巴拿赫空间
贡献者: addis; DTSIo; Giacomo
预备知识 柯西序列 完备度量空间
,赋范空间(泛函分析)
1. 巴拿赫空间
赋范线性空间都具有度量
所以赋范空间都是
度量空间。作为度量空间时完备的赋范空间称为
巴拿赫空间(Banach space)。
例 1 空间
维实空间 或者复空间 在任何范数之下都是完备的,因此在任何范数之下都是巴拿赫空间。
例 2 连续函数空间
有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 ,这是一个不可数维的空间。若令范数为
则它成为一个巴拿赫空间。这范数下收敛的连续函数序列恰为一致收敛的连续函数序列。而若赋予 以 范数
则在此范数下它不是完备的。
更一般地,对于任何紧 Hausforff 空间 ,连续函数空间 在范数
之下也是巴拿赫空间。
例 3 、 空间
对于测度空间 ,定义可测函数的 范数为
未完成:解释一下什么叫 essential sup
如果将几乎处处相等的函数视为相同,则当 时 便是一个范数,而满足 的可测函数的线性空间就是 。它是完备的。当 ,而测度 为普通的计数测度时,可测函数就是通常的序列,此时将空间记为 ,而序列的范数是
本例内容可参考 Bogachev, V. I. (2007). Measure theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media., 第三章。
未完成:改写成 cite 的形式
2. 巴拿赫空间上的线性算子
巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样。不过,在泛函分析中,也常常需要考虑不一定有界的线性算子。一般来说,对于两个巴拿赫空间 ,泛函分析中最经常考虑的是稠定算子(densely defined operator),即定义在 的某个稠密子空间上的线性算子 。这个稠密子空间称为算子的定义域,常记为 。稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子。如果算子 是算子 的延拓,即 且在 上有 ,则写 。
对于巴拿赫空间 之间的(不一定有界的)线性算子 ,其图像(graph)定义为 的子空间
在 上定义的范数 称为图像范数(graph norm)。如果 是闭子空间,则称算子 为闭算子(closed operator)。如果存在延拓 使得 为闭算子,则 称为可闭化(closable) 的。闭图像定理(Closed graph theorem)说明:在巴拿赫空间上,定义于全空间的闭算子是有界的。谱理论就是针对闭算子展开的。
3. 巴拿赫空间的基本性质
赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间。完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的。可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的。
一个赋范空间 是完备的,当且仅当由 总可以推出 按照范数收敛。
如果 是巴拿赫空间,那么其直积 在范数 之下也是巴拿赫空间。有界线性算子空间 在算子范数下也是巴拿赫空间。如果 巴拿赫空间, 是其闭子空间,则商空间 在商范数之下也是巴拿赫空间。这里用到的定义见 “赋范空间”。
无穷维巴拿赫空间的代数维数(即其中极大线性无关向量组的势)一定是不可数的。这是因为,如果 是任何序列,则若命 是 张成的子空间,那么每个 都是真闭子空间。按照贝尔纲定理,它们的并集是第一纲集,但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集,所以不可能有 。
无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 在其范数拓扑下一定不是紧的。详见里斯引理。
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