贡献者： 零穹; Giacomo
12
若函数系
\begin{equation}
\left\{\varphi_n(x) \right\} \quad(n\in \mathbb{N})~
\end{equation}
中各函数及其平方在区间 $ \left[a,b \right] $ 上皆可积分，且满足
\begin{equation}
\int_a^b\varphi_n(x)\varphi_m(x) \,\mathrm{d}{x} =
\left\{
\begin{aligned}
&0\quad &(m\neq n)\\
&\lambda_n>0\quad &(m=n)~,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 为
正交函数系。当 $\lambda_n=1(n\in\mathbb{N})$ 时，该函数系称为
正交规范系(或
正交标准系)。显然，任意的正交函数系都可化为正交规范系
\begin{equation}
\left\{\frac{\varphi_n(x)}{\sqrt{\lambda_n}} \right\} \quad(n\in \mathbb{N})~.
\end{equation}
设 $f(x)$ 是任一实函数，在区间 $[a,b]$ 内是连续的，则数值
\begin{equation}
c_k=\frac{1}{\lambda_k}\int_a^b f(x)\varphi_k(x) \,\mathrm{d}{x} \quad (k\in \mathbb{N})~
\end{equation}
称为函数 $f(x)$ 关于函数系
式 1 的
傅里叶系数。由 $c_k$ 的定义，我们有等式
\begin{equation}
\int_a^b \left[f(x)-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^nc_k^2\lambda_k~.
\end{equation}
根据式 5 ，可得
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty c_k^2\lambda_k\leq\int_a^b \left[f(x) \right] ^2 \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
对于正交规范系，$\lambda_k=1$，此时
式 6 便是所谓的
贝塞尔（bessel）不等式.
若对任何在区间 $[a,b]$ 定义的连续函数 $f(x)$，式 6 中的等号成立，则称函数系 $ \left\{\varphi_n(x) \right\} $ 是完整的(或完备的)。
1. 例子
- 在区间 $[-\pi,\pi]$ 上，三角函数系
\begin{equation}
\left\{1,\cos nx,\sin nx \right\} \quad(n\in \mathbb{Z^{+}})~
\end{equation}
证明：
由于
\begin{equation}
\begin{aligned}
\cos nx\cdot\cos mx&=\frac{1}{2} \left[ \cos\left(n+m\right) x+ \cos\left(n-m\right) x \right] ,\\
\cos^2 nx&=\frac{1}{2}[ \cos\left(2nx\right) +1],\\
\sin nx\cdot\sin mx&=\frac{1}{2} \left[ \cos\left(n-m\right) x- \cos\left(n+m\right) x \right] ,\\
\sin^2 nx&=\frac{1}{2}[1- \cos\left(2nx\right) ],\\
\sin nx\cdot\cos mx&=\frac{1}{2} \left[ \sin\left(n+m\right) x+ \sin\left(n-m\right) x \right] ,\\
\sin nx\cdot\cos nx&=\frac{1}{2} \sin\left(2nx\right) .
\end{aligned}~
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_{-\pi}^\pi\cos nx \cdot \cos mx \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{1}{2} \left[\frac{ \sin\left(n+m\right) x}{n+m}+\frac{ \sin\left(n-m\right) x}{n-m} \right] {\huge |}_{-\pi}^{\pi}\\
&=0,\\
&\int_{-\pi}^\pi\sin nx \cdot \sin mx \,\mathrm{d}{x} \\
&=\frac{1}{2} \left[\frac{ \sin\left(n-m\right) x}{n-m}-\frac{ \sin\left(n+m\right) x}{n+m} \right] {\huge |}_{-\pi}^{\pi}\\
&=0,\\
&\int_{-\pi}^\pi\sin nx \cdot \cos mx \,\mathrm{d}{x} \\
&=-\frac{1}{2} \left[\frac{ \cos\left(n+m\right) x}{n+m}+\frac{ \cos\left(n-m\right) x}{n-m} \right] {\huge |}_{-\pi}^{\pi}\\
&=0.\\
\end{aligned}
~
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\int_{-\pi}^\pi\cos^2 nx \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{2} \left[\frac{ \sin\left(2nx\right) }{2n}+x \right] {\huge |}_{-\pi}^{\pi}=\pi,\\
&\int_{-\pi}^\pi\sin^2 nx \,\mathrm{d}{x} =\frac{1}{2} \left[x-\frac{ \sin\left(2nx\right) }{2n} \right] {\huge |}_{-\pi}^{\pi}=\pi,\\
&\int_{-\pi}^\pi\sin nx \cdot \cos nx \,\mathrm{d}{x} =-\frac{ \cos\left(2nx\right) }{4n}{\huge |}_{-\pi}^{\pi}=0.
\end{aligned}
~
\end{equation}
证毕！
由式 3 和证明可看出，三角正交函数系 $\{1, \cos\left(nx\right) , \sin\left(nx\right) |n\in \mathbb Z^{+}\}$ 的标准系是
\begin{equation}
\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\frac{ \cos\left(nx\right) }{\sqrt{\pi}},\frac{ \sin\left(nx\right) }{\sqrt{\pi}}{\huge|}n\in \mathbb Z^{+} \right\} ~.
\end{equation}
- 由超越方程
\begin{equation}
\tan\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant})~
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\frac{\xi_1}{l}x,\ \sin\frac{\xi_2}{l}x,\ \cdots,\ \sin\frac{\xi_n}{l}x,\ \cdots~
\end{equation}
同样，以超越方程
\begin{equation}
\cot\xi=c\xi \quad(c\; \mathrm{is\; a\; constant})~
\end{equation}
\begin{equation}
\cos\frac{\xi'_1}{l}x,\ \cos\frac{\xi'_2}{l}x,\ \cdots,\ \cos\frac{\xi'_n}{l}x,\ \cdots~
\end{equation}
- 勒让德多项式
\begin{equation}
X_0(x)=1,X_n(x)=\frac{1}{2^nn!} \frac{\mathrm{d}^{n}{ \left(x^2-1 \right) ^n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \qquad(n=1,2,\cdots)~
\end{equation}
- 以贝塞尔函数 $J_0(x)$ 的所有正根构成的集合 $ \left\{\xi_n\vert n\in\mathbb{Z}^+ \right\} $
构造的函数系 $ \left\{\sqrt{x}J_0(\xi_n x) \right\} $ 在区间 $ \left[0,1 \right] $ 上是正交函数系。
2. 线性无关函数的正交化
在线性代数里面，通过斯密特正交化(子节 2 )手续，可由 $N$ 个线性无关的向量构造出同样多个两两正交且标准的向量，使原来的向量可由新向量线性表出。这一切对函数来说完全适用。
$N$ 个在区间 $[a,b]$ 上定义的连续函数 $\psi_i(x)\quad (i=1,\cdots ,N)$ 称为在区间 $[a,b]$ 线性无关的，若含常系数 $a_i$ 的关系式
\begin{equation}
\sum_i^N a_i\psi_i(x)=0~,
\end{equation}
仅当 $a_i=0$ 时成立。现在来作在区间 $[a,b]$ 上可由 ${\psi_i(x)}$ 线性表示的正交标准化的函数 ${\varphi_i(x)}$。
记（显然，这里 $ \left\langle *,* \right\rangle $ 相当于矢量空间中的内积）
\begin{equation}
\left\langle f,F \right\rangle =\int_a^b f(x)F(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
函数 ${\psi_i(x)}$ 的正交化过程可按如下方式进行（为简洁起见，将函数 $f(x)$ 简记为 $f$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
&&\varphi_1=\frac{\psi_1}{\sqrt{ \left\langle \psi_1,\psi_1 \right\rangle }}\\
\chi_2&=\psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1,\quad&\varphi_2=\frac{\chi_2}{\sqrt{ \left\langle \chi_2,\chi_2 \right\rangle }}\\
\chi_3&=\psi_3- \left\langle \varphi_1,\psi_3 \right\rangle \varphi_1- \left\langle \varphi_2,\psi_3 \right\rangle \varphi_2,\quad &\varphi_3=\frac{\chi_3}{\sqrt{ \left\langle \chi_3,\chi_3 \right\rangle }}\\
&\vdots &\vdots
\\
\chi_N&=\psi_N-\sum_{i=1}^N \left\langle \varphi_i,\psi_N \right\rangle \varphi_i,\quad&\varphi_N=\frac{\chi_N}{\sqrt{ \left\langle \chi_N,\chi_N \right\rangle }}~.
\end{aligned}
\end{equation}
在函数 $\chi_i$ 中，没有一个可变为恒等于 0，即 $ \left\langle \chi_i,\chi_i \right\rangle \neq 0$。因为比如说 $\chi_2=0$，则 $\varphi_1$ 与 $\psi_2$ 线性相关
\begin{equation}
\psi_2- \left\langle \varphi_1,\psi_2 \right\rangle \varphi_1=0~.
\end{equation}
这归结为 $\psi_1$ 与 $\psi_2$ 之间线性相关，这与条件 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 的线性无关矛盾。
3. 推广到复函数情形
上面关于实函数的一切，可立即推广到实变量 $x$ 的复函数情形
\begin{equation}
\varphi_n(x)=\rho_n(x)+ \mathrm{i} \sigma_n(x)\quad(n\in \mathbb{Z}^+)~.
\end{equation}
这时函数系的正交标准性由下式表达
\begin{equation}
\left\langle \varphi_m,\varphi_n \right\rangle =\int_a^b\varphi_m^*\varphi_n \,\mathrm{d}{x} =\left\{
\begin{aligned}
&0 \quad (p\neq q)\\
&1 \quad (p=q)~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
复函数 $\varphi_n(x)$ 关于函数 $f(x)$ 的傅里叶系数为
\begin{equation}
c_n= \left\langle \varphi_n,f \right\rangle ~.
\end{equation}
我们处处以模平方代替原值平方，
式 5 将是
\begin{equation}
\int_a^b \left\lvert f-\sum_{k=1}^nc_k\varphi_k \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} =\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} -\sum_{k=1}^n \left\lvert c_k \right\rvert ^2~,
\end{equation}
而贝塞尔不等式将是
\begin{equation}
\sum_{k=1}^\infty \left\lvert c_k \right\rvert ^2\leq\int_a^b \left\lvert f \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
例 1
$\{e^{ \mathrm{i} nx}|n\in\mathbb Z\}$ 是 $[-\pi,\pi]$ 上的正交函数系。
证明：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{-\pi}^\pi e^{ \mathrm{i} nx}e^{- \mathrm{i} mx} \,\mathrm{d}{x} &=\int_{-\pi}^\pi e^{ \mathrm{i} (n-m)x} \,\mathrm{d}{x} \\&=- \mathrm{i} \frac{e^{ \mathrm{i} (n-m)x}}{n-m}{\huge|}_{-\pi}^{\pi}\\
&=0,\quad n\neq m,\\
\int_{-\pi}^\pi e^{ \mathrm{i} nx}e^{- \mathrm{i} nx} \,\mathrm{d}{x} &=\int_{-\pi}^\pi \,\mathrm{d}{x} =2\pi.
\end{aligned}~
\end{equation}
证毕！
由证明还可看出，$ \left\{\frac{e^{ \mathrm{i} nx}}{\sqrt{2\pi}}{\huge|}n\in\mathbb Z \right\} $ 是它的正交标准系。
例 2
例 1 的函数系是在 $[-\pi,\pi]$ 上的，它刚好是该函数系的函数 $e^{ \mathrm{i} x}$ 的最小周期。然而更常见的周期往往不被限定为 $2\pi$，为此，我们希望能将它推广到周期为 $2L$ 的情形，从而积分区间为 $[-L,L]$。若将函数的定义区间 $[-L,L]$ 变到区间 $[-\pi,\pi]$，那么就可以继续使用前面的函数系。设 $f(x)$ 是定义在区间 $[-L,L]$ 上的周期为 $2L$ 的函数，那么 $F(x)=f(\frac{L}{\pi}x)$ 是定义在区间 $[-\pi,\pi]$ 上的周期函数。因此可对 $F(x)$ 使用函数系 $\{e^{ \mathrm{i} nx}|n\in\mathbb Z\}$ 展开。若得到了 $F(x)$ 的展开式，那么 $f(x)$ 就可以利用 $f(x)=F(\frac{\pi}{L}x)$ 确定。设
\begin{equation}
F(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ \mathrm{i} n x},~
\end{equation}
那么
\begin{equation}
f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L} x}.~
\end{equation}
因此，我们希望证明 $\{e^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L} x}|n\in\mathbb Z\}$ 是 $[-L,L]$ 上的正交函数系。
证明：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int_{-L}^L e^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L}x}e^{- \mathrm{i} m\frac{\pi}{L}x} \,\mathrm{d}{x} &=\int_{-L}^L e^{ \mathrm{i} (n-m)\frac{\pi}{L}x} \,\mathrm{d}{x} \\
&=- \mathrm{i} \frac{Le^{ \mathrm{i} (n-m)\frac{\pi}{L}x}}{(n-m)\pi}{\huge|}_{-L}^{L}\\
&=0,\quad n\neq m,\\
\int_{-L}^L e^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L}x}e^{- \mathrm{i} n\frac{\pi}{L}x} \,\mathrm{d}{x} &=\int_{-L}^L \,\mathrm{d}{x} =2L.
\end{aligned}~
\end{equation}
同样的，这表明 $\{\frac{1}{\sqrt{2L}}e^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L} x}|n\in\mathbb Z\}$ 是 $[-L,L]$ 上的标准正交函数系。
例 3 傅里叶变换
我们考察例 2 中 $L\rightarrow\infty$ 的展开式式 28 的形式。注意到
\[
\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{ \mathrm{i} n\frac{\pi}{L} x}~
\]
中若令 $z_n=n\frac{\pi}{L}$，那么 $\Delta z_n:=z_{n+1}-z_n=\frac{\pi}{L}$。并注意 $c_n=\frac{1}{2L} \left\langle \varphi_n,f \right\rangle $，其中 $\varphi_n(x):=e^{ \mathrm{i} z_n x}$。因此式 28 可写为
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x)&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{Lc_n}{\pi}e^{ \mathrm{i} z_n x}\Delta z_n\\
&=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{2\pi} \left\langle \varphi_n,f \right\rangle e^{ \mathrm{i} z_n x}\Delta z_n.
\end{aligned}~
\end{equation}
这恰好就是定义在区间 $[-\infty,\infty]$ 上的函数 $F_x(z):=\frac{1}{2\pi} \left\langle \varphi_z,f \right\rangle e^{ \mathrm{i} z x}$（$\varphi_z(x):=e^{ \mathrm{i} z x}$）的积分
\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty F_x(z) \,\mathrm{d}{z} ~
\end{equation}
的近似级数和。当 $\Delta z_n=\frac{\pi}{L}\rightarrow0$，即 $L\rightarrow\infty$ 时，
式 30 就正好是
式 31 。因此此时有
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty F_x(z) \,\mathrm{d}{z} \\
&=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{2\pi} \left\langle \varphi_z,f \right\rangle e^{ \mathrm{i} z x} \,\mathrm{d}{z} \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathcal F(z)e^{ \mathrm{i} z x} \,\mathrm{d}{z} \\
\end{aligned}~
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\mathcal F(z):= \left\langle \varphi_z,f \right\rangle =\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{- \mathrm{i} zx} \,\mathrm{d}{x} .~
\end{equation}
$\mathcal F(z)$ 通常被称为 $f(x)$ 的傅里叶变换，而从 $\mathcal F(x)$ 到 $f(x)$ 的式
式 32 被称为逆傅里叶变换。明显的，$f(x)$ 的傅里叶变换 $\mathcal F(z)$ 对应 $f(x)$ 在 “基矢量” $e^{izx}$ 下的 “坐标”。
1. ^ $\Gamma$. M. 菲赫金哥尔茨。微积分学教程 卷三[M].北京：高等教育出版社，2006:345-349
2. ^ 斯米尔诺夫。斯米尔诺夫高等数学卷四第一分册[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2018:6-12
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。