巴拿赫空间

                     

贡献者: addis; DTSIo; Giacomo

预备知识 柯西序列 完备度量空间,赋范空间(泛函分析)

1. 巴拿赫空间

   赋范线性空间都具有度量

(1)d(x,y):=xy ,
所以赋范空间都是度量空间。作为度量空间时完备的赋范空间称为巴拿赫空间(Banach space)

例 1 CN 空间

   N 维实空间 RN 或者复空间 CN 在任何范数之下都是完备的,因此在任何范数之下都是巴拿赫空间。

例 2 连续函数空间

   有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 X:=C[a,b],这是一个不可数维的空间。若令范数为 f:=maxaxb|f(x)| , 则它成为一个巴拿赫空间。这范数下收敛的连续函数序列恰为一致收敛的连续函数序列。而若赋予 XLp 范数 fLp:=(RN|f(x)|pdx)1/p , 则在此范数下它不是完备的。

   更一般地,对于任何紧 Hausforff 空间 K,连续函数空间 C(K) 在范数 f:=supxK|f(x)|  之下也是巴拿赫空间。

例 3 lpLp 空间

   对于测度空间 (Ω,A,μ),定义可测函数的 Lp 范数为 fLp(μ)=(Ω|f(x)|pdμ(x))1/p , fL(μ)=ess supΩ|f| .

未完成:解释一下什么叫 essential sup
如果将几乎处处相等的函数视为相同,则当 1pLp(μ) 便是一个范数,而满足 fLp(μ) 的可测函数的线性空间就是 Lp(μ)。它是完备的。当 Ω=N,而测度 μ 为普通的计数测度时,可测函数就是通常的序列,此时将空间记为 lp,而序列的范数是 xp=(n=1|x(n)|p)1/p . 本例内容可参考 Bogachev, V. I. (2007). Measure theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media., 第三章。
未完成:改写成 cite 的形式

2. 巴拿赫空间上的线性算子

   巴拿赫空间上有界算子的定义与赋范空间中一样。不过,在泛函分析中,也常常需要考虑不一定有界的线性算子。一般来说,对于两个巴拿赫空间 X,Y,泛函分析中最经常考虑的是稠定算子(densely defined operator),即定义在 X 的某个稠密子空间上的线性算子 T。这个稠密子空间称为算子的定义域,常记为 Dom(T)。稠定算子不一定可以延拓为全空间上的有界算子。如果算子 T1 是算子 T 的延拓,即 Dom(T)Dom(T1) 且在 Dom(T) 上有 T1=T,则写 TT1

   对于巴拿赫空间 X,Y 之间的(不一定有界的)线性算子 T,其图像(graph)定义为 X×Y 的子空间 G(T):={(x,Tx):xDom(T)} .Dom(T) 上定义的范数 [|x|]T:=xX+TxY 称为图像范数(graph norm)。如果 G(T) 是闭子空间,则称算子 T闭算子(closed operator)。如果存在延拓 T1T 使得 T1 为闭算子,则 T 称为可闭化(closable) 的。闭图像定理(Closed graph theorem)说明:在巴拿赫空间上,定义于全空间的闭算子是有界的。谱理论就是针对闭算子展开的。

3. 巴拿赫空间的基本性质

   赋范线性空间在度量空间的意义下经过完备化之后成为巴拿赫空间。完备的赋范空间在赋以等价范数后还是完备的。可分的赋范线性空间的完备化空间还是可分的。

   一个赋范空间 (X,) 是完备的,当且仅当由 n=1xn< 总可以推出 n=1xn 按照范数收敛。

   如果 (X,X),(Y,Y) 是巴拿赫空间,那么其直积 X×Y 在范数 (x,y)p 之下也是巴拿赫空间。有界线性算子空间 B(X,Y) 在算子范数下也是巴拿赫空间。如果 X 巴拿赫空间,MX 是其闭子空间,则商空间 X/M 在商范数之下也是巴拿赫空间。这里用到的定义见 “赋范空间”。

   无穷维巴拿赫空间的代数维数(即其中极大线性无关向量组的势)一定是不可数的。这是因为,如果 {xk}X 是任何序列,则若命 Xn{x1,...,xn} 张成的子空间,那么每个 Xn 都是真闭子空间。按照贝尔纲定理,它们的并集是第一纲集,但巴拿赫空间作为完备度量空间是第二纲集,所以不可能有 X=nXn

   无穷维巴拿赫空间中的闭单位球 {x1} 在其范数拓扑下一定不是紧的。详见里斯引理


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