函数求值

                     

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   函数求值归根结底,就是找到一个解析公式,用加减乘除表示一个函数。如果算法没有用到近似,有限精度和任意精度都是一样的,只是每个数占的内存不同罢了。任意精度的加减乘除和开根号参考 Numerical Recipes 最后一节。

   最常见的展开有三种,分别是泰勒展开,渐进展开,以及连续分数。这些展开在 functions.wolfram.com 都可以找到。

   接下来是如何计算级数或连续分数。求级数的方法一般是用

(1)fN(x)=n=0Ncnxn=(((cnx+cn1)x+cn2)x+c0 .
这么做误差和直接对多项式求和一样,但计算量却少了很多。将上式中的 x 换成 1/x 就是渐进展开的形式。注意我们可以在计算开始前估计误差,根据精度要求得到我们需要的项数。

   显然,|x| 越小时泰勒展开收敛得越快,而 |x| 越大时渐进展开收敛得越快。

   再来看连续分数

(2)fN(x)=b0+a1b1+a2b2+aNbN ,
也可以表示为
(3)fN(x)=b0+a1b1+a2b2+a3b3+aNbN ,
其中 anbn 都可以是 x 的函数。

   乍看之下连续分数只能从右往左求,其实不然。由递归法可以证明

(4)fn=AnBn .
其中
(5)An=bnAn1+anAn2 ,Bn=bnBn1+anBn2 .
(6)A1=1 ,B1=0 ,A0=b0 ,B0=1 .
还有一种 Steed's 方法,详见 Numerical Recipes。正向求和的好处是可以判断什么时候开始收敛。 据说特定情况下连续分数收敛较快,但具体什么时候用还有待考察。

   另外两种不明觉厉的算法分别是切比雪夫多项式(Chebyshev Polynomial)算数几何平均(Agorithmic-Geometric Mean, AGM,后者也通常被用于计算高精度的 π,且有二次收敛。


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