Lebesgue 积分

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 可测函数的结构

   Lebesgue 积分的思路是对函数的值域进行分划,以相应值域的逆映射作为 “柱底”.归根到底,Lebesuge 积分还是要对定义域作分划的,但相比 Riemann 积分的直接对定义域作分划,Lebesgue 积分的分划方式更任意.对于可测函数,Lebesgue 积分的分划得到的 “柱底” 都是可测集.

   我们就从将可测集划分为两两不交的可测子集入手,先研究这种分划的性质.

1. 可测集的分划

定义 1 可测分划

   设 $E\in\mathbb{R}^n$ 是可测集.如果有限$\{E_1, E_2, \cdots, E_n\}$ 中各 $E_i$两两不交、都是 $E$ 的子集、可测,且 $E=\bigcup^n_{i=1}E_i$,那么称集族 $\{E_i\}_{i=1}^n$ 为可测集 $E$ 的一个分划,或者可测分划

   如果 $A=\{E_i\}_{i=1}^n$ 和 $B=\{F_i\}_{i=1}^m$ 都是 $E$ 的分划,那么易证 $C=\{E_i\cap F_j|E_i\in A, F_j\in B\}$ 也是 $E$ 的分划.称 $C$ 是分划 $A$ 和 $B$ 的合并

   容易看到,$C$ 中存在每一个 $E_i$ 的分划 $\{E_i\cap F_j\}_{j=1}^m$,类似地也存在每一个 $F_j$ 的分划,像是更细一层地进行分划.因此,如果分划 $C$ 是 $A$ 和另一个分划的合并,我们就称 $C$ 是比 $A$更细的分划,反过来 $A$ 比 $C$更粗

定义 2 上和与下和

   设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数,$D=\{E_i\}_{i=1}^n$ 是 $E$ 的一个可测分划.定义 $a_i=\inf_{x\in E_i}f(x)$,$A_i=\sup_{x\in E_i}f(x)$,则称

\begin{equation} s_D=\sum_{i=1}^n a_i \operatorname {m}E_i \end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的下和,而称
\begin{equation} S_D=\sum_{i=1}^n A_i \operatorname {m}E_i \end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的上和

   如果 $A\subseteq B\subseteq E$,那么显然 $f$ 在 $A$ 上的上确界要小于等于在 $B$ 上的上确界,在 $A$ 上的下确界要大于等于在 $B$ 上的下确界,因此容易得出以下引理:

引理 1 

  

   设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数,$A$ 和 $B$ 是 $E$ 的可测分划,且 $A$ 比 $B$ 更细.那么

\begin{equation} s_B\leq s_A\leq S_A\leq S_B \end{equation}

   由此可得一个有用的推论:

推论 1 

   设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数,$D_1$ 和 $D_2$ 是 $E$ 的可测分划.那么

\begin{equation} s_{D_i}\leq S_{D_j} \end{equation}
对任意 $i, j\in\{1, 2\}$ 成立.

   就是说,不管怎么求分划,任意两个分划之间,上和一定大于等于下和,不会出现一个分划的下和大于另一个分划的上和这种情况.

2. 积分

上积分与下积分

   有了分划和上下和的概念,我们描述起积分就方便多了.

定义 3 

   设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数,$\Lambda$ 是 $E$ 的一切可能的分划之集合.那么称

\begin{equation} \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\inf_{D\in \lambda} \{S_D\} \end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的上积分,称
\begin{equation} \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\sup_{D\in \lambda} \{s_D\} \end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的下积分

   简而言之,上积分就是上和的下确界,下积分就是下和的上确界.

   显然,简单函数的上积分和下积分总是相等,也就是可测函数的结构式 1 所定义的简单函数的 Lebesgue 积分.

   函数的上下积分有以下重要的性质:

定理 1 

  

   设 $f$、$g$ 是可测集 $E$ 上的可测函数,$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划.

  1. 若 $f\leq g$ 几乎处处成立,则有
    \begin{equation} \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  2. 若 $\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划,则
    \begin{equation} \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
    \begin{equation} \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\overline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  3. 恒有
    \begin{equation} \underline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
    \begin{equation} \overline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   证明

   1.太过显然,在此从略1

   2. 为方便,记 $A$ 为对 $E$ 进行任意分划后求上和的结果的集合;$A'$ 为先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后,再分别对这两个 $E_i$ 作分划后求上和,将两个上和相加后,所得值的集合.这样,按定义,式 9 的左边就是 $A$ 的下确界,右边就是 $A'$ 的下确界.

   式 9 左边是对 $E$ 作分划,右边则是先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后,再分别对这两个 $E_i$ 作分划,因此可知 $A'\subseteq A$,故必有2

\begin{equation} \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   另一方面,由引理 1 ,可知任取 $A$ 中一个数字 $a$,都必有 $A'$ 中的数字 $a'$,使得 $a'\leq a$.因此又有

\begin{equation} \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   综合式 12 式 13 即得式 9

   由上下和与上下积分定义的对偶性,可直接推得式 8 .由此得证.

   3. 只需证明式 10 即可,之后可由对偶性直接推知式 11 .

   考虑任意可测集 $E_i\subseteq E$ 上的 $f$ 和 $g$,则由加法和下确界的定义直接可得 “$f$ 的下确界加 $g$ 的下确界小于等于$f+g$ 的下确界”.

   于是,对于 $E$ 的任意分划 $D$,总存在两个分划 $D_1$ 和 $D_2$3,使得 “$f$ 对于 $D_1$ 计算出来的下和加上 $g$ 对于 $D_2$ 计算出来的下和”,大于等于“$f+g$ 对于 $D$ 计算出来的下和”.因此,前者的上确界大于等于后者的下确界,也即式 10 .

   证毕

测度有限的可测集上,非负有界函数的积分

   定理 1 所描述的性质是非常符合直觉的.类比 Riemann 积分的定义过程,我们也希望上下积分相等,从而成为新的积分定义.事实上,可测函数就具有这样优良的性质.

定理 2 

   设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集,$f$ 是其上非负有界函数,那么

\begin{equation} \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} = \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   的充要条件是 $f$ 为可测函数

   证明

   充分性

   设 $f$ 是非负有界可测函数.

   由推论 1 ,必有

\begin{equation} \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   因此,接下来只需要证明:对于任意 $\epsilon > 0$,总存在一个分划 $D$,使得 $s_D\geq S_D-\epsilon$.

   设 $ \operatorname {m}E=c$,由题设知 $c < +\infty$.又因为 $f$ 非负有界,不妨设 $f(x)\in [0, s)$.

   将 $[0, s)$ 拆分为一系列区间 $A_{k, i}=[\frac{i}{k}s, \frac{i+1}{k}s)$ 的不交并,其中 $k$ 是任意给定的正整数,$i$ 是取值范围为 $[0, k)$ 的整数.

   利用区间 $A_{k, i}$ 来对 $E$ 进行分划:$E_{k, i}=\{x\in E|f(x)\in A_{k, i}\}$.显然,固定 $k$ 时,各 $E_{k, i}$ 构成 $E$ 的一组分划.

   对于任意固定的 $k$,在每个 $E_{k, i}$ 上,$f$ 的上确界和下确界之差小于等于$s/k$,而各 $E_{k, i}$ 的外测度之和为 $c$.因此,该固定的 $k$ 按上述方式决定的分划下,$f$ 在 $E$ 上的上和与下和之差小于等于$sc/k$.

   因此,只需要取 $k > sc/\epsilon$,所得分划就是所要的 $D$.

   必要性

   设 $f$非负有界,且式 14 式成立.

  

未完成:笔者不明白这里为什么需要必要性.按理说只有可测函数才能定义上和与下和、进而有上下极限的概念啊?没有可测条件谈什么式 14 的存在性?更不用说成立了.

   证毕

   定理 2 告诉我们,对于测度有限的 $E$ 上的非负可测函数 $f$,其上下积分是相等的,于是我们就可以把它们统一称为 “积分”,记为

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
进一步,由式 10 式 11 可知,对于可测函数 $f$,有
\begin{equation} \int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} =\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

测度有限的可测集上,任意非负可测函数的积分

   定理 2 讨论的是 “有界” 的可测函数,颇有限制.任意的非负函数有没有类似的性质呢?我们没法套用定理 2 的证明方式,因为失去了有界性就无法用同样的方法对 $E$ 进行有限划分了.不过,回想一下定理 1 是怎么证明的,你会发现我们可以用同样的思路来从有界推广到无界.

   设 $f$ 是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数.对于任意正整数 $k$,定义一个 $E$ 上的新函数 $f_k$ 如下:$f_k(x)=\min \{k, f(x)\}$.直观来说,$f_k$ 就像是用一根长棍子去 “压”$f$,把 $k$ 以上的部分全都压平到 $k$ 的高度.这样,每个 $f_k$ 都是非负有界的可测函数,它们都是有积分的了.于是,我们可以定义 $f$ 的积分为:

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   上述非负可测函数的积分具有积分应有的性质,我们写为以下习题:

习题 1 

   设 $f$、$g$ 都是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数,$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划.证明以下性质:

  1. 当 $f(x)\leq g(x)$ 时,有
    \begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  2. \begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  3. \begin{equation} \int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

任意可测集上,任意非负可测函数的积分

   到此为止,我们已经讨论清楚了测度有限可测集 $E$ 上任意非负可测函数的积分了.接下来讨论的是 $ \operatorname {m}E=+\infty$、或者说任意可测集 $E$ 的情况.

定义 4 任意可测集上任意非负可测函数的积分

   设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数.

   对于任意正整数 $k$,定义 $E_k=E\cap [-k, k]$.那么 $f$ 在各 $E_k$ 上都有上述定义的积分.于是可以定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty}\int_{E_k} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   利用极限的知识,结合习题 1 ,我们很容易得到以下推论:

推论 2 

   设 $f$、$g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数,$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划.证明以下性质:

  1. 当 $f(x)\leq g(x)$ 时,有
    \begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  2. \begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  3. \begin{equation} \int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   另外,由于 Lebesgue 积分是基于测度定义的,而 “零测” 在测度论意义下相当于不存在,因此也容易得到以下定理:

定理 3 

   如果 $f$ 和 $g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数,且彼此几乎处处相等,那么

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

Lebesgue 积分

   本节讨论的全部都是非负函数的情况,但结论很容易推广到任意函数上.

定义 5 正部与负部

   考虑可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数 $f$,定义如下两个新函数:

\begin{equation} f^+(x) = \max\{f(x), 0\} \end{equation}
\begin{equation} f^-(x) = -\max\{f(x), 0\} \end{equation}
称 $f^+$ 为 $f$ 的正部,$f^-$ 为 $f$ 的负部

   注意定义中式 28 右边的负号.可测函数的正部与负部都是非负可测函数,这有些像复数的实部与虚部都是实数一样的逻辑.因此,我们之前讨论的 “非负可测函数的积分” 可以完全适用于任意可测函数的正部与负部.

   再考虑到任意可测集上恒等于 $0$ 的简单函数的积分都是 $0$,我们就可以得到任意可测函数的 Lebesgue 积分了:

定义 6 Lebesgue 积分

   设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数,$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部.如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的,则可定义其 Lebesgue 积分为:

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

3. Lebesgue 积分的几何直观

   回忆定义 4 所述,$G(E; f)$ 是函数 $f$ 在可测集 $E$ 上的下方图形.在简明的微积分课程中,常把(Riemann)积分解释为 “求函数图像下方图形的面积”.实际上,这一点也适用于我们现在讨论的 Lebesgue 积分.

习题 2 

   证明以下命题:

  1. 定理 1 ,可测集 $E$ 上的任意非负可测函数 $f$ 都可以表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限,则必有
    \begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_{E} f_x(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
  2. 同上,设可测集 $E$ 上的非负可测函数 $f$ 表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限,则必有
    \begin{equation} \operatorname {m}G(E; f)=\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}G(E; f_k) \end{equation}
  3. 若 $g$ 是 $E$ 上的简单函数,则
    \begin{equation} \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; g) \end{equation}

   如果前两条的证明有困难,可以从 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况入手,也可以干脆弱化命题,只证明 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况.弱化的命题不影响接下来的讨论.

   有了习题 2 的结论,我们就可以得到一个非常符合直觉的定理:

定理 4 

   设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数,则

\begin{equation} \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; f) \end{equation}

   定理 4 有力地说明 Lebesgue 积分定义的合理性,并且可以用于推论出,当函数 Riemann 可积时,其 Riemann 积分和 Lebesgue 积分相等.由此可知,Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广.


1. ^ 若不是那么显然,可留言,笔者视情况补充证明细节.
2. ^ 子集的下确界大于等于母集的下确界.
3. ^ 直接取 $D_1=D_2=D$ 就行,更细当然更好.


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