离散正弦变换

贡献者：待更新

预备知识　离散傅里叶变换

　　由正弦级数（ $n = 1, 2, 3 \dots$ ）

\begin{matrix} (1) & f (x) = \sum_{n} C_{n} \sin (\frac{n π}{l} x), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & C_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f (x) \sin (\frac{n π}{l} x) d x . \end{matrix}

不难推出正弦变换

\begin{matrix} (3) & g (k) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \sin (k x) d x, \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & f (x) = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} g (k) \sin (k x) d k . \end{matrix}

注意这是一个正半轴的变换，且正反变换相同。

　　正弦变换同样有采样定理，即若 $g (k)$ 的区间为 $[0, L_{k}]$ ，那么只需要取 $Δ x = π / L_{k}$ 对 $f (x)$ 采样即可用以下插值公式精确还原 $f (x)$

\begin{matrix} (5) & f (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} f (x_{n}) \frac{2 x_{n}}{x + x_{n}} sinc [π (x - x_{n}) / Δ x] . \end{matrix}

1. 离散正弦变换

　　把插值公式做正弦变换，得

\begin{matrix} (6) & g (k) = \sqrt{\frac{2}{π}} \sum_{n = 1}^{\infty} f (x_{n}) \sin (k x_{n}) Δ x . \end{matrix}

现在假设

f (x)

和

g (k)

都只在

[0, L_{x}]

和

[0, L_{k}]

内，所以有

\begin{matrix} (7) & Δ x L_{k} = Δ k L_{x} = N Δ x Δ k = \frac{L_{x} L_{k}}{N} = π . \end{matrix}

可得无损的离散正弦变换为

\begin{matrix} (8) & g_{q} = \sum_{p = 1}^{N - 1} f_{p} \sin (π p q / N), \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & f_{p} = \sum_{q = 1}^{N - 1} g_{q} \sin (π p q / N) . \end{matrix}

可以证明变换矩阵是对称的单位正交矩阵，所以逆矩阵就是矩阵本身。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。