贡献者: addis
离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)(DFT)是一个复数域的线性变换。对两组有序数列 和 ,正变换和逆变换分别为1
一个更常见的名词是
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)(FFT),其数学定义与离散傅里叶变换一样,只是优化了算法使程序运行更快
2。
1. 与傅里叶变换的关系
在详细分析 DFT 的性质之前,我们先看看它与解析的傅里叶变换如何对应。函数 和 间的傅里叶变换为
如果 和 分别只在区间 和 内不为零,积分就可以只在这两个区间内进行。如果函数不为零的区间 并不关于原点对称,那么使用平移公式即可(
子节 7 )。
格点
图 1: 和 时的 格点,。 轴格点同理。
为了做离散傅里叶变换,我们给两个区间划出 个等间距的格点(图 1 ) 和 令 ,并规定相邻格点的间距为
注意第一个和最后一个格点未必在区间的两端,首尾格点分别相距 和 。若 是奇数,我们令中间的格点为 和 ,如果 是偶数,我们令中间偏右的格点为 和 ,即
求和代替积分
现在我们用求和近似式 3 式 4 的积分得
式中 ,对比 DFT(
式 1 式 2 )中的指数项得
但我们会发现这里的 可以是负整数,而 DFT 中的 都是非负整数。但稍加计算就会发现当 或 是负值时,把它们加上 ,指数项并不改变。例如 ,并不影响指数项。所以,我们只要将所有小于零的格点编号加上 并重新排列即可。例如 时, 格点为 ,令 ,这四个格点的名字就变为 ,数值不变。现在再来对比 DFT 和
式 7 式 8 ,就只是相差两个常数了:
式 9 是 DFT 一个重要的性质。结合式 5 得
离散傅里叶变换只有两个自由度,只要决定 中的任意两个,就可以完全决定变换公式。注意 与 成反比, 与 成反比, 与 成正比。
总结起来,要用 DFT 数值近似函数 的傅里叶变换,就先用上述方法生成的格点将该函数等间距采样,然后左半和右半调换(负脚标加上 )得到 ,代入 DFT 公式(在程序中使用 FFT)得到 再左半和右半调换得到 的离散点。反傅里叶变换同理。
下文如无特殊说明,默认 DFT 前后各将数列的左半右半交换一次。
2. 与傅里叶级数的关系
要用 DFT 计算傅里叶级数 的系数(式 2 ),只需要把式 3 乘以 即可,所以
另外可以发现 DFT 中 的离散值恰好就是傅里叶级数级数中需要的。
3. DFT 变换矩阵
DFT 是一个线性变换,我们来看变换矩阵的性质。把变换和逆变换的系数矩阵用
和 来表示,令列矢量 ,,变换和逆变换分别记为
其中
下面证明, 是一个
酉矩阵,所以逆变换矩阵就是 的厄米共轭。
不难验证
式 2 的变换矩阵的确等于 。
根据酉矩阵的定义,我们需要证明
而
注意到求和的每一项在复平面上都对应模长为 ,辐角为 个圆周的矢量,
而 条矢量恰好向不同方向均匀分布,所以相加为 。证毕。
4. 采样定理
从以上的分析中,DFT 只是一种近似,且有种种限制,例如我们只能取关于原点对称的区间,又例如变换只有两个自由度。我们不禁想定义更广义的离散傅里叶变换,使式 7 和式 8 中 和 可以分别取任意区间的任意多个等间距格点。但事实上,这样的定义并不比 DFT 更精确,而且不能用 FFT 算法提高运算速度。
定理 1 奈奎斯特—香农采样定理(Nyquist–Shannon sampling theorem)
如果函数 的傅里叶变换 不为零的区间不超出 (即 是有限带宽的),那么我们只需要用步长 来对 采样就可以用以下插值公式精确还原出 :
(见
sinc 函数)和
注意把插值公式式 18 代入傅里叶变换式 3 就可直接得到式 19 :
采样定理给出的 往往比一般情况下用求和代替积分所需的要小,例如对于 或 ,每周期只需要 2 个采样即可! 所以采样定理一个更简单表述是:
若 中不含有 赫兹以上的频率,那么只需用至少 的频率对它采样就能将其完全将确定。
有时候我们并不知道 的带宽,如何决定采样点的最大步长 呢?一个简单的方法是先选一个较小的 ,使 散点看起来较为连续。这时解析傅里叶变换就可以用 DFT 近似。得到 散点后,再判断合理的 并计算相应的 即可。
由于傅里叶变化和反变换是对称的,所以以上的分析中将 和 调换同样成立。一个有趣的问题是,是否存在一些情况使 和 都是有限带宽的?严格来说这种情况是不存在的3,但许多时候我们可以近似认为函数在区间外等于零,其中典型的例子就是高斯分布的傅里叶变换(例 1 )。
5. 归一化
我们知道傅里叶变换可以保持函数的模长不变,或者说保持函数的归一化(式 16 )。
假设采样定理的条件成立,我们来看如果通过离散点计算函数的模长。以 为例,用插值公式来计算模长的平方,得
果然,这个积分的结果是
即函数的模方等于列矢量的模方乘以步长,这对 也同样成立。既然 DFT 是精确的,我们预期变换矩阵 能保证变换前后列矢量的模长相等,而这恰好是酉矩阵的性质。
6. 插值与添零
上面我们看到,如果 是有限带宽的,就可以使用式 18 进行插值,称为 sinc 插值4。对 的插值也同理。然而在实践中,由于直接用 sinc 插值计算量太大,我们往往用下面介绍的添零法代替。
假设我们要对 个散点 插值,可以先做 DFT 得到 个 ,由式 11 可知,要缩小 而保持 不变,就要保持 不变且增加 和 。所以我们可以在 数列的两边添加相同数量的 0,然后再做反 DFT 变换即可5。
然而这么做与 sinc 插值得到的结果并不完全相同。sinc 插值得到的 往往会超出原来的区间(因为 sinc 函数只以 的速度衰减)。所以我们首先需要在误差能接受的范围内取一个更大 (即更小的 )。由于 sinc 插值函数的带宽严格小于 ,所以 不需要改变。现在我们可以认为两个函数都是有限带宽的了,要得到 “包含所有信息” 的 DFT,就要先保持 不变,对 在新区间补零,做 DFT 得到 。现在两个函数的地位完全平等,都可以用式 18 和式 19 中的任意一个来精确插值。而注意补零插值法就相当于式 19 。所以这时再对 补任意多的零,就可以得到 任意密度的插值。在误差范围内,现在得到的 就与 sinc 插值得到的相等了。
如果直接按照 DFT 公式计算添零法,程序的速度未必比 sinc 插值要快,但如果用 FFT,那添零法将会更快6。
7. 任意区间的 DFT
上面提到 DFT 或 FFT 的另一个限制就是只能在以零点为中心的两个区间之间变换 和 。但事实上我们只需要把数据稍作处理就可以在两个任意的区间 和 进行变换。
我们先定义两个新函数7
其中 , 。另外定义 ,,,。根据傅里叶变换的平移性质(
式 14 )
8, 的傅里叶变换就是 。注意 和 的 DFT 区间 和 分别关于原点对称。现在我们只需要做 和 间的 DFT,就能得到 和 间的离散变换,不妨称为
广义 DFT。
经过简单的推导可以发现广义 DFT 仍然可以用式 7 和式 8 表示,只是 和 的 个格点分别落在 和 内9。但在程序中,最高效的做法还是先将 先变为 ,做 FFT 得到 再变为 。
由采样定理易证,如果 只在 不为零,那么只需用 对 采样就可以用以下插值公式精确还原出10 。
实际应用中同样也可以用补零法来插值。
广义 DFT 的好处是什么呢?例如有时候非零区间 或(和) 很窄但却远离原点,则 或 仍需取较大的值,这时 DFT 就没有发挥最大效率,因为大部分格点的函数值都是 0。但如果用广义 DFT,就可以大大减少格点数。
例 1 高斯波包
我们现在来用 FFT 数值计算以下高斯波包的傅里叶变换。
为了便于验证数值结果,解析的傅里叶变换结果是(参考
例 1 )
我们分别取 的区间为 和 (区间外的函数值不超过 )。所以我们采用
式 24 的傅里叶变换,令 ,,则 ,。为了满足 (见
式 11 ), 取最小值 32。所以不妨令 。
所以 ,。现在我们就可以生成 的格点并且做 FFT 了。
未完成:比较数值和解析结果
1. ^ 工程上的定义常常是正变换没有 因子,逆变换的 因子变为 。这样的好处是节省运算量。我们使用的定义好处是变换为幺正变换,有保持归一化的特点。
2. ^ 参考 Numerical Recipes 3ed
3. ^ 我们可以用反证法做一个不太严谨的证明:如果这种情况存在,那么 就可以用有限个 函数的线性组合来表示,然而从定义上来看 函数在 的区间外不可能恒为零。
4. ^ 注意实现的时候只能对有限项求和。
5. ^ 不难证明如果新的长度是 的整数倍,反变换后在老格点处仍能得到同样的 。
6. ^ 如果 FFT 中只有部分格点不为零,那么 FFT 理论上可以变得更快,称为 pruned FFT,然而 FFTW 的相关页面中介绍,只要非零格点的个数大于 1%,pruned FFT 都不会有显著的性能提升。
7. ^ 式 23 也可以改为 和 。
8. ^ 容易证明,DFT 也精确满足这个性质。
9. ^ 同样,如果 是奇数, 是中间格点,否则就是中间靠右格点。
10. ^ 对离散的 使用之前的插值公式,再由 求 就可以推导出式 24 。
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