幂函数(复数)

             

预备知识 复变函数

   我们先来看实参数的幂函数 $f(x) = x^a$,$x > 0$ 时函数曲线如图 1 所示.注意 $x^{1/a}$ 是 $x^a$ 的反函数.

图
图 1:实参数的幂函数(相同颜色的函数互为反函数)

   当 $x < 0$ 时,可得

\begin{equation} x^a = \left\lvert x \right\rvert ^a (-1)^a = \left\lvert x \right\rvert ^a \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \pi a} \end{equation}
当 $a$ 为偶数时,$x^a = (-x)^a$ 是偶函数,$a$ 为奇数时,$x^a = -(-x)^a$ 是奇函数.

   当 $a$ 为非整数时,$x^a$ 一般在复平面上有多个值.(未完成)

1. 复参数的幂函数

   我们再来将复数的幂函数分解为模长和相位的形式(令 $z = \left\lvert z \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \phi(z)}$,$a = a_I + \mathrm{i} a_R$)

\begin{equation} z^a = \left\lvert z \right\rvert ^{a_R} \mathrm{e} ^{-\phi(z) a_I} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} [\ln \left\lvert z \right\rvert a_I + \phi(z)a_R]} \end{equation}
可见 $z^a$ 的模长和幅角都分别与 $z$ 和 $a$ 有关.一般情况下,这是一个比较复杂的函数,含有不同的分支(因为 $\phi(z)$ 可以加整数个 $2\pi$).当且仅当 $a$ 为整数时才不会出现分支.在数值计算中,分支切割线出现在 $\phi(z) = \pm\pi$ 处,这是因为数值计算通常取 $\phi(z)\in(-\pi, \pi]$.

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