贡献者： addis
预备知识 多元函数的极值
，
线性方程组解的结构，
厄米矩阵、自伴矩阵
1. 共轭梯度法
1要求解对称正定矩阵（symmetric and positively defined, SPD） $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，的线性方程组
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
只需要令
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{x}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{b}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} ~.
\end{equation}
容易证明 $ \boldsymbol\nabla f = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{b}} $。注意 $f(x)$ 是一个凹二次函数，所以取最小值当且仅当梯度为零。这样，解方程组的问题就转化为求函数极小值问题。我们可以用梯度法来求最小值，即从出发点 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$ 开始，在梯度方向搜索函数最小值的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1$，再在其梯度方向搜索最小值的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2$……
同理，若 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个厄米矩阵且正定，把式 2 变为
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{x}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} ~,
\end{equation}
同样可以证明 $f$ 取最小值时
式 1 成立。注意此时梯度不太好定义，那么我们可以分别令
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial \operatorname{Re} [x_i]} = 0~, \qquad \frac{\partial f}{\partial \operatorname{Im} [x_i]} = 0~
\end{equation}
即可证明。
要找现成的程序，Eigen 提供 Eigen::ConjugateGradient，适用于对称或者厄米矩阵。密矩阵和稀疏矩阵都可以。
2. 双共轭梯度法
梯度法可以拓展为双共轭梯度法，以适用于任意方矩阵的线性方程组。该方法的优势在于用户只需要向解算器提供矩阵乘矢量的函数，而不需要提供矩阵本身。这样，矩阵可以具有任意的数据结构，例如各种稀疏矩阵。
当矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 接近于单位矩阵时，该方法收敛更快，因此，我们可以选择不直接求解式 1 而是求解
\begin{equation}
(\tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{x}} = \tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }^{-1} \boldsymbol{\mathbf{b}} ~.
\end{equation}
其中 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 接近，但更易于求解。这样就有 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }^{-1} \boldsymbol{\mathbf{A}} \approx \boldsymbol{\mathbf{I}} $。这里 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 通常称为 preconditioner。该方法称为
preconditioned biconjugate gradient method (PBCG)。如果你找不到更好的 preconditioner，通常可以用 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的对角线充当。若选择不使用 preconditioner，也可以直接令 $\tilde { \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 为单位矩阵。
PBCG 的 C++ 代码见 [1] 的 linbcg.h。另外 C++ 的 Eigen 库也提供 Eigen::BiCGSTAB 算法。Matlab 也有 x = bicgstab(A,b) 函数（支持复数）。其中 STAB 意思是 stablized，单纯的 BiCG 据说并不稳定，见 Wikipedia 相关页面（Matlab 的 bicgstab 函数和这里给出的伪代码非常相似）。
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ W. H. Press, et al. Numerical Recipes 3rd edition.
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