幂函数（复数）

贡献者： addis; 邵宜阳; Giacomo

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预备知识　复变函数

1. 复数幂函数

定义

　　任意给定 $α \in C$ ，对于复变量 $z \neq 0$ ，定义 $z$ 的 $α$ 次幂函数为

\begin{aligned} w & = z^{α} \\ (1) & = \exp {α \ln z} . \end{aligned}

当

z = 0

时，定义

0^{α} = 0

分解

　　上面那个式子有点抽象，我们可以把它分解开来研究

\begin{aligned} \ln z & = \ln | z | + i ϕ (z) \\ α & = α_{R} + i α_{I} \\ (2) \end{aligned}

\begin{aligned} z^{α} & = \exp {(α_{R} + i α_{I}) [\ln | z | + i ϕ (z)]} \\ = \exp {[α_{R} \ln | z | - α_{I} ϕ (z)] + i [α_{I} \ln | z | + a_{R} ϕ (z)]} \\ (3) & = | z |^{α_{R}} e^{- α_{I} ϕ (z)} \cdot e^{i [α_{I} \ln (z) + α_{R} ϕ (z)]} \end{aligned}

\begin{aligned} ∴ | z^{α} | & = | z |^{α_{R}} e^{- α_{I} ϕ (z)} \\ \arg z^{α} & = α_{I} \ln (z) + α_{R} ϕ (z), \end{aligned}

\begin{matrix} (4) & 其中 ϕ (z) = \arg z + 2 k π, k \in Z \end{matrix}

分析

　　幂函数特点：

$z^{α}$ 的模长和辐角都分别与 $z$ 和 $α$ 有关
$z^{α}$ 可能是单值的、有限多值或无限多值的函数，取决于 $α$

　　下面讨论不同的 $α$ 下幂函数的单值或多值性
$(1) α_{R} = n, α_{I} = 0 (n \in Z),$

\begin{aligned} | z^{α} | & = | z |^{α_{R}} e^{- α_{I} ϕ (z)} \\ = | z |^{n} \\ \arg z^{α} & = α_{I} \ln (z) + α_{R} ϕ (z) \\ = n (\arg z + 2 k π) \\ ∵ e^{i 2 k n π} & = 1 \\ (5) & ∴ z^{α} & = | z |^{n} \cdot e^{i n \arg z} \\ 此时 & 幂函数为单值函数 \end{aligned}

　　 $(2) α_{R} = \frac{m}{n}, α_{I} = 0 (m, n \in Z),$

\begin{aligned} | z^{α} | & = | z |^{α_{R}} e^{- α_{I} ϕ (z)} \\ = | z |^{\frac{m}{n}} \\ \arg z^{α} & = α_{I} \ln (z) + α_{R} ϕ (z) \\ = \frac{1}{n} (\arg z + 2 k π) \\ (6) & ∴ z^{α} & = | z |^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i (\frac{\arg z}{n} + 2 \frac{k}{n} π)} \\ e^{i 2 \frac{k}{n} π} 有 n 个取值 & (当 k = 0, 1, \dots, n - 1 时) \\ 此时 & 幂函数为 n 值函数 \end{aligned}

(3) α_{R} = \frac{m}{n}, α_{I} = 0 (m, n \in Z),

\begin{aligned} 由(3)(4)知 & ， z^{α} = \sqrt[n]{z^{m}} \\ 可见此时 & 幂函数为 n 值函数 \end{aligned}

(4) α_{R} = \frac{1}{n}, α_{I} = 0 (n \in Z),

\begin{aligned} | z^{α} | & = | z |^{α_{R}} e^{- α_{I} ϕ (z)} \\ = | z |^{\frac{1}{n}} \\ \arg z^{α} & = α_{I} \ln (z) + α_{R} ϕ (z) \\ = \frac{1}{n} (\arg z + 2 k π) \\ (7) & ∴ z^{α} & = | z |^{\frac{1}{n}} \cdot e^{i (\frac{\arg z}{n} + 2 \frac{k}{n} π)} \\ e^{i 2 \frac{k}{n} π} 有 n 个取值 & (当 k = 0, 1, \dots, n - 1 时) \\ 此时 & 幂函数为 n 值函数 \end{aligned}

在数值计算中，分支切割线出现在

ϕ (z) = \pm π

处，这是因为数值计算通常取

ϕ (z) \in (- π, π]

。

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