贡献者： addis
1. 匀速圆周运动的加速度（几何法）
图 1：把速度矢量移到原点再相减
在圆周运动中，位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是时间的函数。对时间求导后，我们得到速度矢量关于时间的函数。对速度也进行同样的操作，就不难得到圆周运动的加速度。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\Delta t}~.
\end{equation}
现在我们用几何的方法来求该极限。根据矢量减法的定义，计算 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 要先把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的起点放在一起（例如都放在原点），再从 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 的终点指向 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的终点得到 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $（图 1 ）。
我们已知匀速圆周运动的速度大小为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = R\omega$，根据 “小角极限” 中的结论，把 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的长度用弧长近似，得
\begin{equation}
\left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \Delta \theta = (R\omega)\omega \Delta t~.
\end{equation}
所以质点的加速度大小为
\begin{equation}
a =\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\omega ^2 R \Delta t}{\Delta t} = \omega ^2 R~,
\end{equation}
由图可得加速度的方向是速度方向逆时针偏转 $\pi/2$。又由于速度方向是位矢方向逆时针偏转 $\pi/2$，所以匀速圆周运动的加速度的方向与位矢的方向相反。
结合模长和方向，令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为位矢（取圆心为坐标原点），就得到加速度的矢量形式
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} ~,
\end{equation}
由速度与角速度的关系，它的模长也可以表示为 $v^2/r$ 或者 $\omega v$。
2. 圆周运动的加速度（求导法）
现在我们来推导一般圆周运动的加速度（不要求匀速）， 将圆周运动的速度（式 4 ）再次对时间求导得加速度
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \dot { \boldsymbol{\mathbf{v}} } = - R \dot\theta^2(\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + \ddot\theta R [ \cos\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ]~,
\end{equation}
当角速度 $\omega = \dot\theta$ 为常量时（匀速圆周运动），上式第二项为零，第一项与
式 4 相同，当角速度随时间变化时，由于 $\ddot\theta R = \dot\omega R = \dot v$，上式可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} + \dot v \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} ~.
\end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $ 是速度方向的单位矢量。所以
变速圆周运动除了向心加速度外，还有一个沿速度方向的加速度。另见
例 1 。
3. 三维空间的情况
若要把式 4 拓展到三维空间中围绕过圆心的轴转动的任意匀速圆周运动，可以对式 5 （$ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} $）求时间导数（令 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 为常矢量）得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ~,
\end{equation}
将
式 5 再次代入，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} )~,
\end{equation}
要验证该式与
式 4 吻合，把连续叉乘化为内积
得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \omega^2 r \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} - \omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\omega^2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} ) = -\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot~.
\end{equation}
其中 $\theta$ 是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 之间的夹角，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot$ 是从圆周运动的圆心指向点 $P$ 的矢量，相当于
式 4 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $。证毕。
我们再来考虑变速圆周运动的情况，当 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的模长和方向都随时间变化时，式 7 的求导变为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~,
\end{equation}
定义
角加速度（angular acceleration） $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }$，并将
式 5 代入，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
由定义易证右边第二项等于
式 6 中的 $\dot v \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $。
