刚体的静力平衡

例 1　轻杆三力平衡

　　 如图，一个长度为 $L$ 质量不计的细杆，两端受力分别为 ${\mathbf{F}}_1,{\mathbf{F}}_3$，中间受力为 ${\mathbf{F}}_2$。

例 2　

　　 如图 1 ，一个质量为 $m$ 的线轴被斜挂在墙上，线轴与墙面的摩擦系数为 $\mu$，线轴的大圆半径为 $R$，小圆半径为 $r$，求当角 $\alpha$ 满足什么条件时，线轴才能不滑落。

　　 我们先来看线轴受哪几个力：重力 $mg$，绳的拉力 $T$，墙的支持力 $N$ 和摩擦力 $f$。由摩擦系数的定义和刚体平衡条件可得

其中最后一条力矩平衡是以圆心为原点计算力矩，虽然原则上我们可以取任意点计算力矩，但取在圆心计算最为简单。除了 $\alpha$ 我们有三个未知数 $T,f,N$，用以上三条等式恰好可以把这三个未知数消去，可得关于 $\alpha$ 的不等式

　　 一个有趣的地方在于，不等式中没有出现质量 $m$。事实上，我们不使用那条含有 $mg$ 的等式也可以顺利解出答案。

例 3　二人抬物

　　 两个人分别通过一个受力点保持一个刚体的静力平衡，若已知质心的位置和两个受力点的位置（三者在同一竖直平面上），试分析谁出的力更大。分为两种情况讨论：1. 每个人只允许在竖直方向上出力，2. 允许任意方向的力。3. 在第二问中，什么条件下第一个人出的合力模长最小？

　　 1. 令重心为坐标原点，两个受力点的坐标为 $(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$，如果两个受力点只有竖直方向的力（向上为正），那么受力平衡得

以重物的质心为坐标原点，则重力力矩为零，力矩平衡条件为 解得 可见力 $\left|F_i\right|$ 和 $\left|x_i\right|$ 成反比，重心离谁的水平距离越近，谁的受力就越大。注意该解要求 $x_1\ne x_2$，下同。

　　 作为一个具体的例子，若二人搬的是均匀长方体，由图可知，若搬箱子底部，则 $F_1>F_2$，若拉箱子顶部，则 $F_1<F_2$。（图未完成）

　　 2. 再来看一般情况，每个人施加的力除了竖直分量还有水平分量。令水平的力为 $F_1^{\prime },F_2^{\prime }$（向右为正），由水平方向和竖直方向的受力平衡和力矩平衡得

这里四个未知的力只有三条约束方程，所以有一个自由度。以 $F_1^{\prime }$ 为参数，解得 我们发现，由于 $F_1^{\prime }$ 可取任意实数，所以无论两个受力点在哪里，只要 $y_1\ne y_2$ 总能通过调节 $F_1^{\prime }$ 使 $\left|F_1\right|>\left|F_2\right|$，即第一人的合力 $\sqrt{F_1^2+F_1^{\prime 2}}$ 大于第二人，或者即第一人的合力小于第二人。

　　 3. 那么，$F_1^{\prime }$ 为多少时，第一人的合力最小呢？合力模长的平方为 $F_1^2+F_1^{\prime 2}$，把式 7 代入并令

得 最小合力模长为 也就是说当 $y_1<y_2$ 时，第一个人为了减小自己的合力，需要提供一个向左的水平力。