正交函数系 2

贡献者：零穹; Giacomo

预备知识　定积分（简明微积分）

　　¹² 若函数系

\begin{matrix} (1) & {φ_{n} (x)} (n \in N) \end{matrix}

中各函数及其平方在区间

[a, b]

上皆可积分，且满足

\begin{matrix} (2) & \int_{a}^{b} φ_{n} (x) φ_{m} (x) d x = {\begin{aligned} 0 & (m \neq n) \\ λ_{n} > 0 & (m = n), \end{aligned} \end{matrix}

则称函数系

{φ_{n} (x)}

为正交函数系。当

λ_{n} = 1 (n \in N)

时，该函数系称为正交规范系(或正交标准系)。显然，任意的正交函数系都可化为正交规范系

\begin{matrix} (3) & {\frac{φ_{n} (x)}{\sqrt{λ_{n}}}} (n \in N) . \end{matrix}

　　设 $f (x)$ 是任一实函数，在区间 $[a, b]$ 内是连续的，则数值

\begin{matrix} (4) & c_{k} = \frac{1}{λ_{k}} \int_{a}^{b} f (x) φ_{k} (x) d x (k \in N) \end{matrix}

称为函数

f (x)

关于函数系式 1 的傅里叶系数。由

c_{k}

的定义，我们有等式

\begin{matrix} (5) & \int_{a}^{b} {[f (x) - \sum_{k = 1}^{n} c_{k} φ_{k} (x)]}^{2} d x = \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x - \sum_{k = 1}^{n} c_{k}^{2} λ_{k} . \end{matrix}

　　根据式 5 ，可得

\begin{matrix} (6) & \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2} λ_{k} \leq \int_{a}^{b} {[f (x)]}^{2} d x . \end{matrix}

对于正交规范系，

λ_{k} = 1

，此时式 6 便是所谓的贝塞尔（bessel）不等式.

　　若对任何在区间 $[a, b]$ 定义的连续函数 $f (x)$ ，式 6 中的等号成立，则称函数系 ${φ_{n} (x)}$ 是完整的(或完备的)。

1. 例子

在区间 $[- π, π]$ 上，三角函数系
$\begin{matrix} (7) & {1, \cos n x, \sin n x} (n \in Z^{+}) \end{matrix}$
是正交函数系。
证明： 由于
$\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \cos n x \cdot \cos m x & = \frac{1}{2} [\cos (n + m) x + \cos (n - m) x], \\ \cos^{2} n x & = \frac{1}{2} [\cos (2 n x) + 1], \\ \sin n x \cdot \sin m x & = \frac{1}{2} [\cos (n - m) x - \cos (n + m) x], \\ \sin^{2} n x & = \frac{1}{2} [1 - \cos (2 n x)], \\ \sin n x \cdot \cos m x & = \frac{1}{2} [\sin (n + m) x + \sin (n - m) x], \\ \sin n x \cdot \cos n x & = \frac{1}{2} \sin (2 n x) . \end{aligned} \end{matrix}$
所以当 $m \neq n$ 时，
$\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos n x \cdot \cos m x d x \\ = \frac{1}{2} [\frac{\sin (n + m) x}{n + m} + \frac{\sin (n - m) x}{n - m}] |_{- π}^{π} \\ = 0, \\ \int_{- π}^{π} \sin n x \cdot \sin m x d x \\ = \frac{1}{2} [\frac{\sin (n - m) x}{n - m} - \frac{\sin (n + m) x}{n + m}] |_{- π}^{π} \\ = 0, \\ \int_{- π}^{π} \sin n x \cdot \cos m x d x \\ = - \frac{1}{2} [\frac{\cos (n + m) x}{n + m} + \frac{\cos (n - m) x}{n - m}] |_{- π}^{π} \\ = 0. \end{aligned} \end{matrix}$
而 $m = n$ 时，
$\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \int_{- π}^{π} \cos^{2} n x d x = \frac{1}{2} [\frac{\sin (2 n x)}{2 n} + x] |_{- π}^{π} = π, \\ \int_{- π}^{π} \sin^{2} n x d x = \frac{1}{2} [x - \frac{\sin (2 n x)}{2 n}] |_{- π}^{π} = π, \\ \int_{- π}^{π} \sin n x \cdot \cos n x d x = - \frac{\cos (2 n x)}{4 n} |_{- π}^{π} = 0. \end{aligned} \end{matrix}$
此外 $\int_{π}^{π} d x = 2 π$ 。
证毕！
由式 3 和证明可看出，三角正交函数系 ${1, \cos (n x), \sin (n x) | n \in Z^{+}}$ 的标准系是
$\begin{matrix} (11) & {\frac{1}{\sqrt{2 π}}, \frac{\cos (n x)}{\sqrt{π}}, \frac{\sin (n x)}{\sqrt{π}} | n \in Z^{+}} . \end{matrix}$
由超越方程
$\begin{matrix} (12) & \tan ξ = c ξ (c is a constant) \end{matrix}$
的所有正根组成的集合 ${ξ_{n} | n \in Z^{+}}$ 构造的函数系
$\begin{matrix} (13) & \sin \frac{ξ_{1}}{l} x, \sin \frac{ξ_{2}}{l} x, \dots, \sin \frac{ξ_{n}}{l} x, \dots \end{matrix}$
在区间 $[0, l]$ 上是正交函数系。
同样，以超越方程
$\begin{matrix} (14) & \cot ξ = c ξ (c is a constant) \end{matrix}$
的所有正根组成的集合 ${ξ_{n}^{'} | n \in Z^{+}}$ 构造的函数系
$\begin{matrix} (15) & \cos \frac{ξ_{1}^{'}}{l} x, \cos \frac{ξ_{2}^{'}}{l} x, \dots, \cos \frac{ξ_{n}^{'}}{l} x, \dots \end{matrix}$
在区间 $[0, l]$ 上也是正交函数系。
勒让德多项式
$\begin{matrix} (16) & X_{0} (x) = 1, X_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n} {(x^{2} - 1)}^{n}}{d x^{n}} (n = 1, 2, \dots) \end{matrix}$
是在区间 $[- 1, 1]$ 是正交函数系，且 $λ_{n} = \frac{2}{2 n + 1}$
以贝塞尔函数 $J_{0} (x)$ 的所有正根构成的集合 ${ξ_{n} | n \in Z^{+}}$ 构造的函数系 ${\sqrt{x} J_{0} (ξ_{n} x)}$ 在区间 $[0, 1]$ 上是正交函数系。

2. 线性无关函数的正交化

　　在线性代数里面，通过斯密特正交化(子节 2 )手续，可由 $N$ 个线性无关的向量构造出同样多个两两正交且标准的向量，使原来的向量可由新向量线性表出。这一切对函数来说完全适用。

　　 $N$ 个在区间 $[a, b]$ 上定义的连续函数 $ψ_{i} (x) (i = 1, \dots, N)$ 称为在区间 $[a, b]$ 线性无关的，若含常系数 $a_{i}$ 的关系式

\begin{matrix} (17) & \sum_{i}^{N} a_{i} ψ_{i} (x) = 0, \end{matrix}

仅当

a_{i} = 0

时成立。现在来作在区间

[a, b]

上可由

ψ_{i} (x)

线性表示的正交标准化的函数

φ_{i} (x)

。

　　记（显然，这里 $⟨ *, * ⟩$ 相当于矢量空间中的内积）

\begin{matrix} (18) & ⟨ f, F ⟩ = \int_{a}^{b} f (x) F (x) d x . \end{matrix}

　　函数 $ψ_{i} (x)$ 的正交化过程可按如下方式进行（为简洁起见，将函数 $f (x)$ 简记为 $f$ ）

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} φ_{1} = \frac{ψ_{1}}{\sqrt{⟨ ψ_{1}, ψ_{1} ⟩}} \\ χ_{2} & = ψ_{2} - ⟨ φ_{1}, ψ_{2} ⟩ φ_{1}, & φ_{2} = \frac{χ_{2}}{\sqrt{⟨ χ_{2}, χ_{2} ⟩}} \\ χ_{3} & = ψ_{3} - ⟨ φ_{1}, ψ_{3} ⟩ φ_{1} - ⟨ φ_{2}, ψ_{3} ⟩ φ_{2}, & φ_{3} = \frac{χ_{3}}{\sqrt{⟨ χ_{3}, χ_{3} ⟩}} \\ ⋮ & ⋮ \\ χ_{N} & = ψ_{N} - \sum_{i = 1}^{N} ⟨ φ_{i}, ψ_{N} ⟩ φ_{i}, & φ_{N} = \frac{χ_{N}}{\sqrt{⟨ χ_{N}, χ_{N} ⟩}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　在函数 $χ_{i}$ 中，没有一个可变为恒等于 0，即 $⟨ χ_{i}, χ_{i} ⟩ \neq 0$ 。因为比如说 $χ_{2} = 0$ ，则 $φ_{1}$ 与 $ψ_{2}$ 线性相关

\begin{matrix} (20) & ψ_{2} - ⟨ φ_{1}, ψ_{2} ⟩ φ_{1} = 0 . \end{matrix}

这归结为

ψ_{1}

与

ψ_{2}

之间线性相关，这与条件

ψ_{1}

和

ψ_{2}

的线性无关矛盾。

3. 推广到复函数情形

　　上面关于实函数的一切，可立即推广到实变量 $x$ 的复函数情形

\begin{matrix} (21) & φ_{n} (x) = ρ_{n} (x) + i σ_{n} (x) (n \in Z^{+}) . \end{matrix}

　　这时函数系的正交标准性由下式表达

\begin{matrix} (22) & ⟨ φ_{m}, φ_{n} ⟩ = \int_{a}^{b} φ_{m}^{*} φ_{n} d x = {\begin{aligned} 0 (p \neq q) \\ 1 (p = q) . \end{aligned} \end{matrix}

复函数

φ_{n} (x)

关于函数

f (x)

的傅里叶系数为

\begin{matrix} (23) & c_{n} = ⟨ φ_{n}, f ⟩ . \end{matrix}

我们处处以模平方代替原值平方，式 5 将是

\begin{matrix} (24) & \int_{a}^{b} {| f - \sum_{k = 1}^{n} c_{k} φ_{k} |}^{2} d x = \int_{a}^{b} {| f |}^{2} d x - \sum_{k = 1}^{n} {| c_{k} |}^{2}, \end{matrix}

而贝塞尔不等式将是

\begin{matrix} (25) & \sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2} \leq \int_{a}^{b} {| f |}^{2} d x . \end{matrix}

例 1　

　　 ${e^{i n x} | n \in Z}$ 是 $[- π, π]$ 上的正交函数系。
证明：

\begin{matrix} (26) & \begin{aligned} \int_{- π}^{π} e^{i n x} e^{- i m x} d x & = \int_{- π}^{π} e^{i (n - m) x} d x \\ = - i \frac{e^{i (n - m) x}}{n - m} |_{- π}^{π} \\ = 0, n \neq m, \\ \int_{- π}^{π} e^{i n x} e^{- i n x} d x & = \int_{- π}^{π} d x = 2 π . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

　　由证明还可看出， ${\frac{e^{i n x}}{\sqrt{2 π}} | n \in Z}$ 是它的正交标准系。

例 2　

　　例 1 的函数系是在 $[- π, π]$ 上的，它刚好是该函数系的函数 $e^{i x}$ 的最小周期。然而更常见的周期往往不被限定为 $2 π$ ，为此，我们希望能将它推广到周期为 $2 L$ 的情形，从而积分区间为 $[- L, L]$ 。若将函数的定义区间 $[- L, L]$ 变到区间 $[- π, π]$ ，那么就可以继续使用前面的函数系。设 $f (x)$ 是定义在区间 $[- L, L]$ 上的周期为 $2 L$ 的函数，那么 $F (x) = f (\frac{L}{π} x)$ 是定义在区间 $[- π, π]$ 上的周期函数。因此可对 $F (x)$ 使用函数系 ${e^{i n x} | n \in Z}$ 展开。若得到了 $F (x)$ 的展开式，那么 $f (x)$ 就可以利用 $f (x) = F (\frac{π}{L} x)$ 确定。设

\begin{matrix} (27) & F (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}, \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (28) & f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n \frac{π}{L} x} . \end{matrix}

因此，我们希望证明

{e^{i n \frac{π}{L} x} | n \in Z}

是

[- L, L]

上的正交函数系。
证明：

\begin{matrix} (29) & \begin{aligned} \int_{- L}^{L} e^{i n \frac{π}{L} x} e^{- i m \frac{π}{L} x} d x & = \int_{- L}^{L} e^{i (n - m) \frac{π}{L} x} d x \\ = - i \frac{L e^{i (n - m) \frac{π}{L} x}}{(n - m) π} |_{- L}^{L} \\ = 0, n \neq m, \\ \int_{- L}^{L} e^{i n \frac{π}{L} x} e^{- i n \frac{π}{L} x} d x & = \int_{- L}^{L} d x = 2 L . \end{aligned} \end{matrix}

证毕！

　　同样的，这表明 ${\frac{1}{\sqrt{2 L}} e^{i n \frac{π}{L} x} | n \in Z}$ 是 $[- L, L]$ 上的标准正交函数系。

例 3　傅里叶变换

　　我们考察例 2 中 $L \to \infty$ 的展开式式 28 的形式。注意到 $\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n \frac{π}{L} x}$ 中若令 $z_{n} = n \frac{π}{L}$ ，那么 $Δ z_{n} := z_{n + 1} - z_{n} = \frac{π}{L}$ 。并注意 $c_{n} = \frac{1}{2 L} ⟨ φ_{n}, f ⟩$ ，其中 $φ_{n} (x) := e^{i z_{n} x}$ 。因此式 28 可写为

\begin{matrix} (30) & \begin{aligned} f (x) & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{L c_{n}}{π} e^{i z_{n} x} Δ z_{n} \\ = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} ⟨ φ_{n}, f ⟩ e^{i z_{n} x} Δ z_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

这恰好就是定义在区间

[- \infty, \infty]

上的函数

F_{x} (z) := \frac{1}{2 π} ⟨ φ_{z}, f ⟩ e^{i z x}

（

φ_{z} (x) := e^{i z x}

）的积分

\begin{matrix} (31) & \int_{- \infty}^{\infty} F_{x} (z) d z \end{matrix}

的近似级数和。当

Δ z_{n} = \frac{π}{L} \to 0

，即

L \to \infty

时，式 30 就正好是式 31 。因此此时有

\begin{matrix} (32) & \begin{aligned} f (x) & = \int_{- \infty}^{\infty} F_{x} (z) d z \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} ⟨ φ_{z}, f ⟩ e^{i z x} d z \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (z) e^{i z x} d z \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (33) & F (z) := ⟨ φ_{z}, f ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i z x} d x . \end{matrix}

F (z)

通常被称为

f (x)

的傅里叶变换，而从

F (x)

到

f (x)

的式式 32 被称为逆傅里叶变换。明显的，

f (x)

的傅里叶变换

F (z)

对应

f (x)

在 “基矢量”

e^{i z x}

下的 “坐标”。

1. ^ $Γ$ . M. 菲赫金哥尔茨。微积分学教程卷三[M].北京：高等教育出版社，2006:345-349
2. ^ 斯米尔诺夫。斯米尔诺夫高等数学卷四第一分册[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018:6-12

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正交函数系 2

1. 例子

2. 线性无关函数的正交化

3. 推广到复函数情形

例 1

例 2

例 3 傅里叶变换

例 1　

例 2　

例 3　傅里叶变换