巴拿赫空间

             

预备知识 柯西序列 完备度量空间

定义 1 巴拿赫空间

   完备的赋范空间叫做巴拿赫空间(Banach space)

1. 巴拿赫空间的例子

例 1 $\mathbb C^N$ 空间

   $N$ 维实空间 $\mathbb R^N$ 或者复空间 $\mathbb C^N$ 在任何范数之下都是完备的,因此在任何范数之下都是巴拿赫空间.

例 2 连续函数空间

   有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 $X := C[a, b]$,这是一个不可数维的空间.若令范数为 $$ \|{f}\|:= \max_{a \leqslant x \leqslant b} \left\lvert f(x) \right\rvert , $$ 则它成为一个巴拿赫空间.这范数下收敛的连续函数序列恰为一致收敛的连续函数序列.而若赋予 $X$ 以 $L^p$ 范数 $$ \|f\|_{L^p}:=\left(\int_{\mathbb{R^N}}|f(x)|^pdx\right)^{1/p}, $$ 则在此范数下它不是完备的.

   更一般地,对于任何紧 Hausforff 空间 $K$,连续函数空间 $C(K)$ 在范数 $$ \|f\|:=\sup_{x\in K}|f(x)| $$ 之下也是巴拿赫空间.

例 3 $L^p$ 空间

   对于测度空间 $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$,定义可测函数的 $L^p$ 范数为 $$ \|f\|_{L^p(\mu)}=\left(\int_\Omega |f(x)|^pd\mu(x)\right)^{1/p}, $$ $$ \|f\|_{L^\infty(\mu)}=\text{ess sup}_{\Omega}|f|. $$ 如果将几乎处处相等的函数视为相同,则当 $1\leq p\leq\infty$ 时 $\|\cdot\|_{L^p(\mu)}$ 便是一个范数,而满足 $\|f\|_{L^p(\mu)}$ 的可测函数的线性空间就是 $L^p(\mu)$.它是完备的.当 $\Omega=\mathbb{N}$,而测度 $\mu$ 为普通的计数测度时,可测函数就是通常的序列,此时将空间记为 $l^p$,而序列的范数是 $$ \|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty|x(n)|^p\right)^{1/p}. $$ 本例内容可参考 Bogachev, V. I. (2007). Measure theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media., 第三章.

2. 巴拿赫空间上的线性算子

   巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样.不过,在分析数学中,也常常需要考虑不一定有界的线性算子.一般来说,对于两个巴拿赫空间 $X,Y$,分析数学中最经常考虑的是稠定算子(densely defined operator),即定义在 $X$ 的某个稠密子空间上的线性算子 $T$.这个稠密子空间称为算子的定义域,常记为 $\text{Dom}(T)$.稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子.如果算子 $T_1$ 是算子 $T$ 的延拓,即 $\text{Dom}(T)\subset \text{Dom}(T_1)$ 且在 $\text{Dom}(T)$ 上有 $T_1=T$,则写 $T\subset T_1$.

   对于巴拿赫空间 $X,Y$ 之间的(不一定有界的)线性算子 $T$,其图像(graph)定义为 $X\times Y$ 的子空间 $$ \text{G}(T):=\{(x,Tx):x\in \text{Dom}(T)\}. $$ 在 $\text{Dom}(T)$ 上定义的范数 $[|x|]_T:=\|x\|_X+\|Tx\|_Y$ 称为图范数(graph norm).如果 $\text{G}(T)$ 是闭子空间,则称算子 $T$ 为闭算子(closed operator).如果存在延拓 $T_1\supset T$ 使得 $T_1$ 为闭算子,则 $T$ 称为可闭化(closable) 的.闭图像定理(Closed graph theorem)说明:在巴拿赫空间上,定义于全空间的闭算子是有界的.谱理论就是针对闭算子展开的.

3. 巴拿赫空间的基本性质

   赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间.完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的.可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的.

   一个赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$ 是完备的,当且仅当由 $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\| < \infty $ 总可以推出 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ 按照范数收敛.

   如果 $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot\|_Y)$ 是巴拿赫空间,那么其直积 $X\times Y$ 在范数 $\|(x,y)\|_{p}$ 之下也是巴拿赫空间.有界线性算子空间 $\mathfrak{B}(X,Y)$ 在算子范数下也是巴拿赫空间.如果 $X$ 巴拿赫空间,$M\subset X$ 是其闭子空间,则商空间 $X/M$ 在商范数之下也是巴拿赫空间.这里用到的定义见

   无穷维巴拿赫空间的代数维数(即其中极大线性无关向量组的势)一定是不可数的.这是因为,如果 $\{x_k\}\subset X$ 是任何序列,则若命 $X_n$ 是 $\{x_1,...,x_n\}$ 张成的子空间,那么每个 $X_n$ 都是真闭子空间.按照贝尔纲定理,它们的并集是第一纲集,但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集,所以不可能有 $X=\bigcup_n X_n$.

   无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 $\{\|x\|\leq1\}$ 在其范数拓扑下一定不是紧的.详见里斯引理

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