[E(x^r×A)]=dsE(x^r×A)=0 .
最后一步是因为边界处场强为零。现在我们可以看出角动量由两部分组成
(8)J=L+S ,L=ϵ0dViEi(r×)Ai ,S=ϵ0dVE×A .
其中 L 是轨道角动量,S 是自旋角动量。


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