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函数求值归根结底，就是找到一个解析公式，用加减乘除表示一个函数。如果算法没有用到近似，有限精度和任意精度都是一样的，只是每个数占的内存不同罢了。任意精度的加减乘除和开根号参考 Numerical Recipes 最后一节。
最常见的展开有三种，分别是泰勒展开，渐进展开，以及连续分数。这些展开在 functions.wolfram.com 都可以找到。
接下来是如何计算级数或连续分数。求级数的方法一般是用
\begin{equation}
f_N(x) = \sum_{n = 0}^N c_n x^n = (\dots ((c_n x + c_{n-1})x + c_{n-2} \dots )x + c_0~.
\end{equation}
这么做误差和直接对多项式求和一样，但计算量却少了很多。将上式中的 $x$ 换成 $1/x$ 就是渐进展开的形式。注意我们可以在计算开始前估计误差，根据精度要求得到我们需要的项数。
显然，$ \left\lvert x \right\rvert $ 越小时泰勒展开收敛得越快，而 $ \left\lvert x \right\rvert $ 越大时渐进展开收敛得越快。
再来看连续分数
\begin{equation}
f_N(x) = b_0 + \dfrac{a_1}{b_1 + \dfrac{a_2}{b_2 + \dots \dfrac{a_N}{b_N}}}~,
\end{equation}
也可以表示为
\begin{equation}
f_N(x) = b_0 + \frac{a_1}{b_1 +} \frac{a_2}{b_2 +} \frac{a_3}{b_3 +} \dots \frac{a_N}{b_N}~,
\end{equation}
其中 $a_n$ 和 $b_n$ 都可以是 $x$ 的函数。
乍看之下连续分数只能从右往左求，其实不然。由递归法可以证明
\begin{equation}
f_n = \frac{A_n}{B_n}~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
A_n = b_n A_{n-1} + a_n A_{n-2} ~,\qquad
B_n = b_n B_{n-1} + a_n B_{n-2}~.
\end{equation}
\begin{equation}
A_{-1} = 1 ~,\qquad B_{-1} = 0~,
\qquad A_0 = b_0 ~,\qquad B_0 = 1~.
\end{equation}
还有一种 Steed's 方法，详见 Numerical Recipes。正向求和的好处是可以判断什么时候开始收敛。
据说特定情况下连续分数收敛较快，但具体什么时候用还有待考察。
另外两种不明觉厉的算法分别是切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomial）和算数几何平均（Agorithmic-Geometric Mean, AGM，后者也通常被用于计算高精度的 $\pi$，且有二次收敛。
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