幂函数(复数)

                     

贡献者: addis; 邵宜阳; Giacomo

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预备知识 复变函数

1. 复数幂函数

定义

   任意给定 $\alpha\in \mathbb{C}$,对于复变量 $z\ne 0$,定义 $z$ 的 $\alpha$ 次幂函数为

\begin{align} w&=z^\alpha\notag\\ &=\exp\{\alpha \ln z\} \end{align}
当 $z=0$ 时,定义 $0^\alpha = 0$

分解

   上面那个式子有点抽象,我们可以把它分解开来研究

\begin{align} \ln z &= \ln |z|+i\phi(z)\notag\\ \alpha&=\alpha_R+i\alpha_I\notag\\ \end{align}
\begin{align} z^\alpha&=\exp\{(\alpha_R+i\alpha_I)[\ln |z|+i\phi(z)]\notag\}\\ &=\exp\{[\alpha_R \ln|z|-\alpha_I\phi (z)]+i[\alpha_I\ln|z|+a_R\phi(z)]\}\notag\\ &=|z|^{\alpha_R} \mathrm{e} ^{-\alpha_I\phi(z)}\cdot \mathrm{e} ^{i[\alpha_I \ln\left(z\right) +\alpha_R\phi(z)]} \end{align}
\begin{align} \therefore |z^\alpha|&=|z|^{\alpha_R} \mathrm{e} ^{-\alpha_I\phi(z)}\notag\\ \arg z^\alpha&=\alpha_I \ln\left(z\right) +\alpha_R\phi(z)\notag \end{align}
\[\text{其中}\phi(z)=\arg z+2k\pi,k\in\mathbb Z\]

分析

   幂函数特点:

   下面讨论不同的 $\alpha$ 下幂函数的单值或多值性
\[ (1)~~\alpha_R=n,\alpha_I=0~~(n\in\mathbb Z) \]

\begin{align} |z^\alpha|&=|z|^{\alpha_R} \mathrm{e} ^{-\alpha_I\phi(z)}\notag\\ &=|z|^{n}\notag\\ \arg z^\alpha&=\alpha_I \ln\left(z\right) +\alpha_R\phi(z)\notag\\ &=n(\arg z+2k\pi)\notag\\ \because e^{i2kn\pi}&=1\notag\\ \therefore z^\alpha&=|z|^{n}\cdot \mathrm{e} ^{in\arg z}\\ \text{此时}&\text{幂函数为单值函数}\notag \end{align}

   \[ (2)~~\alpha_R=\frac m n,\alpha_I=0~~(m,n\in\mathbb Z) \]

\begin{align} |z^\alpha|&=|z|^{\alpha_R} \mathrm{e} ^{-\alpha_I\phi(z)}\notag\\ &=|z|^{\frac m n}\notag\\ \arg z^\alpha&=\alpha_I \ln\left(z\right) +\alpha_R\phi(z)\notag\\ &=\frac 1 n(\arg z+2k\pi)\notag\\ \therefore z^\alpha&=|z|^{\frac 1 n}\cdot \mathrm{e} ^{i(\frac {\arg z} n+2\frac k n \pi)}\\ \mathrm{e} ^{i2\frac k n \pi} \text{有 n 个取值} & \text{(当} k=0,1,\dots,n-1 \text{时)}\notag\\ \text{此时}&\text{幂函数为 n 值函数}\notag \end{align}
\[ (3)~~\alpha_R=\frac m n,\alpha_I=0~~(m,n\in\mathbb Z) \]
\begin{align} \text{由(3)(4)知}&\text{,}z^\alpha=\sqrt[n]{z^m}\notag\\ \text{可见此时}&\text{幂函数为 n 值函数}\notag \end{align}
\[ (4)~~\alpha_R=\frac 1 n,\alpha_I=0~~(n\in\mathbb Z) \]
\begin{align} |z^\alpha|&=|z|^{\alpha_R} \mathrm{e} ^{-\alpha_I\phi(z)}\notag\\ &=|z|^{\frac 1 n}\notag\\ \arg z^\alpha&=\alpha_I \ln\left(z\right) +\alpha_R\phi(z)\notag\\ &=\frac 1 n(\arg z+2k\pi)\notag\\ \therefore z^\alpha&=|z|^{\frac 1 n}\cdot \mathrm{e} ^{i(\frac {\arg z} n+2\frac k n \pi)}\\ \mathrm{e} ^{i2\frac k n \pi}\text{有 n 个取值}&\text{(当}k=0,1,\dots,n-1\text{时)}\notag\\ \text{此时}&\text{幂函数为 n 值函数}\notag \end{align}

在数值计算中,分支切割线出现在 $\phi(z) = \pm\pi$ 处,这是因为数值计算通常取 $\phi(z)\in(-\pi, \pi]$。


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