正交函数系 2

             

贡献者: 零穹

预备知识 定积分(简明微积分)
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  12 若函数系

\begin{equation} \left\{\varphi_n(x) \right\} \quad(n\in \mathbb{N}) \end{equation}
中各函数及其平方在区间 $ \left[a,b \right] $ 上皆可积分,且满足
\begin{equation} \int_a^b\varphi_n(x)\varphi_m(x) \,\mathrm{d}{x} = \left\{ \begin{aligned} &0\quad &m\neq n\\ &\lambda_n > 0\quad &m=n \end{aligned} \right. \end{equation}
则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 为正交函数系.当 $\lambda_n=1(n\in\mathbb{N})$ 时,该函数系称为正交规范系(或正交标准系).显然,任意的正交函数系都可化为正交规范系
\begin{equation} \left\{\frac{\varphi_n(x)}{\sqrt{\lambda_n}} \right\} \quad(n\in \mathbb{N}) \end{equation}

   设 $f(x)$ 是任一实函数,在区间 $[a,b]$ 内是连续的,则数值

\begin{equation} c_k=\frac{1}{\lambda_k}\int_a^b f(x)\varphi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \quad (k\in \mathbb{N}) \end{equation}
称为函数 $f(x)$ 关于函数系式 1 傅里叶系数.由 $c_k$ 的定义,我们有等式
\begin{equation} \int_a^b \left[f(x)-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^nc_k^2\lambda_k \end{equation}

   根据式 5 ,可得

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty c_k^2\lambda_k\leq\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
对于正交规范系, $\lambda_k=1$,此时式 6 便是所谓的贝塞尔(bessel)不等式.

   若对任何在区间 $[a,b]$ 定义的连续函数 $f(x)$,式 6 中的等号成立,则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 是完整的(或完备的).

1. 例子

   可以证明:

  1. 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上,三角函数系
    \begin{equation} \left\{1,\cos nx,\sin nx \right\} \quad(n\in \mathbb{Z^{+}}) \end{equation}
    是正交函数系.
  2. 由超越方程
    \begin{equation} \tan\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant}) \end{equation}
    的所有正根组成的集合 $ \left\{\xi_n\vert n\in\mathbb{Z}^+ \right\} $ 构造的函数系
    \begin{equation} \sin\frac{\xi_1}{l}x,\sin\frac{\xi_2}{l}x,\cdots,\sin\frac{\xi_n}{l}x,\cdots \end{equation}
    在区间 $ \left[0,l \right] $ 上是正交函数系.
    同样,以超越方程
    \begin{equation} \cot\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant}) \end{equation}
    的所有正根组成的集合 $ \left\{\xi'_n\vert n\in\mathbb{Z}^+ \right\} $ 构造的函数系
    \begin{equation} \cos\frac{\xi'_1}{l}x,\cos\frac{\xi'_2}{l}x,\cdots,\cos\frac{\xi'_n}{l}x,\cdots \end{equation}
    在区间 $ \left[0,l \right] $ 上也是正交函数系.
  3. 勒让德多项式
    \begin{equation} X_0(x)=1,X_n(x)=\frac{1}{2^nn!} \frac{\mathrm{d}^{n}{ \left(x^2-1 \right) ^n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \quad(n=1,2,\cdots) \end{equation}
    是在区间 $ \left[-1,1 \right] $ 是正交函数系,且 $\lambda_n=\frac{2}{2n+1}$
  4. 以贝塞尔函数 $J_0(x)$ 的所有正根构成的集合 $ \left\{\xi_n\vert n\in\mathbb{Z}^+ \right\} $ 构造的函数系 $ \left\{\sqrt{x}J_0(\xi_n x) \right\} $ 在区间 $ \left[0,1 \right] $ 上是正交函数系.

2. 线性无关函数的正交化

   在线性代数里面,通过斯密特正交化手续,可由 $N$ 个线性无关的向量构造出同样多个两两正交且标准的向量,使原来的向量可由新向量线性表出.这一切对函数来说完全适用.

   $N$ 个在区间 $[a,b]$ 上定义的连续函数 $\psi_i(x)\quad (i=1,\cdots ,N)$ 称为在区间 $[a,b]$ 线性无关的,若含常系数 $a_i$ 的关系式

\begin{equation} \sum_i^N a_i\psi_i(x)=0 \end{equation}
仅当 $a_i=0$ 时成立.现在来作在区间 $[a,b]$ 上可由 ${\psi_i(x)}$ 线性表示的正交标准化的函数 ${\varphi_i(x)}$.

   记(显然,这里 $ \left\langle *,* \right\rangle $ 相当于矢量空间中的内积)

\begin{equation} \left\langle f,F \right\rangle =\int_a^b f(x)F(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

   函数 ${\psi_i(x)}$ 的正交化过程可按如下方式进行(为简洁起见,将函数 $f(x)$ 简记为 $f$)

\begin{equation} \begin{aligned} &&\varphi_1=\frac{\psi_1}{\sqrt{ \left\langle \psi_1,\psi_1 \right\rangle }}\\ \chi_2&=\psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1,\quad&\varphi_2=\frac{\chi_2}{\sqrt{ \left\langle \chi_2,\chi_2 \right\rangle }}\\ \chi_3&=\psi_3- \left\langle \varphi_1,\psi_3 \right\rangle \varphi_1- \left\langle \varphi_2,\psi_3 \right\rangle \varphi_2,\quad &\varphi_3=\frac{\chi_3}{\sqrt{ \left\langle \chi_3,\chi_3 \right\rangle }}\\ &\vdots &\vdots \\ \chi_N&=\psi_N-\sum_{i=1}^N \left\langle \varphi_i,\psi_N \right\rangle \varphi_i,\quad&\varphi_N=\frac{\chi_N}{\sqrt{ \left\langle \chi_N,\chi_N \right\rangle }} \end{aligned} \end{equation}

   在函数 $\chi_i$ 中,没有一个可变为恒等于 0,即 $ \left\langle \chi_i,\chi_i \right\rangle \neq 0$.因为比如说 $\chi_2=0$,则 $\varphi_1$ 与 $\psi_2$ 线性相关

\begin{equation} \psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1=0 \end{equation}
这归结为 $\psi_1$ 与 $\psi_2$ 之间线性相关,这与条件 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 的线性无关矛盾.

3. 推广到复函数情形

   上面关于实函数的一切,可立即推广到实变量 $x$ 的复函数情形

\begin{equation} \varphi_n(x)=\rho_n(x)+ \mathrm{i} \sigma_n(x)\quad(n\in \mathbb{Z}^+) \end{equation}

   这时函数系的正交标准性由下式表达

\begin{equation} \left\langle \varphi_m,\varphi_n \right\rangle =\int_a^b\varphi_m^*\varphi_n \,\mathrm{d}{x} =\left\{ \begin{aligned} &0, \quad p\neq q\\ &1, \quad p=q \end{aligned}\right. \end{equation}
复函数 $\varphi_n(x)$ 关于函数 $f(x)$ 的傅里叶系数为
\begin{equation} c_n= \left\langle \varphi_n,f \right\rangle \end{equation}
我们处处以模平方代替原值平方,式 5 将是
\begin{equation} \int_a^b \left\lvert f-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^n \left\lvert c_k \right\rvert ^2 \end{equation}
而贝塞尔不等式将是
\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty \left\lvert c_k \right\rvert ^2\leq\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} \end{equation}


1. ^ $\Gamma$. M. 菲赫金哥尔茨.微积分学教程 卷三[M].北京:高等教育出版社,2006:345-349
2. ^ 斯米尔诺夫.斯米尔诺夫高等数学卷四第一分册[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2018:6-12


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