贡献者： JierPeter; addis
1. Lebesgue 积分的概念
我们熟知的 Riemann 积分是对函数定义域进行分划，也就是将函数图像转化为若干柱子，每个柱子的底是一个区间，高度是这个区间里某个函数值。Riemann 定积分的结果，就是用柱子的总面积来逼近的。
如果柱子的高度都选成最高点（函数值上确界），那么柱子总面积一定大于等于真正的积分值；柱子的高度都选成最低点（函数值下确界），那么柱子总面积一定小于等于真正的积分值。当柱子划分得越来越细，这两种选择高度的策略所计算出来的面积差有可能会趋于 $0$，此时我们就根据两边夹的原则，认为两种计算结果的共同极限就是真正的积分值；但对于一些奇怪的函数，两种策略计算出来的面积差无法趋于 $0$，那么就无法定义真正的积分值，比如下列 Dirichlet 函数的例子：
例 1 Dirichlet 函数
定义函数 $f(x)$ 如下：
\begin{equation}
f(x)=
\left\{
\begin{aligned}
&{} 1, x\in \mathbb{Q}; \\
&{} 0, x\not\in\mathbb{Q}.
\end{aligned}
\right. ~
\end{equation}
则由于有理数和无理数的稠密性，无论如何分划定义域，每个柱子内总是既有高度为 $1$ 又有高度为 $0$ 的点，无法定义 Riemann 积分。
Riemann 积分之所以要将定义域划分为区间，是因为这样方便定义柱子的 “底边长”，即区间的长度。但代价是，柱子的高度如果像 Dirichlet 函数一样总是反复横跳，就无法定义积分了。这限制了我们做积分的范围。
Lebesgue 积分的解决了柱子高度的问题，直接对函数的值域进行分划，以相应值域的逆映射作为 “柱底”。也就是说，选择值域上的某个区间，看看定义域上哪些点的函数值在这个区间里，把这些点构成的集合当作柱底。
但这么一来，柱的底通常就不是简单的区间了。因此我们需要讨论除了区间以外，哪些区间可以定义 “长度”，以及该如何定义。
看起来，我们是牺牲底边长的简洁性换取了高度的简洁性，似乎不赚不亏，但实际上这样将 “不一定有极限” 的问题转化为 “不一定能定义底边长” 的问题了，后者更容易解决，或者说 Lebesgue 积分能处理的范围比 Riemann 积分更广。
2. 可测集的分划
我们从 “将可测集划分为两两不交的可测子集” 入手，先研究这种分划的性质。
定义 1 可测分划
设 $E\in\mathbb{R}^n$ 是可测集。如果有限族$\{E_1, E_2, \cdots, E_n\}$ 中各 $E_i$ 两两不交、都是 $E$ 的子集、可测，且 $E=\bigcup^n_{i=1}E_i$，那么称集族 $\{E_i\}_{i=1}^n$ 为可测集 $E$ 的一个分划，或者可测分划。
如果 $A=\{E_i\}_{i=1}^n$ 和 $B=\{F_i\}_{i=1}^m$ 都是 $E$ 的分划，那么易证 $C=\{E_i\cap F_j|E_i\in A, F_j\in B\}$ 也是 $E$ 的分划。称 $C$ 是分划 $A$ 和 $B$ 的合并。
容易看到，$C$ 中存在每一个 $E_i$ 的分划 $\{E_i\cap F_j\}_{j=1}^m$，类似地也存在每一个 $F_j$ 的分划，像是更细一层地进行分划。因此，如果分划 $C$ 是 $A$ 和另一个分划的合并，我们就称 $C$ 是比 $A$ 更细的分划，反过来 $A$ 比 $C$ 更粗。
定义 2 上和与下和
设 $f$ 是 $E$ 上的非负可测函数，$D=\{E_i\}_{i=1}^n$ 是 $E$ 的一个可测分划。定义 $a_i=\inf_{x\in E_i}f(x)$，$A_i=\sup_{x\in E_i}f(x)$，则称
\begin{equation}
s_D=\sum_{i=1}^n a_i \operatorname {m}E_i~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的
下和，而称
\begin{equation}
S_D=\sum_{i=1}^n A_i \operatorname {m}E_i~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上关于分划 $D$ 的
上和。
如果 $A\subseteq B\subseteq E$，那么显然 $f$ 在 $A$ 上的上确界要小于等于在 $B$ 上的上确界，在 $A$ 上的下确界要大于等于在 $B$ 上的下确界，因此容易得出以下引理：
引理 1
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$A$ 和 $B$ 是 $E$ 的可测分划，且 $A$ 比 $B$ 更细。那么
\begin{equation}
s_B\leq s_A\leq S_A\leq S_B~.
\end{equation}
由此可得一个有用的推论：
推论 1
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$D_1$ 和 $D_2$ 是 $E$ 的可测分划。那么
\begin{equation}
s_{D_i}\leq S_{D_j}~
\end{equation}
对任意 $i, j\in\{1, 2\}$ 成立。
就是说，不管怎么求分划，任意两个分划之间，上和一定大于等于下和，不会出现一个分划的下和大于另一个分划的上和这种情况。
3. 积分
上积分与下积分
有了分划和上下和的概念，我们描述起积分就方便多了。
定义 3
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$\Lambda$ 是 $E$ 的一切可能的分划之集合。那么称
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\inf_{D\in \lambda} \{S_D\}~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的
上积分，称
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\sup_{D\in \lambda} \{s_D\}~
\end{equation}
为 $f$ 在 $E$ 上的
下积分，
简而言之，上积分就是上和的下确界，下积分就是下和的上确界。
显然，简单函数的上积分和下积分总是相等，也就是可测函数的结构中式 1 所定义的简单函数的 Lebesgue 积分。
函数的上下积分有以下重要的性质：
定理 1
设 $f$、$g$ 是可测集 $E$ 上的可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划。
- 若 $f\leq g$ 几乎处处成立，则有
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 若 $\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的某个分划，则
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} =\overline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 恒有
\begin{equation}
\underline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
\begin{equation}
\overline{\int_E} \left(f(x)+g(x) \right) \,\mathrm{d}{x} \leq \overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\overline{\int_E} g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
证明：
1。太过显然，在此从略1。
2. 为方便，记 $A$ 为对 $E$ 进行任意分划后求上和的结果的集合；$A'$ 为先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后，再分别对这两个 $E_i$ 作分划后求上和，将两个上和相加后，所得值的集合。这样，按定义，式 10 的左边就是 $A$ 的下确界，右边就是 $A'$ 的下确界。
式 10 左边是对 $E$ 作分划，右边则是先将 $E$ 作分划 $\{E_1, E_2\}$ 后，再分别对这两个 $E_i$ 作分划，因此可知 $A'\subseteq A$，故必有2
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
另一方面，由引理 1 ，可知任取 $A$ 中一个数字 $a$，都必有 $A'$ 中的数字 $a'$，使得 $a'\leq a$。因此又有
\begin{equation}
\underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_{E_1}} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\underline{\int_{E_2}} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~,
\end{equation}
综合式 13 和式 14 即得式 10 。
由上下和与上下积分定义的对偶性，可直接推得式 9 。由此得证。
3. 只需证明式 11 即可，之后可由对偶性直接推知式 12 .
考虑任意可测集 $E_i\subseteq E$ 上的 $f$ 和 $g$，则由加法和下确界的定义直接可得 “$f$ 的下确界加 $g$ 的下确界小于等于$f+g$ 的下确界”。
于是，对于 $E$ 的任意分划 $D$，总存在两个分划 $D_1$ 和 $D_2$3，使得 “$f$ 对于 $D_1$ 计算出来的下和加上 $g$ 对于 $D_2$ 计算出来的下和”，大于等于“$f+g$ 对于 $D$ 计算出来的下和”。因此，前者的上确界大于等于后者的下确界，也即式 11 .
证毕。
测度有限的可测集上，非负有界函数的积分
定理 1 所描述的性质是非常符合直觉的。类比 Riemann 积分的定义过程，我们也希望上下积分相等，从而成为新的积分定义。事实上，可测函数就具有这样优良的性质。
定理 2
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是测度有限的可测集，$f$ 是其上非负有界函数，那么
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} = \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~
\end{equation}
的
充要条件是 $f$ 为
可测函数。
证明：
充分性：
设 $f$ 是非负有界的可测函数。
由推论 1 ，必有
\begin{equation}
\overline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} \geq \underline{\int_E} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
因此，接下来只需要证明：对于任意 $\epsilon>0$，总存在一个分划 $D$，使得 $s_D\geq S_D-\epsilon$。
设 $ \operatorname {m}E=c$，由题设知 $c<+\infty$。又因为 $f$ 非负有界，不妨设 $f(x)\in [0, s)$。
将 $[0, s)$ 拆分为一系列区间 $A_{k, i}=[\frac{i}{k}s, \frac{i+1}{k}s)$ 的不交并，其中 $k$ 是任意给定的正整数，$i$ 是取值范围为 $[0, k)$ 的整数。
利用区间 $A_{k, i}$ 来对 $E$ 进行分划：$E_{k, i}=\{x\in E|f(x)\in A_{k, i}\}$。显然，固定 $k$ 时，各 $E_{k, i}$ 构成 $E$ 的一组分划。
对于任意固定的 $k$，在每个 $E_{k, i}$ 上，$f$ 的上确界和下确界之差小于等于$s/k$，而各 $E_{k, i}$ 的外测度之和为 $c$。因此，该固定的 $k$ 按上述方式决定的分划下，$f$ 在 $E$ 上的上和与下和之差小于等于$sc/k$。
因此，只需要取 $k>sc/\epsilon$，所得分划就是所要的 $D$。
必要性：
设 $f$非负有界，且式 15 式成立。
未完成：笔者不明白这里为什么需要必要性。按理说只有可测函数才能定义上和与下和、进而有上下极限的概念啊？没有可测条件谈什么
式 15 的存在性？更不用说成立了。
证毕。
定理 2 告诉我们，对于测度有限的 $E$ 上的非负可测函数 $f$，其上下积分是相等的，于是我们就可以把它们统一称为 “积分”，记为
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
进一步，由
式 11 和
式 12 可知，对于可测函数 $f$，有
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} =\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
测度有限的可测集上，任意非负可测函数的积分
定理 2 讨论的是 “有界” 的可测函数，颇有限制。任意的非负函数有没有类似的性质呢？我们没法套用定理 2 的证明方式，因为失去了有界性就无法用同样的方法对 $E$ 进行有限划分了。不过，回想一下定理 1 是怎么证明的，你会发现我们可以用同样的思路来从有界推广到无界。
设 $f$ 是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数。对于任意正整数 $k$，定义一个 $E$ 上的新函数 $f_k$ 如下：$f_k(x)=\min \{k, f(x)\}$。直观来说，$f_k$ 就像是用一根长棍子去 “压”$f$，把 $k$ 以上的部分全都压平到 $k$ 的高度。这样，每个 $f_k$ 都是非负有界的可测函数，它们都是有积分的了。于是，我们可以定义 $f$ 的积分为：
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_E f_k(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
上述非负可测函数的积分具有积分应有的性质，我们写为以下习题：
习题 1
设 $f$、$g$ 都是测度有限的可测集 $E$ 上的非负可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划。证明以下性质：
- 当 $f(x)\leq g(x)$ 时，有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
任意可测集上，任意非负可测函数的积分
到此为止，我们已经讨论清楚了测度有限可测集 $E$ 上任意非负可测函数的积分了。接下来讨论的是 $ \operatorname {m}E=+\infty$、或者说任意可测集 $E$ 的情况。
定义 4 任意可测集上任意非负可测函数的积分
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数。
对于任意正整数 $k$，定义 $E_k=E\cap [-k, k]$。那么 $f$ 在各 $E_k$ 上都有上述定义的积分。于是可以定义 $f$ 在 $E$ 上的积分为
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty}\int_{E_k} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
利用极限的知识，结合习题 1 ，我们很容易得到以下推论：
推论 2
设 $f$、$g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数，$\{E_1, E_2\}$ 是 $E$ 的一个分划。证明以下性质：
- 当 $f(x)\leq g(x)$ 时，有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} \leq \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{E_1} f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_{E_2} f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\int_E [f(x)+g(x)] \,\mathrm{d}{x} = \int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} +\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
另外，由于 Lebesgue 积分是基于测度定义的，而 “零测” 在测度论意义下相当于不存在，因此也容易得到以下定理：
定理 3
如果 $f$ 和 $g$ 都是可测集 $E$ 上的非负可测函数，且彼此几乎处处相等，那么
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
Lebesgue 积分
本节讨论的全部都是非负函数的情况，但结论很容易推广到任意函数上。
定义 5 正部与负部
考虑可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数 $f$，定义如下两个新函数：
\begin{equation}
f^+(x) = \max\{f(x), 0\}~,
\end{equation}
\begin{equation}
f^-(x) = -\max\{f(x), 0\}~.
\end{equation}
称 $f^+$ 为 $f$ 的
正部，$f^-$ 为 $f$ 的
负部。
注意定义中式 29 右边的负号。可测函数的正部与负部都是非负可测函数，这有些像复数的实部与虚部都是实数一样的逻辑。因此，我们之前讨论的 “非负可测函数的积分” 可以完全适用于任意可测函数的正部与负部。
再考虑到任意可测集上恒等于 $0$ 的简单函数的积分都是 $0$，我们就可以得到任意可测函数的 Lebesgue 积分了：
定义 6 Lebesgue 积分
设 $f$ 是可测集 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的可测函数，$f^+$ 和 $f^-$ 分别是其正部与负部。如果 $\int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} $ 和 $\int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} $ 中至少有一个是有限的，则可定义其 Lebesgue 积分为：
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \int_E f^+(x) \,\mathrm{d}{x} - \int_E f^-(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
4. Lebesgue 积分的几何直观
回忆定义 4 所述，$G(E; f)$ 是函数 $f$ 在可测集 $E$ 上的下方图形。在简明的微积分课程中，常把（Riemann）积分解释为 “求函数图像下方图形的面积”。实际上，这一点也适用于我们现在讨论的 Lebesgue 积分。
习题 2
证明以下命题：
- 由定理 1 ，可测集 $E$ 上的任意非负可测函数 $f$ 都可以表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限，则必有
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = \lim\limits_{k\to\infty} \int_{E} f_x(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
- 同上，设可测集 $E$ 上的非负可测函数 $f$ 表示为一列非负简单函数 $f_k$ 的极限，则必有
\begin{equation}
\operatorname {m}G(E; f)=\lim\limits_{k\to \infty} \operatorname {m}G(E; f_k)~.
\end{equation}
- 若 $g$ 是 $E$ 上的简单函数，则
\begin{equation}
\int_E g(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; g)~.
\end{equation}
如果前两条的证明有困难，可以从 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况入手，也可以干脆弱化命题，只证明 $f_k$ 处处关于 $k$ 单调不减的情况。弱化的命题不影响接下来的讨论。
有了习题 2 的结论，我们就可以得到一个非常符合直觉的定理：
定理 4
设 $f$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，则
\begin{equation}
\int_E f(x) \,\mathrm{d}{x} = G(E; f)~.
\end{equation}
定理 4 有力地说明 Lebesgue 积分定义的合理性，并且可以用于推论出，当函数 Riemann 可积时，其 Riemann 积分和 Lebesgue 积分相等。由此可知，Lebesgue 积分是 Riemann 积分的推广。
1. ^ 若不是那么显然，可留言，笔者视情况补充证明细节。
2. ^ 子集的下确界大于等于母集的下确界。
3. ^ 直接取 $D_1=D_2=D$ 就行，更细当然更好。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。