离散正弦变换

                     

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预备知识 离散傅里叶变换

   由正弦级数(n=1,2,3

(1)f(x)=nCnsin(nπlx) ,
(2)Cn=2l0lf(x)sin(nπlx)dx .
不难推出正弦变换
(3)g(k)=2π0f(x)sin(kx)dx ,
(4)f(x)=2π0g(k)sin(kx)dk .
注意这是一个正半轴的变换,且正反变换相同。

   正弦变换同样有采样定理,即若 g(k) 的区间为 [0,Lk],那么只需要取 Δx=π/Lkf(x) 采样即可用以下插值公式精确还原 f(x)

(5)f(x)=n=1f(xn)2xnx+xnsinc[π(xxn)/Δx] .

1. 离散正弦变换

   把插值公式做正弦变换,得

(6)g(k)=2πn=1f(xn)sin(kxn)Δx .
现在假设 f(x)g(k) 都只在 [0,Lx][0,Lk] 内,所以有
(7)ΔxLk=ΔkLx=NΔxΔk=LxLkN=π .
可得无损的离散正弦变换为
(8)gq=p=1N1fpsin(πpq/N) ,
(9)fp=q=1N1gqsin(πpq/N) .
可以证明变换矩阵是对称的单位正交矩阵,所以逆矩阵就是矩阵本身。


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