巴拿赫空间

贡献者： addis; DTSIo; Giacomo

预备知识　柯西序列完备度量空间，赋范空间（泛函分析）

1. 巴拿赫空间

　　赋范线性空间都具有度量

\begin{matrix} (1) & d (x, y) := ‖ x - y ‖, \end{matrix}

所以赋范空间都是度量空间。作为度量空间时完备的赋范空间称为巴拿赫空间（Banach space）。

例 1　 $C^{N}$ 空间

　　 $N$ 维实空间 $R^{N}$ 或者复空间 $C^{N}$ 在任何范数之下都是完备的，因此在任何范数之下都是巴拿赫空间。

例 2　连续函数空间

　　有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 $X := C [a, b]$ ，这是一个不可数维的空间。若令范数为 $‖ f ‖ := max_{a ⩽ x ⩽ b} | f (x) |,$ 则它成为一个巴拿赫空间。这范数下收敛的连续函数序列恰为一致收敛的连续函数序列。而若赋予 $X$ 以 $L^{p}$ 范数 $‖ f ‖_{L^{p}} := {(\int_{R^{N}} | f (x) |^{p} d x)}^{1 / p},$ 则在此范数下它不是完备的。

　　更一般地，对于任何紧 Hausforff 空间 $K$ ，连续函数空间 $C (K)$ 在范数 $‖ f ‖ := sup_{x \in K} | f (x) |$ 之下也是巴拿赫空间。

例 3　 $l^{p}$ 、 $L^{p}$ 空间

　　对于测度空间 $(Ω, A, μ)$ ，定义可测函数的 $L^{p}$ 范数为 $‖ f ‖_{L^{p} (μ)} = {(\int_{Ω} | f (x) |^{p} d μ (x))}^{1 / p},$ $‖ f ‖_{L^{\infty} (μ)} = {ess sup}_{Ω} | f | .$

未完成：解释一下什么叫 essential sup

如果将几乎处处相等的函数视为相同，则当

1 \leq p \leq \infty

时

‖ \cdot ‖_{L^{p} (μ)}

便是一个范数，而满足

‖ f ‖_{L^{p} (μ)}

的可测函数的线性空间就是

L^{p} (μ)

。它是完备的。当

Ω = N

，而测度

μ

为普通的计数测度时，可测函数就是通常的序列，此时将空间记为

l^{p}

，而序列的范数是

‖ x ‖_{p} = {(\sum_{n = 1}^{\infty} | x (n) |^{p})}^{1 / p} .

本例内容可参考 Bogachev, V. I. (2007). Measure theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media., 第三章。

未完成：改写成 cite 的形式

2. 巴拿赫空间上的线性算子

　　巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样。不过，在泛函分析中，也常常需要考虑不一定有界的线性算子。一般来说，对于两个巴拿赫空间 $X, Y$ ，泛函分析中最经常考虑的是稠定算子（densely defined operator），即定义在 $X$ 的某个稠密子空间上的线性算子 $T$ 。这个稠密子空间称为算子的定义域，常记为 $Dom (T)$ 。稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子。如果算子 $T_{1}$ 是算子 $T$ 的延拓，即 $Dom (T) \subset Dom (T_{1})$ 且在 $Dom (T)$ 上有 $T_{1} = T$ ，则写 $T \subset T_{1}$ 。

　　对于巴拿赫空间 $X, Y$ 之间的（不一定有界的）线性算子 $T$ ，其图像（graph）定义为 $X \times Y$ 的子空间 $G (T) := {(x, T x) : x \in Dom (T)} .$ 在 $Dom (T)$ 上定义的范数 $[| x |]_{T} := ‖ x ‖_{X} + ‖ T x ‖_{Y}$ 称为图像范数（graph norm）。如果 $G (T)$ 是闭子空间，则称算子 $T$ 为闭算子（closed operator）。如果存在延拓 $T_{1} \supset T$ 使得 $T_{1}$ 为闭算子，则 $T$ 称为可闭化（closable） 的。闭图像定理（Closed graph theorem）说明：在巴拿赫空间上，定义于全空间的闭算子是有界的。谱理论就是针对闭算子展开的。

3. 巴拿赫空间的基本性质

　　赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间。完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的。可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的。

　　一个赋范空间 $(X, ‖ \cdot ‖)$ 是完备的，当且仅当由 $\sum_{n = 1}^{\infty} ‖ x_{n} ‖ < \infty$ 总可以推出 $\sum_{n = 1}^{\infty} x_{n}$ 按照范数收敛。

　　如果 $(X, ‖ \cdot ‖_{X}), (Y, ‖ \cdot ‖_{Y})$ 是巴拿赫空间，那么其直积 $X \times Y$ 在范数 $‖ (x, y) ‖_{p}$ 之下也是巴拿赫空间。有界线性算子空间 $B (X, Y)$ 在算子范数下也是巴拿赫空间。如果 $X$ 巴拿赫空间， $M \subset X$ 是其闭子空间，则商空间 $X / M$ 在商范数之下也是巴拿赫空间。这里用到的定义见 “赋范空间”。

　　无穷维巴拿赫空间的代数维数（即其中极大线性无关向量组的势）一定是不可数的。这是因为，如果 ${x_{k}} \subset X$ 是任何序列，则若命 $X_{n}$ 是 ${x_{1}, . . ., x_{n}}$ 张成的子空间，那么每个 $X_{n}$ 都是真闭子空间。按照贝尔纲定理，它们的并集是第一纲集，但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集，所以不可能有 $X = ⋃_{n} X_{n}$ 。

　　无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 ${‖ x ‖ \leq 1}$ 在其范数拓扑下一定不是紧的。详见里斯引理。

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