幂函数(复数)

             

贡献者: addis

预备知识 复变函数

1. 实参数幂函数

   我们先来看实参数的幂函数 $f(x) = x^a$ 在 $a\in\mathbb R$ 和 $x > 0$ 时函数曲线如图 1 所示.注意 $x^{1/a}$ 是 $x^a$ 的反函数.

图
图 1:实参数的幂函数(相同颜色的函数互为反函数)

   由图可知,对正数次幂($a > 0$),其定义域可以包含 $0$,且 $0^a = 0$.

   另外在多数应用中,我们定义 $0^0 = 0$,但注意这不是唯一的定义.我们几乎总是默认幂级数 $\sum_{n=0}^\infty c_n x^n$ 在 $x = 0$ 处的值是 $c_0$,即 $n=0$ 时的项是常数项.如果没有 $0^0 = 0$,那么该幂级数将只能更繁琐地记为 $c_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n x^n$.

负数的幂函数

   显然,负数的整数次幂是良好定义的,因为这只涉及实数的乘法运算.当 $a$ 为偶数时,$x^a = (-x)^a$ 是偶函数,$a$ 为奇数时,$x^a = -(-x)^a$ 是奇函数.这样我们就可以把图 1 中整数次幂的曲线根据对称性延申到负半轴.

   而当我们试图将非整数次幂扩展到负实数时,便需要把函数值拓展到复数域中,并且可能有多个不同的函数值,例如 $(-1)^{1/2} = \pm \mathrm{i} $.

   有理数次幂函数 $x^{n/m}$($x\in \mathbb R$,$n$ 为整数,$m$ 为正整数)总是有 $m$ 个可能的值

\begin{equation} x^{n/m} = \left\{\begin{aligned} & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi k/m} & (x^n > 0)\\ & \left\lvert x^n \right\rvert ^{1/m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} 2\pi (k+1/2)/m} & (x^n < 0) \end{aligned}\right. \qquad (k = 0,1,\dots, m-1) \end{equation}
我们暂不讨论无理数次幂的一般情况.

2. 复参数的幂函数

   我们再来将复数的幂函数分解为模长和相位的形式(令 $z = \left\lvert z \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi(z)}$,$a = a_I + \mathrm{i} a_R$)

\begin{equation} z^a = \left\lvert z \right\rvert ^{a_R} \mathrm{e} ^{-\phi(z) a_I} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} [\ln \left\lvert z \right\rvert a_I + \phi(z)a_R]} \end{equation}
可见 $z^a$ 的模长和幅角都分别与 $z$ 和 $a$ 有关.一般情况下,这是一个比较复杂的函数,含有不同的分支(因为 $\phi(z)$ 可以加整数个 $2\pi$).当且仅当 $a$ 为整数时才不会出现分支.在数值计算中,分支切割线出现在 $\phi(z) = \pm\pi$ 处,这是因为数值计算通常取 $\phi(z)\in(-\pi, \pi]$.


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