贡献者： addis; DTSIo; Giacomo
预备知识 柯西序列 完备度量空间
，赋范空间（泛函分析）
1. 巴拿赫空间
赋范线性空间都具有度量
\begin{equation}
d(x,y) := \left\lVert x-y \right\rVert ~,
\end{equation}
所以赋范空间都是
度量空间。作为度量空间时完备的赋范空间称为
巴拿赫空间（Banach space）。
例 1 $\mathbb C^N$ 空间
$N$ 维实空间 $\mathbb R^N$ 或者复空间 $\mathbb C^N$ 在任何范数之下都是完备的，因此在任何范数之下都是巴拿赫空间。
例 2 连续函数空间
有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 $X := C[a, b]$，这是一个不可数维的空间。若令范数为
$$
\|{f}\|:= \max_{a \leqslant x \leqslant b} \left\lvert f(x) \right\rvert ~,
$$
则它成为一个巴拿赫空间。这范数下收敛的连续函数序列恰为一致收敛的连续函数序列。而若赋予 $X$ 以 $L^p$ 范数
$$
\|f\|_{L^p}:=\left(\int_{\mathbb{R^N}}|f(x)|^pdx\right)^{1/p}~,
$$
则在此范数下它不是完备的。
更一般地，对于任何紧 Hausforff 空间 $K$，连续函数空间 $C(K)$ 在范数
$$
\|f\|:=\sup_{x\in K}|f(x)|~
$$
之下也是巴拿赫空间。
例 3 $l^p$、$L^p$ 空间
对于测度空间 $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$，定义可测函数的 $L^p$ 范数为
$$
\|f\|_{L^p(\mu)}=\left(\int_\Omega |f(x)|^pd\mu(x)\right)^{1/p}~,
$$
$$
\|f\|_{L^\infty(\mu)}=\text{ess sup}_{\Omega}|f|~.
$$
未完成：解释一下什么叫 essential sup
如果将几乎处处相等的函数视为相同，则当 $1\leq p\leq\infty$ 时 $\|\cdot\|_{L^p(\mu)}$ 便是一个范数，而满足 $\|f\|_{L^p(\mu)}$ 的可测函数的线性空间就是 $L^p(\mu)$。它是完备的。当 $\Omega=\mathbb{N}$，而测度 $\mu$ 为普通的计数测度时，可测函数就是通常的序列，此时将空间记为 $l^p$，而序列的范数是
$$
\|x\|_p=\left(\sum_{n=1}^\infty|x(n)|^p\right)^{1/p}~.
$$
本例内容可参考 Bogachev, V. I. (2007). Measure theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media., 第三章。
未完成：改写成 cite 的形式
2. 巴拿赫空间上的线性算子
巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样。不过，在泛函分析中，也常常需要考虑不一定有界的线性算子。一般来说，对于两个巴拿赫空间 $X,Y$，泛函分析中最经常考虑的是稠定算子（densely defined operator），即定义在 $X$ 的某个稠密子空间上的线性算子 $T$。这个稠密子空间称为算子的定义域，常记为 $\text{Dom}(T)$。稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子。如果算子 $T_1$ 是算子 $T$ 的延拓，即 $\text{Dom}(T)\subset \text{Dom}(T_1)$ 且在 $\text{Dom}(T)$ 上有 $T_1=T$，则写 $T\subset T_1$。
对于巴拿赫空间 $X,Y$ 之间的（不一定有界的）线性算子 $T$，其图像（graph）定义为 $X\times Y$ 的子空间
$$
\text{G}(T):=\{(x,Tx):x\in \text{Dom}(T)\}~.
$$
在 $\text{Dom}(T)$ 上定义的范数 $[|x|]_T:=\|x\|_X+\|Tx\|_Y$ 称为图像范数（graph norm）。如果 $\text{G}(T)$ 是闭子空间，则称算子 $T$ 为闭算子（closed operator）。如果存在延拓 $T_1\supset T$ 使得 $T_1$ 为闭算子，则 $T$ 称为可闭化（closable） 的。闭图像定理（Closed graph theorem）说明：在巴拿赫空间上，定义于全空间的闭算子是有界的。谱理论就是针对闭算子展开的。
3. 巴拿赫空间的基本性质
赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间。完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的。可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的。
一个赋范空间 $(X,\|\cdot\|)$ 是完备的，当且仅当由 $\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|<\infty $ 总可以推出 $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ 按照范数收敛。
如果 $(X,\|\cdot\|_X),(Y,\|\cdot\|_Y)$ 是巴拿赫空间，那么其直积 $X\times Y$ 在范数 $\|(x,y)\|_{p}$ 之下也是巴拿赫空间。有界线性算子空间 $\mathfrak{B}(X,Y)$ 在算子范数下也是巴拿赫空间。如果 $X$ 巴拿赫空间，$M\subset X$ 是其闭子空间，则商空间 $X/M$ 在商范数之下也是巴拿赫空间。这里用到的定义见 “赋范空间”。
无穷维巴拿赫空间的代数维数（即其中极大线性无关向量组的势）一定是不可数的。这是因为，如果 $\{x_k\}\subset X$ 是任何序列，则若命 $X_n$ 是 $\{x_1,...,x_n\}$ 张成的子空间，那么每个 $X_n$ 都是真闭子空间。按照贝尔纲定理，它们的并集是第一纲集，但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集，所以不可能有 $X=\bigcup_n X_n$。
无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 $\{\|x\|\leq1\}$ 在其范数拓扑下一定不是紧的。详见里斯引理。
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