贡献者： addis; 零穹
1在惯性系中，如果刚体所受的所有合外力与合外力矩都为零，则我们说它处于静力平衡（static equilibrium）。其中合外力（矩）是指所有施加在刚体上的力（矩）的矢量和。
定理 1 刚体的静力平衡
若一个刚体处于静力平衡，那么它将保持静止或者做以下两种运动的组合：1. 质心做匀速运动，2. 绕质心做定轴匀速转动。
至于定理中的哪种情况会发生，取决于初始时刚体的状态：若初始时刚体开始静止，那么受力平衡条件下它将保持静止，否则保持初始时的平动或/和转动。注意当合外力为零时，合外力矩与参考点（参考系）的选取无关（式 9 ）。在非惯性系中，若加入惯性力的修正，该结论仍然成立。
证明：
1. 合力：刚体合外力为零时刚体动量守恒，而动量等于 “质心的动量”
$ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c = M_c \boldsymbol{\mathbf{v}} _c$，所以质心做匀速运动或不动。
2. 合力矩：刚体合外力矩为零时，其角动量守恒，而刚体的角动量等于质心的角动量 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$ 加上质心系中的角动量（式 8 ）。当质心匀速直线运动或不动时 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} _c$ 不变，所以质心系中刚体的角动量也不变，所以刚体绕质心做匀速转动或不转动。证毕。
例 1 轻杆三力平衡
如图，一个长度为 $L$ 质量不计的细杆，两端受力分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _1, \boldsymbol{\mathbf{F}} _3$，中间受力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} _2$。
未完成：图，选取不同受力点
未完成：吊桥例题，见 EP1 20201021，缆绳受力与重物位置的关系。
例 2
如图 1 ，一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上，线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$，线轴的大圆半径为 $R$，小圆半径为 $r$，求当角 $\alpha$ 满足什么条件时，线轴才能不滑落。
图 1：线轴的平衡
我们先来看线轴受哪几个力：重力 $mg$，绳的拉力 $T$，墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$。由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得
\begin{equation}
\begin{cases}
f \leqslant \mu N~, & \text{（摩擦系数）}\\
N - T\sin\alpha = 0~, & \text{（水平方向受力平衡）}\\
T\cos\alpha + f - mg = 0~, & \text{（竖直方向受力平衡）}\\
Tr - fR = 0~. & \text{（力矩平衡）}
\end{cases}
\end{equation}
其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩，虽然原则上我们可以取任意点计算力矩，但取在圆心计算最为简单。除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T, f, N$，用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去，可得关于 $\alpha$ 的不等式
\begin{equation}
\sin\alpha \geqslant \frac{r}{\mu R}~.
\end{equation}
一个有趣的地方在于，不等式中没有出现质量 $m$。事实上，我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利解出答案。
例 3 二人抬物
图 2：二人高低抬物
两个人分别通过一个受力点保持一个刚体的静力平衡，若已知质心的位置和两个受力点的位置（三者在同一竖直平面上），试分析谁出的力更大。分为两种情况讨论：1. 每个人只允许在竖直方向上出力，2. 允许任意方向的力。3. 在第二问中，什么条件下第一个人出的合力模长最小？
1. 令重心为坐标原点，两个受力点的坐标为 $(x_1, y_1)$，$(x_2, y_2)$，如果两个受力点只有竖直方向的力（向上为正），那么受力平衡得
\begin{equation}
F_1 + F_2 = Mg~.
\end{equation}
以重物的质心为坐标原点，则重力力矩为零，力矩平衡条件为
\begin{equation}
F_1 x_1 + F_2 x_2 = 0~,
\end{equation}
解得
\begin{equation}
F_1 = \frac{Mg x_2}{x_2 - x_1} ~,\qquad F_2 = \frac{-Mg x_1}{x_2 - x_1}~.
\end{equation}
可见力 $ \left\lvert F_i \right\rvert $ 和 $ \left\lvert x_i \right\rvert $ 成反比，重心离谁的水平距离越近，谁的受力就越大。注意该解要求 $x_1 \ne x_2$，下同。
作为一个具体的例子，若二人搬的是均匀长方体，由图可知，若搬箱子底部，则 $F_1 > F_2$，若拉箱子顶部，则 $F_1 < F_2$。（图未完成）
2. 再来看一般情况，每个人施加的力除了竖直分量还有水平分量。令水平的力为 $F_1', F_2'$（向右为正），由水平方向和竖直方向的受力平衡和力矩平衡得
\begin{equation}
\begin{aligned}
&F_1' + F_2' = 0\\
&F_1 + F_2 = Mg\\
&F_1 x_1 + F_2 x_2 - F_1' y_1 - F_2' y_2 = 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
这里四个未知的力只有三条约束方程，所以有一个
自由度。以 $F_1'$ 为参数，解得
\begin{equation}
\begin{aligned}
F_1 = \frac{Mg x_2 + F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1}~,\\
F_2 = \frac{-Mg x_1 - F_1'(y_2 - y_1)}{x_2 - x_1}~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们发现，由于 $F_1'$ 可取任意实数，所以无论两个受力点在哪里，只要 $y_1 \ne y_2$ 总能通过调节 $F_1'$ 使 $ \left\lvert F_1 \right\rvert > \left\lvert F_2 \right\rvert $，即第一人的合力 $\sqrt{F_1^2 + F_1'^2}$ 大于第二人，或者即第一人的合力小于第二人。
3. 那么，$F_1'$ 为多少时，第一人的合力最小呢？合力模长的平方为 $F_1^2 + F_1'^2$，把式 7 代入并令
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{F_1'}} \left(F_1^2 + F_1'^2 \right) = 0~,
\end{equation}
得
\begin{equation}
F_1' = -\frac{Mgx_2 (y_2 - y_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
F_1 = \frac{Mg x_2(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)^2 + (y_2 -y_1)^2}~.
\end{equation}
最小合力模长为
\begin{equation}
\sqrt{F_1^2 + F_1'^2} = \frac{Mg x_2}{\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}}~.
\end{equation}
也就是说当 $y_1 < y_2$ 时，第一个人为了减小自己的合力，需要提供一个向左的水平力。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面和 [1]。
[1] ^ 赵凯华, 罗蔚茵. 新概念物理教程 力学 第二版
