圆周运动的速度

贡献者： addis

1. 几何法

预备知识 1　小角极限，速度的定义

图 1：匀速圆周运动的速度

　　如图设一个点 $P$ 做半径为 $R$ 的圆周运动，角速度为 $ω$ （可以是时间的函数），那么在一段微小时间 $Δ t$ 内，可以认为 $ω$ 是常量，点 $P$ 转过的角度为 $Δ θ = ω Δ t$ 。这样，根据小角极限，当 $Δ t \to 0$ 时，点 $P$ 在 $Δ t$ 内走过的位移长度（线段的长度）趋近于弧的长度，即 $| Δ s | \to R ω Δ t$ 。

　　根据速度的定义

\begin{matrix} (1) & v = lim_{Δ t \to 0} \frac{Δ s}{Δ t}, \end{matrix}

速度的大小为

\begin{matrix} (2) & v = lim_{Δ t \to 0} \frac{| Δ s |}{Δ t} = lim_{Δ t \to 0} \frac{ω R Δ t}{Δ t} = ω R, \end{matrix}

速度的方向显然与过

A

点的圆的切线重合。

2. 求导法

　　如图，在平面直角坐标系（单位矢量分别为 $\hat{x}$ ， $\hat{y}$ ）中，令一个绕原点做逆时针匀速圆周运动的质点的位矢为 $r$ ，与 $\hat{x}$ 的夹角是时间的函数 $θ (t)$ ，圆周运动的半径为 $R$ 。那么任意时刻 $t$ 将位矢 $r$ 沿着 $x$ 与 $y$ 轴方向分解，有

\begin{matrix} (3) & r (t) = R \cos θ (t) \hat{x} + R \sin θ (t) \hat{y}, \end{matrix}

其中

\hat{x}

是

x

轴正方向的单位矢量，

\hat{y}

是

y

轴正方向的单位矢量。由速度的定义

v = d r / d t

，即

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} v & = \frac{d}{d t} (R \cos θ \hat{x} + R \sin θ \hat{y}) = - R \dot{θ} \sin θ \hat{x} + R \dot{θ} \cos θ \hat{y} \\ = \dot{θ} R [\cos (θ + π / 2) \hat{x} + \sin (θ + π / 2) \hat{y}] . \end{aligned} \end{matrix}

定义瞬时角速度（简称角速度）等于

θ

关于时间的导数

ω = \dot{θ}

，则速度大小为

v = ω R

，方向为

\hat{r}

逆时针旋转

π / 2

，即圆的切线方向。

3. 三维空间的圆周运动

预备知识 2　矢量叉乘

图 2：角速度矢量与线速度矢量

　　如图 2 ，在三维空间中，圆周运动所在的平面可以任意选取，我们可以将角速度拓展成一个矢量 $ω$ ，其方向垂直于该平面并由右手定则确定。令坐标系的原点在圆周运动的轴上，用位矢 $r$ 表示点 $P$ 的位置，则圆周运动的半径为 $r_{⊥} = r \sin θ$ ，其中 $θ$ 是 $r$ 与 $ω$ 的夹角。所以圆周运动速度的大小为 $v = ω r \sin θ$ 。根据矢量叉乘的几何定义，有

\begin{matrix} (5) & v = ω \times r . \end{matrix}