贡献者： addis; Giacomo
- 本文处于草稿阶段。
- 本文需要重新创作和整合，融入章节逻辑体系。
- 需要强调线性变换是矢量的变换，矢量本身和坐标是有区别的，坐标和基底有关，所以同一个线性映射使用不同基底，线性方程组的系数不一样
1. 代数理解
从代数的角度来说，对于给出几个数，把它们分别与一些常数相乘再把积相加，得到另外几个数的的过程就叫线性变换。例如，在 “平面旋转变换” 中，直角坐标系中任意一点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 绕远点旋转角 $\alpha $ 以后的坐标为
\begin{equation}
\begin{cases}
x' = (\cos\alpha) x + (-\sin\alpha)y\\
y' = (\sin \alpha)x + (\cos\alpha)y~.
\end{cases}
\end{equation}
这就是一个常见的线性变换，任意给出两个实数 $x,y$，通过与常数相乘再相加的方法得到两个新的实数 $x',y'$。
有些线性变换是一一对应的，例如上面的例子中，任何一组 $x,y$，有且仅有一组 $x',y'$ 与之对应，反之亦然。在这种情况下，这个变换存在逆变换。
2. 线性变换的矩阵表示
由 $n$ 个数 $x_1 \ldots x_n$ 变换到 $m$ 个数 $y_1 \ldots y_n$ 的线性变换的一般形式为
\begin{equation}
\begin{cases}
y_1 = a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n\\
y_2 = a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots + a_{2n} x_n\\
\quad\; \vdots \\
y_m = a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n~.
\end{cases}
\end{equation}
这里一共有 $m \times n$ 个系数，每个系数的下标由两个数组成，$a_{ij}$ 是计算 $y_i$ 时 $x_j$ 前面的系数。为了书写方便，把这些系数写成一个 $m$ 行 $n$ 列的数表，用圆括号括起来，就是表示该变换的
矩阵
\begin{equation}\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}~.
\end{equation}
3. 几何理解
我们假设式 2 中的数都是实数，那么我们可以把 $(x_1, \dots, x_n)$ 和 $n$ 维空间中的几何矢量意义对应，即把它们看作是 $X$ 空间中矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的 $n$ 个坐标。同理我们把 $(y_1, \dots, y_n)$ 看作是 $m$ 维空间 $Y$ 中的几何矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 的坐标。
变换是指，给出 $X$ 空间中的任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，都能通过某种规则映射（即对应）到 $Y$ 空间中的某个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $。注意变换不能是一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 对应到多个 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $。变换的概念与函数类似，若将某变换记为 $ \hat{T} $，那么可以记
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{y}} = \hat{T} \boldsymbol{\mathbf{x}} ~.
\end{equation}
线性变换是一种满足特定性质的变换。指给出 $X$ 空间中的任意两个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$ 以及两个实数 $c_1$ 和 $c_2$，这个变换 $ \hat{L} $ 满足
\begin{equation}
\hat{L} (c_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2) = c_1 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _1 + c_2 \hat{L} \boldsymbol{\mathbf{x}} _2~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。