有界算子

                     

贡献者: 零穹

预备知识 有界集,拓扑线性空间中的线性算子

   [1] 拓扑线性空间的集可以定义有界性,相应的拓扑线性空间中的线性算子也可以定义有界性。

定义 1 有界算子

   设 $E,E_1$ 是两个拓扑线性空间,$A:D_A\rightarrow E_1$ 是 $E$ 到 $E_1$ 的线性算子。若 $A$ 把 $E$ 的属于 $D_A$ 的每一有界集都映到 $E_1$ 的 有界集,则称 $A$ 是有界的

   线性算子的有界性和连续性有着密切的联系,这可以由下面的定理看出。

定理 1 

   1.线性连续算子必有界;

   2.若 $A:E\rightarrow E_1$ 是线性有界算子,且 $E$ 满足第一可数性公理,则 $A$ 连续。

   证明:1. 令 $A:D_A\rightarrow E_1$ 是 $E$ 到 $E_1$ 上的线性连续算子。我们利用反证法证明:设 $M\subset D_A$ 是有界集,而 $AM\subset E_1$ 无界。那么存在 $E_1$ 中的零邻域 $V$,使得任意 $n>0$,都有 $ \left\lvert \lambda \right\rvert \geq n,AM\nsubseteq\lambda V$(定义 1 )。即存在 $x\in M$,而 $Ax\nsubseteq \lambda V$。选取收敛于无穷大的正数序列 $\{m_i\}$,则存在 $ \left\lvert \lambda_i \right\rvert \geq m_i,x_i\in M$,使得

\begin{equation} Ax_i\nsubseteq \lambda_iM\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{\lambda_i}A x_i\nsubseteq V. ~ \end{equation}
因为 $\{\frac{1}{\lambda_i}\}$ 是收敛于 0 的正数列,而 $M$ 有界,所以 $\{\frac{1}{\lambda_i}x_i\}$ 收敛于 0(定理 1 第一点)。结合式 1 ,就有尽管 $\{\frac{1}{\lambda_i}x_i\}$ 收敛于 0,但是 $\{\frac{1}{\lambda_i}A x_i\}$ 不收敛于 0,因此 $A$ 不连续。这一矛盾表明 $AM$ 必有界。

   2.同样利用反证法,设 $A$ 不连续,则存在 $E_1$ 中的零邻域 $V$,使得任意 $E$ 的零邻域 $U$,都有 $x\in U,Ax\notin V$。选取 $E$ 的零邻域系 $\{U_n\}$,其中 $U_{n+1}\subset U_n$(因为第一可数性保证任意零邻域 $U_n$,都存在零邻域 $U_{n+1}$,使得 $U_{n+1}\subset U_n$),于是 $\frac{1}{n^2} U_n$ 是 $E$ 的零邻域(数乘的连续性)。因此存在 $x_n\in \frac{1}{n^2}U_n$,使得 $Ax_n\notin V\Rightarrow A (\frac{1}{n}y_n)\notin n V,y_n\in U_n$。

   现在,我们证明 $\{(1/n) y_n\}$ 在 $E$ 中有界:任意零邻域 $U$,存在 $U_i\subset U$($\{U_n\}$ 时确定邻域系)。又因为 $y_n\in U_n$,所以 $y_n\in U_n\subset U_i\subset U,n\geq i$,即 $\{y_n\}\rightarrow 0$。由引理 1 ,$\{t_ny_n\}\Rightarrow0$。由定理 1 第 2 点,$\{(1/n) y_n\}$ 在 $E$ 中有界。

   $\{(1/n) y_n\}$ 有界,而 $\{A(1/n y_n)\}$ 在 $E_1$ 中无界(因为它不属于零邻域 $V$),因此 $A$ 无界。此矛盾证明了命题。

   证毕!

   该定理表明,在第一可数空间中,连续性等价于有界性。


[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫,C.B.佛明.函数论与泛函分析初步(段虞荣等译)第七版

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