椭圆积分

             

预备知识 换元积分法,曲线的长度

1. 第一类不完全椭圆积分

   第一类不完全椭圆积分(incomplete elliptic integral of the first kind)

\begin{equation} F(\phi, k) = \int_0^\phi \frac{ \,\mathrm{d}{x} }{\sqrt{1 - k^2\sin^2 x}} \end{equation}
椭圆积分有时候也记为 $F(\phi | k^2) = F(\sin\phi ; k)$.

   使用积分换元法,令 $t = \sin x$,有

\begin{equation} F \left(\phi, k \right) = \int_0^\phi \frac{ \,\mathrm{d}{t} }{\sqrt{(1 - t^2)(1 - k^2 t^2)}} \end{equation}
另一种换元法是令 $\theta = 2x$,$k = \csc\left(\theta_0/2\right) $,$F(\phi, k)$ 也可以表示为
\begin{equation} F \left(\phi, \csc\frac{\theta_0}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\theta_0}{2} \int_0^{2\phi} \frac{ \,\mathrm{d}{\theta} }{\sqrt{\cos\theta - \cos\theta_0}} \end{equation}

数值计算

   $F(\phi | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticF(phi, m),Mathematica 函数为 EllipticF[phi, m]

   (图未完成)

2. 第二类不完整椭圆积分

   第二类不完整椭圆积分(incomplete elliptic integral of the second kind)

\begin{equation} E(\varphi, k) = E(\varphi | k^2) = E(\sin\varphi; k) = \int_0^\varphi \sqrt{1 - k^2\sin^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
令 $x = \sin\varphi$,则有
\begin{equation} E(x; k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1 - k^2t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
该函数可用于计算椭圆的弧长,详见例 2

数值计算

   $E(\phi | m)$ 的 Matlab 函数为 ellipticE(phi, m),Mathematica 函数为 EllipticE[phi, m]

   (图未完成)

第二类完整椭圆积分

   令以上的 $\varphi = \pi/2$ 或 $x = 1$,就得到第二类完整椭圆积分(complete elliptic integral of the second kind)

\begin{equation} \begin{aligned} E(k) &= E \left(\frac{\pi}{2}, k \right) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2\sin^2\theta} \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= E(1; k) = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - k^2 t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \,\mathrm{d}{t} \end{aligned} \end{equation}
椭圆的周长为(见例 2
\begin{equation} c = 4aE(e) \end{equation}
其中 $a$ 是椭圆的长轴,$e$ 是离心率.

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