贡献者： addis
1. 几何法
图 1：匀速圆周运动的速度
如图设一个点 $P$ 做半径为 $R$ 的圆周运动，角速度为 $\omega $（可以是时间的函数），那么在一段微小时间 $\Delta t$ 内，可以认为 $\omega$ 是常量，点 $P$ 转过的角度为 $\Delta \theta = \omega \Delta t$。这样，根据小角极限，当 $\Delta t \to 0$ 时，点 $P$ 在 $\Delta t$ 内走过的位移长度（线段的长度）趋近于弧的长度，即 $ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert \to R\omega \Delta t$。
根据速度的定义
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} }{\Delta t}~,
\end{equation}
速度的大小为
\begin{equation}
v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} \right\rvert }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\omega R \Delta t}{\Delta t} = \omega R ~,
\end{equation}
速度的方向显然与过 $A$ 点的圆的切线重合。
2. 求导法
如图，在平面直角坐标系（单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $， $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $）中，令一个绕原点做逆时针匀速圆周运动的质点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 的夹角是时间的函数 $\theta(t)$，圆周运动的半径为 $R$。那么任意时刻 $t$ 将位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 沿着 $x$ 与 $y$ 轴方向分解，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = R\cos \theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta(t)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~,
\end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 是 $x$ 轴正方向的单位矢量，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 是 $y$ 轴正方向的单位矢量。由速度的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }/\mathrm{d}{t} $，即
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( R\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )
= - R\dot\theta \sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + R\dot\theta \cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
&= \dot\theta R [ \cos\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ]~.
\end{aligned}
\end{equation}
定义
瞬时角速度（简称
角速度）等于 $\theta$ 关于时间的导数 $\omega = \dot \theta$，则速度大小为 $v = \omega R$，方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$，即圆的切线方向。
3. 三维空间的圆周运动
图 2：角速度矢量与线速度矢量
如图 2 ，在三维空间中，圆周运动所在的平面可以任意选取，我们可以将角速度拓展成一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $，其方向垂直于该平面并由右手定则确定。令坐标系的原点在圆周运动的轴上，用位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示点 $P$ 的位置，则圆周运动的半径为 $r_\bot = r \sin\theta$，其中 $\theta$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的夹角。所以圆周运动速度的大小为 $v = \omega r \sin\theta$。根据矢量叉乘的几何定义，有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
