磁旋比、玻尔磁子

贡献者： addis

预备知识　转动惯量，磁矩，自旋角动量

　　¹当一个物体做定轴转动时，磁矩的和角动量的大小之比就叫做磁旋比（gyromagnetic ratio）。该物理量常在量子力学中出现，但对于宏观的带电物体也可以定义。

1. 均匀带电体的磁旋比

　　一个任意形状的带电刚体，总质量为 $m$ ，总电荷量为 $q$ 。如果质量密度 $ρ_{m}$ 和电荷密度 $ρ_{q}$ 成正比（ $ρ_{m} / ρ_{q} \equiv m / q$ ），当它定轴转动时，令角速度矢量为 $ω$ ，则角动量为

\begin{matrix} (1) & L = I ω = ω \int r_{⊥}^{2} ρ_{m} d V . \end{matrix}

磁矩定义为

\begin{matrix} (2) & μ = I a \hat{ω} = \int \frac{d Q}{2 π / ω} π r^{2} \hat{ω} = \frac{1}{2} ω \int r_{⊥}^{2} ρ_{q} d V, \end{matrix}

其中

r

为质量元到转轴的距离。两式比较，得

\begin{matrix} (3) & μ = \frac{q}{2 m} L . \end{matrix}

所以该物体的磁旋比为

γ = q / (2 m)

。

　　在经典电磁学中，若点电荷绕一点做圆周运动，那么它的磁旋比也同样是 $q / (2 m)$ 。²

　　把上面的推导稍加改变可以发现，若电荷分布在物体的外表面，那么磁旋比将比该值要大：

习题 1　

求一个质量分布均匀，但只有侧面表面带电的圆柱体的磁旋比（转轴为对对称轴）。（答案： $q / m$ ）
求一个质量分布均匀，但只有面表面带电的球体的磁旋比（转轴过圆心）。（答案： $5 q / 6 m$ ）

2. 基本粒子的磁旋比

　　但对基本粒子（例如电子）的实验中，发现上式还需要一个修正因子，称为朗德 g 因子（Landé g-factor）或简称 g 因子。

\begin{matrix} (4) & μ = g \frac{q}{2 m} L . \end{matrix}

所以磁旋比为

\begin{matrix} (5) & γ = g \frac{q}{2 m} . \end{matrix}

未完成：式 4 中不可以用矢量，因为众所周知量子力学中我们不可能直接决定角动量的方向，所以磁矩到底是什么方向测出来的呢？应该是

s_{z}

取最大值的时候。

　　对于粒子的自旋， $L_{s} = \sqrt{s (s + 1)} ℏ$ （自旋角动量），所以它的磁矩为

\begin{matrix} (6) & μ = \sqrt{s (s + 1)} ℏ g \frac{q}{2 m} . \end{matrix}

对于电子，实验测得

\begin{matrix} (7) & g_{e} \approx 2.00231930436118 (27) \approx 2 . \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (8) & μ_{e} = g_{e} \frac{e ℏ}{2 m_{e}} \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{2} g_{e} μ_{B} \approx \sqrt{3} μ_{B}, \end{matrix}

其中

μ_{B}

为玻尔磁子（Bohr magneton），定义为

\begin{matrix} (9) & μ_{B} = \frac{e ℏ}{2 m_{e}} \approx 5.788 \times 10^{- 5} eV / T . \end{matrix}

它可以看作是磁矩的一个单位。

　　狄拉克的相对论电子理论对于这一现象给出了解释。在之前的例题中，我们就已经认识到直接的将电子看作为一个自旋的球体是危险的，这也就引发了经典推论的错误结论。

　　在非相对论量子力学理论下考虑自旋-轨道作用时，当然有 $g = 1$ 。不过在狄拉克所提出来的相对论量子力学理论中，电子的 $g$ 因此恰好是 $2$ 。在量子电动力学中，因为电子与真空能量的电磁涨落相互作用，朱利安·施温格（Julian Schwinger）对其有微小的修正：

\begin{matrix} (10) & g_{e} = 2 + \frac{a}{π} + \dots = 2.002 \dots \end{matrix}

这些对于电子反常磁矩的实验测量和理论推导是近代物理最为辉煌的成就之一。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
2. ^ 你可以想象这个质点是一个满足上述条件的小刚体，就可以直接套用上面的推导过程了。

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