位移与路程

贡献者： ACertainUser

　　 我们已经处理了质点位矢与位移 , 的问题。接下来我们要问的是，质点从 $t_0$ 至 $t_1$ 这段时间之内运动的距离（或者说，路程）是多少？

　　 如图 1 ，首先可以排除 $s = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_0) \right\rvert $。这段时间内位移的模长显然不等于质点通过的路程长度。

　　 这就需要我们复习一下我们计算曲线长度时所用的套路 “化曲为直”。将这段时间分成一段段很小的时间间隔，在每一段小时间内，位移的模长 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert $ 就近似等于路程 $\Delta s$。

　　 如图 2 所示，应该有 $$s=\sum \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert ~,$$ 亦即 $$ \begin{aligned} s&=\sum \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \Delta t \right\rvert \\ &=\sum \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \Delta t\\ &=\int _{t_0}^{t_1} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \,\mathrm{d}{t} \\~. \end{aligned} $$ 展开为分量形式(假定 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = (x',y',z')^T$，其中 $x',y',z'$ 都是关于 $t$ 的函数)： $$ s = \int _{t_0}^{t_1} \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2} \,\mathrm{d}{t} ~. $$