单变量矢量值函数的积分

贡献者： Giacomo

预备知识　矢量的导数，定积分

1. 单变量不定积分

　　令 $f (t)$ 为只有一个自变量的矢量函数，则与标量函数类似，定义其不定积分为求导的逆运算。也就是说，若能找到 $F (t)$ ，使得 $F (t)$ 对 $t$ 求导就是 $f (t)$ ，那么 $F (t) + C$ （ $C$ 为任意常矢量）就是定积分的结果，都是 $f (t)$ 的原函数。

　　在直角坐标系中，我们已经知道对矢量函数 $F (t)$ 求导就是对它的每个分量函数分别求导，即

\begin{matrix} (1) & F^{'} (t) = f (t) . \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & F_{x}^{'} (t) = f_{x} (t), F_{y}^{'} (t) = f_{y} (t), F_{z}^{'} (t) = f_{z} (t) . \end{matrix}

考虑到标量函数的不定积分是标量函数求导的逆运算，所以对

f (t)

不定积分，只需对它的各个分量分别进行不定积分即可。注意每个分量函数在不定积分后都会出现一个待定常数，三个分量中的待定常数相加就得到一个待定常矢量

C

。

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \int f (t) d t & = \hat{x} \int f_{x} (t) d t + \hat{y} \int f_{y} (t) d t + \hat{z} \int f_{z} (t) d t \\ = [F_{x} (t) + C_{x}] \hat{x} + [F_{y} (t) + C_{y}] \hat{y} + [F_{z} (t) + C_{z}] \hat{z} \\ = F (t) + C . \end{aligned} \end{matrix}

根据式 1 式 2 ，显然有

[F (t) + C]^{'} = f (t)

。

2. 单变量定积分

　　类比一元标量函数定积分的定义，要计算一元矢量函数 $f (t)$ 从 $t_{1}$ 到 $t_{2}$ 的定积分，就先把区间 $[t_{1}, t_{2}]$ 分为 $N$ 个小区间，长度分别为 $Δ t_{i}$ ，且令 $t_{i}$ 为第 $i$ 个区间内的任意一点。当我们取极限令所有区间长度 $Δ t_{i}$ 都趋近于 $0$ （这时 $N \to \infty$ ）时，如果以下极限存在，得到的矢量就是定积分的结果。

\begin{matrix} (4) & \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) d t = lim_{Δ t_{i} \to 0} \sum_{i = 0}^{N} f (t_{i}) Δ t_{i} . \end{matrix}

唯一与标量函数的定积分不同的是，这里的求和是矢量求和。但在直角坐标系中，我们可以把上式对矢量的求和表示成对各个分量分别求和，而每个分量的极限就是一个标量定积分。

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) d t & = \hat{x} lim_{Δ t_{i} \to 0} \sum_{i = 0}^{N} f_{x} (t_{i}) Δ t_{i} + \hat{y} lim_{Δ t_{i} \to 0} \sum_{i = 0}^{N} f_{y} (t_{i}) Δ t_{i} + \hat{y} lim_{Δ t_{i} \to 0} \sum_{i = 0}^{N} f_{z} (t_{i}) Δ t_{i} \\ = \hat{x} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{x} (t) d t + \hat{y} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{y} (t) d t + \hat{z} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{z} (t) d t, \end{aligned} \end{matrix}

所以

f (t)

的定积分就是把直角坐标的各个分量分别进行定积分。现在对三个定积分分别运用牛顿—莱布尼兹公式，

f (t)

的原函数为

F (t)

，各分量的原函数为

F_{x} (t), F_{y} (t), F_{z} (t)

，则上式等于

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) d t & = \hat{x} [F_{x} (t_{2}) - F_{x} (t_{1})] + \hat{y} [F_{y} (t_{2}) - F_{y} (t_{1})] + \hat{z} [F_{z} (t_{2}) - F_{z} (t_{1})] \\ = F (t_{2}) - F (t_{1}), \end{aligned} \end{matrix}

这就是矢量函数的牛顿—莱布尼兹公式。

例 1　加速度，速度和位移的积分关系

　　由于质点的速度—时间函数 $v (t)$ 是位移—时间函数 $r (t)$ 的导函数，后者就是前者的原函数。所以根据牛顿—莱布尼兹公式式 6 有

\begin{matrix} (7) & r (t) - r (t_{0}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t . \end{matrix}

即

\begin{matrix} (8) & r (t) = r (t_{0}) + \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t . \end{matrix}

这是一维情况式 7 的拓展。

　　同理，由于质点的加速度函数 $a (t)$ 是速度函数 $v (t)$ 的导函数，后者可以通过前者定积分得到

\begin{matrix} (9) & v (t) = v (t_{0}) + \int_{t_{1}}^{t_{2}} a (t) d t . \end{matrix}

　　 \eentry{匀加速运动}

单变量矢量值函数的积分

1. 单变量不定积分

2. 单变量定积分

例 1 加速度，速度和位移的积分关系

例 1　加速度，速度和位移的积分关系