磁旋比 玻尔磁子

             

预备知识 转动惯量,磁矩

   如果一个带电刚体,质量密度和电荷密度成正比,当它绕轴转动时,角动量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = I \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \int r^2 \rho_m \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
磁矩定义为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = Ia \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} = \int \frac{ \,\mathrm{d}{Q} }{2\pi/\omega} \pi r^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} = \frac12 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \int r^2\rho_e \,\mathrm{d}{V} \end{equation}
其中 $r$ 为质量元到转轴的距离.两式比较,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = \frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{equation}
但对基本粒子(例如电子)的实验中,发现上式还需要一个修正因子,称为 g 因子(g-factor)
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = g\frac{q}{2m} \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{equation}
定义磁旋比(gyromagnetic ratio)1
\begin{equation} \gamma = \frac{gq}{2m} \end{equation}

   对于粒子的自旋,$L = \hbar \sqrt{l(l + 1)} $.所以 $\mu = \sqrt{l (l + 1)} \hbar gq/(2m)$. 对于电子,实验测得

\begin{equation} g_e = 2.0023193043617(15) \approx 2 \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\mu}} = g_e \frac{e\hbar}{2 m_e} \sqrt{\frac12 \left(1 + \frac12 \right) } = \frac{\sqrt 3}{2} g_e \mu_B \approx \sqrt 3 \mu_B \end{equation}
其中 $\mu_B$ 为玻尔磁子(Bohr magneton),定义为
\begin{equation} \mu_B = \frac{e\hbar}{2 m_e} \end{equation}


1. ^ 有时也叫 magnetogyric ratio

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