线性映射的坐标表示

             

  • 本词条处于草稿阶段.
  • 本词条需要重新创作和整合,融入章节逻辑体系.
  • 需要强调线性变换是矢量的变换,矢量本身和坐标是有区别的,坐标和基底有关,所以同一个线性映射使用不同基底,线性方程组的系数不一样
预备知识 平面旋转变换

1. 代数理解

   从代数的角度来说,对于给出几个数,把它们分别与一些常数相乘再把积相加,得到另外几个数的的过程就叫线性变换.例如,在 “平面旋转变换” 中,直角坐标系中任意一点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 绕远点旋转角 $\alpha $ 以后的坐标为

\begin{equation} \begin{cases} x' = (\cos\alpha) x + (-\sin\alpha)y\\ y' = (\sin \alpha)x + (\cos\alpha)y \end{cases} \end{equation}
这就是一个常见的线性变换,任意给出两个实数 $x,y$,通过与常数相乘再相加的方法得到两个新的实数 $x',y'$.

   有些线性变换是一一对应的,例如上面的例子中,任何一组 $x,y$,有且仅有一组 $x',y'$ 与之对应,反之亦然.在这种情况下,这个变换存在逆变换

2. 线性变换的矩阵表示

   由 $n$ 个数 $x_1 \ldots x_n$ 变换到 $m$ 个数 $y_1 \ldots y_n$ 的线性变换的一般形式为

\begin{equation} \begin{cases} y_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n\\ y_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n\\ \quad\; \vdots \\ y_m = a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n \end{cases} \end{equation}
这里一共有 $m \times n$ 个系数,每个系数的下标由两个数组成,$a_{ij}$ 是计算 $y_i$ 时 $x_j$ 前面的系数.为了书写方便,把这些系数写成一个 $m$ 行 $n$ 列的数表,用圆括号括起来,就是表示该变换的矩阵
\begin{equation}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{pmatrix}\end{equation}

3. 几何理解

预备知识 几何矢量

   我们假设式 2 中的数都是实数,那么我们可以把 $(x_1, \dots, x_n)$ 和 $n$ 维空间中的几何矢量意义对应,即把它们看作是 $X$ 空间中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的 $n$ 个坐标.同理我们把 $(y_1, \dots, y_n)$ 看作是 $m$ 维空间 $Y$ 中的几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的坐标.

   变换是指,给出 $X$ 空间中的任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,都能通过某种规则映射(即对应)到 $Y$ 空间中的某个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $.注意变换不能是一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 对应到多个 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $.变换的概念与函数类似,若将某变换记为 $ \hat{T} $,那么可以记

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{y}} = \hat{T} \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}

   线性变换是一种满足特定性质的变换.指给出 $X$ 空间中的任意两个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$ 以及两个实数 $c_1$ 和 $c_2$,这个变换 $ \hat{L} $ 满足

\begin{equation} \hat{L} (c_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2) = c_1 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _2 \end{equation}

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