函数求值

贡献者：待更新

　　函数求值归根结底，就是找到一个解析公式，用加减乘除表示一个函数。如果算法没有用到近似，有限精度和任意精度都是一样的，只是每个数占的内存不同罢了。任意精度的加减乘除和开根号参考 Numerical Recipes 最后一节。

　　最常见的展开有三种，分别是泰勒展开，渐进展开，以及连续分数。这些展开在 functions.wolfram.com 都可以找到。

　　接下来是如何计算级数或连续分数。求级数的方法一般是用

\begin{matrix} (1) & f_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n} = (\dots ((c_{n} x + c_{n - 1}) x + c_{n - 2} \dots) x + c_{0} . \end{matrix}

这么做误差和直接对多项式求和一样，但计算量却少了很多。将上式中的

x

换成

1 / x

就是渐进展开的形式。注意我们可以在计算开始前估计误差，根据精度要求得到我们需要的项数。

　　显然， $| x |$ 越小时泰勒展开收敛得越快，而 $| x |$ 越大时渐进展开收敛得越快。

　　再来看连续分数

\begin{matrix} (2) & f_{N} (x) = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \dots \frac{a_{N}}{b_{N}}}}, \end{matrix}

也可以表示为

\begin{matrix} (3) & f_{N} (x) = b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} +} \frac{a_{2}}{b_{2} +} \frac{a_{3}}{b_{3} +} \dots \frac{a_{N}}{b_{N}}, \end{matrix}

其中

a_{n}

和

b_{n}

都可以是

x

的函数。

　　乍看之下连续分数只能从右往左求，其实不然。由递归法可以证明

\begin{matrix} (4) & f_{n} = \frac{A_{n}}{B_{n}} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & A_{n} = b_{n} A_{n - 1} + a_{n} A_{n - 2}, B_{n} = b_{n} B_{n - 1} + a_{n} B_{n - 2} . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & A_{- 1} = 1, B_{- 1} = 0, A_{0} = b_{0}, B_{0} = 1 . \end{matrix}

还有一种 Steed's 方法，详见 Numerical Recipes。正向求和的好处是可以判断什么时候开始收敛。据说特定情况下连续分数收敛较快，但具体什么时候用还有待考察。

　　另外两种不明觉厉的算法分别是切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomial）和算数几何平均（Agorithmic-Geometric Mean, AGM，后者也通常被用于计算高精度的 $π$ ，且有二次收敛。

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