逆算子

                     

贡献者： 零穹

　　 逆算子是双射的算子的逆。当算子可逆时，在某些情形下逆算子和算子有很多相同的性质，比如，线性算子的逆算子时线性的，而完备赋范空间之间的线性有界算子的逆是有界的。

1. 性质

　　 下面定理表明，线性算子的逆算子是线性的。

　　 证明： 任意 $ \operatorname{Im} A$ 中的 $y_1=A x_1,y_2=Ax_2$，因为

所以

　　 证毕！

　　 下面定理表明，在完备赋范空间（Banach 空间）之间的线性有界算子的逆算子是有界的。

　　 为证明它，需要如下引理。

　　 证明：下面用逐次构造 $y_k$ 进行证明。选择 $y_1$ 使得

这是一个半径为 $ \left\lVert y \right\rVert /2$ 中心在 $y$ 的球，由于 $M$ 在 $E$ 中处处稠密，因此在该球内任一点的邻域都有 $M$ 的点，因此这样的选择是可能的。

　　 同样由于 $M$ 在 $E$ 中处处稠密，可选 $y_n$ 使得 $ \left\lVert y-y_1-\cdots-y_n \right\rVert \leq \left\lVert y \right\rVert /2^n$。根据 $y^k$ 的选择，

即级数 $\sum_{k=1}^\infty y_k$ 收敛于 $y$。此外

　　 证毕！

　　 定理 2 的证明： 证明的思路是这样的：通过证明 $E_1$ 中存在稠密集，从而可由引理 1 展开 $E_1$ 的任意非零元 $y$，这一级数对应 $E$ 中的级数，然后证明级数收敛于某个 $x\in E$，进而由 $A$ 的线性和连续性可知 $Ax=y$，且 $x$ 的范数恒小于某个常数乘以对应的 $y$ 的范数，从而得到 $A^{-1}$ 有界。

　　 稠密集的构造：Baire 定理断定完备赋范空间不能表为可数无处稠密集的并，因此若能构造 $E_1$ 为可数个集的并，则这其中一定有一个集不是无处稠密的，即有一个集在某一球上稠密。由于 $\frac{ \left\lVert y \right\rVert }{ \left\lVert A^{-1}y \right\rVert }$ 对具体的 $y\in E_1$ 必定小于某个正整数，因此若令 $M_k$ 为所有满足 $ \left\lVert A^{-1}y \right\rVert \leq k \left\lVert y \right\rVert $ 的 $y\in E$ 的全体，则 $E_1=\bigcup\limits_{k=1}^\infty M_k$。即 $E_1$ 可表为可数集的并，因为可设其中的 $M_n$ 在某个球 $B$ 中稠密。

　　 在 $B$ 中选择中心在 $M_n$ 中的球层 $P$：满足不等式 $\beta< \left\lVert z-y_0 \right\rVert <\alpha$ 的 $z$ 的全体，其中 $0<\beta<\alpha,y_0\in M_n$。若把该球层中心移到原点便得球层 $P_0=\{z|0<\beta< \left\lVert z \right\rVert <\alpha\}$。下面将表明，有某个 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密，且在 $E_1$ 中稠密：设 $z\in P\cap M_n$，则 $z-y_0\in P_0$，且

量 $n(1+2 \left\lVert y_0 \right\rVert /\beta)$ 不依赖于 $z$。令 $N:=1+n[1+2 \left\lVert y_0 \right\rVert /\beta]$（其中 $[\cdot]$ 是高斯记号，表示一个数的整数部分）。因而由我们的构造 $z-y_0\in M_N$。进而由 $M_n$ 在 $P$ 中稠密知 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密（$P\subset[M_n]\Rightarrow P_0=P-y_0\subset[M_n]-y_0\subset[M_N]$）。

　　 任意非零元 $y\in E_1$，总有 $\lambda$，使得 $\beta< \left\lVert \lambda y \right\rVert <\alpha$，即 $\lambda< P_0$。因为 $M_N$ 在 $P_0$ 中稠密，可以构造收敛于 $\lambda y$ 的序列 $y_k\in M_N$。于是序列 $\frac{1}{\lambda}y_k$ 收敛于 $y$。由于对任意的 $\lambda\neq0$，成立 $ \left\lVert A^{-1} \left(\frac{1}{\lambda}y_k \right) \right\rVert =\frac{1}{\lambda} \left\lVert A^{-1}y_k \right\rVert \leq\frac{1}{ \left\lvert \lambda \right\rvert }N \left\lVert y_k \right\rVert =N \left\lVert \frac{y_k}{\lambda} \right\rVert $，因此 $\frac{y_k}{\lambda}\in M_N$ 对任意的 $\lambda\neq0$ 成立。 这样一来，任意 $y\in E_1$ 都有 $M_N$ 的收敛到它序列，即 $y\in[M_N]$，从而 $E_1\subset [M_N]$。因此 $M_N$ 在 $E_1/0$ 中稠密，所以 $M_N$ 在 $E_1$ 中稠密（$0\in M_N$）。

　　 级数收敛和算子有界：考虑非零元 $y\in E_1$，由引理 1 ，

其中 $ \left\lVert y_k \right\rVert <3 \left\lVert y \right\rVert /2^k$。令

　　 因为

所以 $\sum\limits_{k=m}^n x_k=3 \left\lVert y \right\rVert \frac{1}{2^{m-1}} \left(1-\frac{1}{2^{n-m+1}} \right) $，对充分大的 $N$，可使 $\sum\limits_{k=m}^n x_k$ 对任意 $n,m\geq N$ 成立，即 $\{s_n|s_n:=\sum\limits_{k=1}^n x_k\}$ 是柯西序列，由 $E$ 的完备性，级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty x_k$ 收敛到某一 $x$。从而由 $A$ 的连续性 此外 因为上式对任意 $y\neq0$ 成立，因此算子 $A^{-1}$ 有界。

　　 证毕！