有界算子

贡献者：零穹

预备知识　有界集，拓扑线性空间中的线性算子

　　 [1] 拓扑线性空间的集可以定义有界性，相应的拓扑线性空间中的线性算子也可以定义有界性。

定义 1　有界算子

　　设 $E, E_{1}$ 是两个拓扑线性空间， $A : D_{A} \to E_{1}$ 是 $E$ 到 $E_{1}$ 的线性算子。若 $A$ 把 $E$ 的属于 $D_{A}$ 的每一有界集都映到 $E_{1}$ 的有界集，则称 $A$ 是有界的。

　　线性算子的有界性和连续性有着密切的联系，这可以由下面的定理看出。

定理 1　

　　 1.线性连续算子必有界；

　　 2.若 $A : E \to E_{1}$ 是线性有界算子，且 $E$ 满足第一可数性公理，则 $A$ 连续。

　　 证明：1. 令 $A : D_{A} \to E_{1}$ 是 $E$ 到 $E_{1}$ 上的线性连续算子。我们利用反证法证明：设 $M \subset D_{A}$ 是有界集，而 $A M \subset E_{1}$ 无界。那么存在 $E_{1}$ 中的零邻域 $V$ ，使得任意 $n > 0$ ，都有 $| λ | \geq n, A M ⊈ λ V$ （定义 1 ）。即存在 $x \in M$ ，而 $A x ⊈ λ V$ 。选取收敛于无穷大的正数序列 ${m_{i}}$ ，则存在 $| λ_{i} | \geq m_{i}, x_{i} \in M$ ，使得

\begin{matrix} (1) & A x_{i} ⊈ λ_{i} M \Rightarrow \frac{1}{λ_{i}} A x_{i} ⊈ V . \end{matrix}

因为

{\frac{1}{λ_{i}}}

是收敛于 0 的正数列，而

M

有界，所以

{\frac{1}{λ_{i}} x_{i}}

收敛于 0（定理 1 第一点）。结合式 1 ，就有尽管

{\frac{1}{λ_{i}} x_{i}}

收敛于 0，但是

{\frac{1}{λ_{i}} A x_{i}}

不收敛于 0，因此

A

不连续。这一矛盾表明

A M

必有界。

　　 2.同样利用反证法，设 $A$ 不连续，则存在 $E_{1}$ 中的零邻域 $V$ ，使得任意 $E$ 的零邻域 $U$ ，都有 $x \in U, A x \notin V$ 。选取 $E$ 的零邻域系 ${U_{n}}$ ，其中 $U_{n + 1} \subset U_{n}$ （因为第一可数性保证任意零邻域 $U_{n}$ ，都存在零邻域 $U_{n + 1}$ ，使得 $U_{n + 1} \subset U_{n}$ ），于是 $\frac{1}{n^{2}} U_{n}$ 是 $E$ 的零邻域（数乘的连续性）。因此存在 $x_{n} \in \frac{1}{n^{2}} U_{n}$ ，使得 $A x_{n} \notin V \Rightarrow A (\frac{1}{n} y_{n}) \notin n V, y_{n} \in U_{n}$ 。

　　现在，我们证明 ${(1 / n) y_{n}}$ 在 $E$ 中有界：任意零邻域 $U$ ，存在 $U_{i} \subset U$ （ ${U_{n}}$ 时确定邻域系）。又因为 $y_{n} \in U_{n}$ ，所以 $y_{n} \in U_{n} \subset U_{i} \subset U, n \geq i$ ，即 ${y_{n}} \to 0$ 。由引理 1 ， ${t_{n} y_{n}} \Rightarrow 0$ 。由定理 1 第 2 点， ${(1 / n) y_{n}}$ 在 $E$ 中有界。

　　 ${(1 / n) y_{n}}$ 有界，而 ${A (1 / n y_{n})}$ 在 $E_{1}$ 中无界（因为它不属于零邻域 $V$ ），因此 $A$ 无界。此矛盾证明了命题。

　　 证毕！

　　该定理表明，在第一可数空间中，连续性等价于有界性。

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

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定义 1 有界算子

定理 1

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定理 1　