自旋角动量

             

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预备知识 轨道角动量,张量积空间

1. 斯特恩–格拉赫实验

   在斯特恩–格拉赫(Stern-Gerlach)实验中,一束银原子朝一个方向(我们设这个方向为 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 轴方向)发射并穿过不均匀的磁场.除了有力矩(类比经典电磁理论中的),还有另外一个力作用在磁偶极子上(类比经典电磁理论中的):

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} =\nabla( \boldsymbol{\mathbf{\mu}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \end{equation}
这个力可以用来分离具有特定自旋指向的粒子.假设一束较重的中性原子(例如该实验中的银原子)沿 $z$ 轴方向通过一个非均匀磁场区域——比如说
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} (x,y,z)=-\alpha x \hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }+(B_0+\alpha z)\hat { \boldsymbol{\mathbf{z}} } \end{equation}
其中 $B_0$ 是一个较强的均匀场,而 $\alpha$ 描述对均匀性的一个小的偏离(实际上我们只需要 $z$ 方向上一个小的偏离,但不幸的是这违背了 $\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$,所以必须有 $x$ 分量出现).作用在原子上的力为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} =\gamma \alpha (-S_x \hat{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }+S_z\hat{ \boldsymbol{\mathbf{z}} }) \end{equation}
这里的 $S_x$ 表示原子自旋角动量 $x$ 分量的期待值,$S_z$ 表示自旋角动量 $z$ 分量的期待值.由于电子的磁矩和自旋角动量成正比,$\gamma$ 表示这一比例系数(称为磁旋比.不同于经典理论的 $q/2m$,这里的 $\gamma$ 实际上是 $q/m$).

   但由于绕 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} _0$ 的拉莫尔(Larmor)进动,$S_x$ 快速振荡,且平均值为 $0$.所以净力是沿 $z$ 轴方向的.

\begin{equation} F_z=\gamma\alpha S_z \end{equation}

   原子束穿过磁场受到偏转后打在检测器屏幕上.经典上,我们预期的结果是一条模糊带($S_z$ 没有量子化).但实验结果却是几个分立的模糊的点(在银原子实验中,屏幕上出现两个点).原子束分成了 $2s+1$ 个分立的束,在 Stern-Gerlach 实验中 $s=1/2$.这是因为在银原子中,原子内层的所有电子都是配对的,它们的轨道和自旋角动量都相互抵消.所以净自旋就是最外层一个非配对电子的自旋:$1/2$.

  

未完成:连续多个 Stern-Gerlach 装置的顺序实验

2. 自旋角动量算符与泡利矩阵

   自旋是量子力学中的基本粒子特有的性质,描述粒子的波函数不包含自旋的信息,自旋处于单独的有限维希尔伯特空间中,和波函数的空间做张量积以后用于描述粒子的状态.

  1. 自旋角动量三个分量算符 $S_x, S_y, S_z$ 的互相对易关系以及自旋模长平方算符 $S^2$ 的对易关系
  2. 与轨道角动量同理,存在一组本征态 $ \left\lvert s,m \right\rangle $ ($s = 0, 1/2, 1, 3/2\dots$,$m = -s, -s+1\dots ,s-1, s$ 但是每种粒子都有固有的 $s$)满足
    \begin{equation} S^2 \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar^2 s(s+1) \left\lvert s, m \right\rangle \quad \text{和} \quad S_z \left\lvert s, m \right\rangle = \hbar m \left\lvert s, m \right\rangle \end{equation}
  3. 存在升降算符 $S_\pm = S_x \pm \mathrm{i} S_y$,且(根号项是归一化系数)
    \begin{equation} S_\pm \left\lvert s,m \right\rangle = \hbar \sqrt{s(s + 1) - m(m \pm 1)} \left\lvert s, m+1 \right\rangle \end{equation}
  4. 对于 $s = 1/2$ 的粒子,一共有 2 个本征态,分别是 $ \left\lvert 1/2, 1/2 \right\rangle $, $ \left\lvert 1/2, -1/2 \right\rangle $.它们的角动量模长平方都是 $3\hbar^2/4$,角动量 $z$ 分量都是 $\hbar/2$.以这两个本征态为基底,令第一个为 $\chi_+ =(1, 0) ^{\mathrm{T}} $,第二个为 $\chi_- = (0, 1) ^{\mathrm{T}} $.可以得出角动量平方算符的矩阵为
    \begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{S}} ^2 = \frac{3\hbar^2}{4} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{S}} _z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \end{equation}
    根据 $S_+ \chi_- = \hbar \chi_+$ 和 $S_- \chi_+ = \hbar \chi_-$, 得到
    \begin{equation} S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix} \end{equation}
    然后,定义泡利矩阵.
    \begin{equation} \sigma_x = \begin{pmatrix}0&1\\1& 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_y = \begin{pmatrix}0&- \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0\end{pmatrix} \qquad \sigma_z = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix} \end{equation}
    其实,根据对易关系直接就可以得到泡利矩阵.
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