离散傅里叶变换

                     

贡献者: addis

   离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)(DFT)是一个复数域的线性变换。对两组有序数列 f0,f1,,fN1g0,g2,,gN1,正变换和逆变换分别为1

(1)gp=1Nq=0N1exp(2πiNpq)fq ,
(2)fq=1Np=0N1exp(2πiNpq)gp .
一个更常见的名词是快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)(FFT),其数学定义与离散傅里叶变换一样,只是优化了算法使程序运行更快2

1. 与傅里叶变换的关系

预备知识 1 傅里叶变换(指数函数)

   在详细分析 DFT 的性质之前,我们先看看它与解析的傅里叶变换如何对应。函数 f(x)g(k) 间的傅里叶变换

(3)g(k)=12π+f(x)eikxdx ,
(4)f(x)=12π+g(k)eikxdk .
如果 f(x)g(k) 分别只在区间 [Lx/2,Lx/2][Lk/2,Lk/2] 内不为零,积分就可以只在这两个区间内进行。如果函数不为零的区间 [a,b] 并不关于原点对称,那么使用平移公式即可(子节 7 )。

格点

图
图 1:N=4N=5 时的 x 格点,Δx=Lx/Nk 轴格点同理。

   为了做离散傅里叶变换,我们给两个区间划出 N 个等间距的格点(图 1 ,x1,x0,x1,,k1,k0,k1,x0=k0=0,并规定相邻格点的间距为

(5)Δx=Lx/N ,Δk=Lk/N .
注意第一个和最后一个格点未必在区间的两端,首尾格点分别相距 Lx(N1)/NLk(N1)/N。若 N 是奇数,我们令中间的格点为 x0k0,如果 N 是偶数,我们令中间偏右的格点为 x0k0,即
(6){xn=nΔxkn=nΔk ,n={N/2N/21(偶数 N)(N1)/2(N1)/2(奇数 N) .

求和代替积分

   现在我们用求和近似式 3 式 4 的积分得

(7)g(kp)12πqf(xq)eikpxqΔx ,
(8)f(xq)12πpg(kp)eikpxqΔk .
式中 kpxq=(ΔxΔk)pq,对比 DFT(式 1 式 2 )中的指数项得
(9)ΔxΔk=2πN .
但我们会发现这里的 p,q 可以是负整数,而 DFT 中的 p,q 都是非负整数。但稍加计算就会发现当 pq 是负值时,把它们加上 N,指数项并不改变。例如 kp+Nxq=kpxq+2π,并不影响指数项。所以,我们只要将所有小于零的格点编号加上 N 并重新排列即可。例如 N=4 时,x 格点为 x2,x1,x0,x1,令 x2=x2,x3=x1,这四个格点的名字就变为 x0,x1,x2,x3,数值不变。现在再来对比 DFT 和式 7 式 8 ,就只是相差两个常数了:
(10)g(ki)=N2πΔxgi,f(xi)=N2πΔkfi .

   式 9 是 DFT 一个重要的性质。结合式 5

(11)NΔxΔk=LxΔk=LkΔx=LxLkN=2π .
离散傅里叶变换只有两个自由度,只要决定 N,Lx,Δx,Lk,Δk 中的任意两个,就可以完全决定变换公式。注意 LxΔk 成反比,LkΔx 成反比,LxLkN 成正比。

   总结起来,要用 DFT 数值近似函数 f(x) 的傅里叶变换,就先用上述方法生成的格点将该函数等间距采样,然后左半和右半调换(负脚标加上 N)得到 fi,代入 DFT 公式(在程序中使用 FFT)得到 gi 再左半和右半调换得到 g(k) 的离散点。反傅里叶变换同理。

   下文如无特殊说明,默认 DFT 前后各将数列的左半右半交换一次。

2. 与傅里叶级数的关系

   要用 DFT 计算傅里叶级数 的系数(式 2 ),只需要把式 3 乘以 2π/Lx 即可,所以

(12)cn=2πLxg(ki)=1Ngi ,
另外可以发现 DFT 中 kn=2πn/Lx 的离散值恰好就是傅里叶级数级数中需要的。

3. DFT 变换矩阵

预备知识 2 正交矩阵、酉矩阵

   DFT 是一个线性变换,我们来看变换矩阵的性质。把变换和逆变换的系数矩阵用 FF1 来表示,令列矢量 f=(f0 f1fN1)Tg=(g0 g1gN1)T,变换和逆变换分别记为

(13)g=Ff ,f=F1g .
其中
(14)Fpq=1Nexp(2πiNpq) .
下面证明,F 是一个酉矩阵,所以逆变换矩阵就是 F 的厄米共轭。
(15)F1=F ,
不难验证式 2 的变换矩阵的确等于 F

   根据酉矩阵的定义,我们需要证明

(16)p=0N1Fpq1Fpq2=0(q1q2) ,
(17)p=0N1Fpq1Fpq2=1Np=0N1exp[2πiN(q2q1)p] .
注意到求和的每一项在复平面上都对应模长为 1/N,辐角为 (q2q1)p/N 个圆周的矢量, 而 N 条矢量恰好向不同方向均匀分布,所以相加为 0。证毕。

4. 采样定理

   从以上的分析中,DFT 只是一种近似,且有种种限制,例如我们只能取关于原点对称的区间,又例如变换只有两个自由度。我们不禁想定义更广义的离散傅里叶变换,使式 7 式 8 xikj 可以分别取任意区间的任意多个等间距格点。但事实上,这样的定义并不比 DFT 更精确,而且不能用 FFT 算法提高运算速度。

定理 1 奈奎斯特—香农采样定理(Nyquist–Shannon sampling theorem)

   如果函数 f(x) 的傅里叶变换 g(k) 不为零的区间不超出 [Lk/2,Lk/2](即 f(x)有限带宽的),那么我们只需要用步长 Δx2π/Lk 来对 f(x) 采样就可以用以下插值公式精确还原出 f(x)

(18)f(x)=n=f(xn)sinc[π(xxn)/Δx] ,
(见 sinc 函数)和
(19)g(k)={12πn=f(xn)eikxnΔx(|k|Lk/2)0(|k|>Lk/2) .

   注意把插值公式式 18 代入傅里叶变换式 3 就可直接得到式 19

(20)g(k)=12πn=f(xn)+sinc[π(xxn)/Δx]eikxdx .

   采样定理给出的 Δx 往往比一般情况下用求和代替积分所需的要小,例如对于 sin(ax)cos(ax),每周期只需要 2 个采样即可! 所以采样定理一个更简单表述是:

   f(t) 中不含有 B 赫兹以上的频率,那么只需用至少 2B 的频率对它采样就能将其完全将确定。

   有时候我们并不知道 f(x) 的带宽,如何决定采样点的最大步长 Δx 呢?一个简单的方法是先选一个较小的 Δx,使 f(xi) 散点看起来较为连续。这时解析傅里叶变换就可以用 DFT 近似。得到 g(kj) 散点后,再判断合理的 Lk 并计算相应的 Δx 即可。

   由于傅里叶变化和反变换是对称的,所以以上的分析中将 f(x)g(k) 调换同样成立。一个有趣的问题是,是否存在一些情况使 f(x)g(x) 都是有限带宽的?严格来说这种情况是不存在的3,但许多时候我们可以近似认为函数在区间外等于零,其中典型的例子就是高斯分布的傅里叶变换(例 1 )。

5. 归一化

   我们知道傅里叶变换可以保持函数的模长不变,或者说保持函数的归一化(式 16 )。

   假设采样定理的条件成立,我们来看如果通过离散点计算函数的模长。以 f(x) 为例,用插值公式来计算模长的平方,得

(21)f(x)f(x)dx=m=n=f(xm)f(xn)sinc[π(xxm)Δx]sinc[π(xxn)Δx]dx .
果然,这个积分的结果是
(22)i=|fi|2Δx .
即函数的模方等于列矢量的模方乘以步长,这对 g(k) 也同样成立。既然 DFT 是精确的,我们预期变换矩阵 F 能保证变换前后列矢量的模长相等,而这恰好是酉矩阵的性质。

6. 插值与添零

   上面我们看到,如果 f(x) 是有限带宽的,就可以使用式 18 进行插值,称为 sinc 插值4。对 g(k) 的插值也同理。然而在实践中,由于直接用 sinc 插值计算量太大,我们往往用下面介绍的添零法代替。

   假设我们要对 N 个散点 f(xi) 插值,可以先做 DFT 得到 Ng(kj),由式 11 可知,要缩小 Δx 而保持 Lx 不变,就要保持 Δk 不变且增加 LkN。所以我们可以在 g(kj) 数列的两边添加相同数量的 0,然后再做反 DFT 变换即可5

   然而这么做与 sinc 插值得到的结果并不完全相同。sinc 插值得到的 f(x) 往往会超出原来的区间(因为 sinc 函数只以 Δx/x 的速度衰减)。所以我们首先需要在误差能接受的范围内取一个更大 Lx(即更小的 Δk)。由于 sinc 插值函数的带宽严格小于 Lk=2π/Δx,所以 Lk 不需要改变。现在我们可以认为两个函数都是有限带宽的了,要得到 “包含所有信息” 的 DFT,就要先保持 Δx 不变,对 f(xi) 在新区间补零,做 DFT 得到 g(kj)。现在两个函数的地位完全平等,都可以用式 18 式 19 中的任意一个来精确插值。而注意补零插值法就相当于式 19 。所以这时再对 g(kj) 补任意多的零,就可以得到 f(x) 任意密度的插值。在误差范围内,现在得到的 f(x) 就与 sinc 插值得到的相等了。

   如果直接按照 DFT 公式计算添零法,程序的速度未必比 sinc 插值要快,但如果用 FFT,那添零法将会更快6

7. 任意区间的 DFT

   上面提到 DFT 或 FFT 的另一个限制就是只能在以零点为中心的两个区间之间变换 f(x)g(k)。但事实上我们只需要把数据稍作处理就可以在两个任意的区间 [xa,xb][ka,kb] 进行变换。

   我们先定义两个新函数7

(23)f1(x)=f(x+x0)eik0x,g1(k)=g(k+k0)ei(k+k0)x0 .
其中 x0=(xa+xb)/2k0=(ka+kb)/2。另外定义 Lx=xbxaLk=kbkaΔx=2π/LkΔk=2π/Lx。根据傅里叶变换的平移性质(式 14 8f1(x) 的傅里叶变换就是 g1(k)。注意 f1(x)g1(k) 的 DFT 区间 [Lx/2,Lx/2][Lk/2,Lk/2] 分别关于原点对称。现在我们只需要做 f1(x)g1(k) 间的 DFT,就能得到 f(x)g(k) 间的离散变换,不妨称为广义 DFT

   经过简单的推导可以发现广义 DFT 仍然可以用式 7 式 8 表示,只是 xkN 个格点分别落在 [xa,xb][ka,kb]9。但在程序中,最高效的做法还是先将 f 先变为 f1,做 FFT 得到 g1 再变为 g

   由采样定理易证,如果 g(k) 只在 [ka,kb] 不为零,那么只需用 Δx=2π/Lkf(x) 采样就可以用以下插值公式精确还原出10 f(x)

(24)f(x)=n=f(xn)sinc[π(xxn)Δx]eik0(xxn) ,

   实际应用中同样也可以用补零法来插值。

   广义 DFT 的好处是什么呢?例如有时候非零区间 [xa,xb] 或(和)[ka,kb] 很窄但却远离原点,则 LkLx 仍需取较大的值,这时 DFT 就没有发挥最大效率,因为大部分格点的函数值都是 0。但如果用广义 DFT,就可以大大减少格点数。

例 1 高斯波包

   我们现在来用 FFT 数值计算以下高斯波包的傅里叶变换。

(25)f(x)=ex2e100ix .
为了便于验证数值结果,解析的傅里叶变换结果是(参考例 1
(26)g(k)=12e(k100)2/4 ,
我们分别取 x,k 的区间为 [5,5][90,110](区间外的函数值不超过 1.4×1011)。所以我们采用式 24 的傅里叶变换,令 x0=0k0=100,则 Lx10Lk20。为了满足 LxLk=2πN(见式 11 ),N 取最小值 32。所以不妨令 Lx=10,Lk=2πN/Lx=20.106...。 所以 Δx=Lx/N=0.313...Δk=Lk/N=2π/Lx=0.628...。现在我们就可以生成 x,k 的格点并且做 FFT 了。
未完成:比较数值和解析结果


1. ^ 工程上的定义常常是正变换没有 1/N 因子,逆变换的 1/N 因子变为 1/N。这样的好处是节省运算量。我们使用的定义好处是变换为幺正变换,有保持归一化的特点。
2. ^ 参考 Numerical Recipes 3ed
3. ^ 我们可以用反证法做一个不太严谨的证明:如果这种情况存在,那么 f(x) 就可以用有限个 sinc(x) 函数的线性组合来表示,然而从定义上来看 sinc(x) 函数在 x 的区间外不可能恒为零。
4. ^ 注意实现的时候只能对有限项求和。
5. ^ 不难证明如果新的长度是 N 的整数倍,反变换后在老格点处仍能得到同样的 f(xi)
6. ^ 如果 FFT 中只有部分格点不为零,那么 FFT 理论上可以变得更快,称为 pruned FFT,然而 FFTW 的相关页面中介绍,只要非零格点的个数大于 1%,pruned FFT 都不会有显著的性能提升。
7. ^ 式 23 也可以改为 f1(x)=f(x+x0)eik0(x+x0)g1(k)=g(k+k0)eikx0
8. ^ 容易证明,DFT 也精确满足这个性质。
9. ^ 同样,如果 N 是奇数,x0,k0 是中间格点,否则就是中间靠右格点。
10. ^ 对离散的 f1(x) 使用之前的插值公式,再由 f1(x)f(x) 就可以推导出式 24


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