位移与路程

贡献者： ACertainUser

　　 我们已经处理了质点位矢与位移 , 的问题。接下来我们要问的是，质点从 $t_0$ 至 $t_1$ 这段时间之内运动的距离（或者说，路程）是多少？

　　 如图 1 ，首先可以排除 $s=|\mathbf{r}(t_1)-\mathbf{r}(t_0)|$。这段时间内位移的模长显然不等于质点通过的路程长度。

　　 这就需要我们复习一下我们计算曲线长度时所用的套路 “化曲为直”。将这段时间分成一段段很小的时间间隔，在每一段小时间内，位移的模长 $\left|\mathrm{\Delta }\mathbf{r}\right|$ 就近似等于路程 $\mathrm{\Delta }s$。

　　 如图 2 所示，应该有 $$s=\sum \left|\mathrm{\Delta }\mathbf{r}\right|,$$ 亦即 $$\begin{array}{rl}s& =\sum \left|\mathbf{v}\mathrm{\Delta }t\right|\\ & =\sum \left|\mathbf{v}\right|\mathrm{\Delta }t\\ & ={\int }_{t_0}^{t_1}\left|\mathbf{v}\right|\mathrm{d}t\\ .\end{array}$$ 展开为分量形式(假定 $\mathbf{v}=(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }{)}^T$，其中 $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ 都是关于 $t$ 的函数)： $$s={\int }_{t_0}^{t_1}\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}\mathrm{d}t.$$