系统的角动量

贡献者： addis

预备知识　质点系，角动量、角动量定理、角动量守恒（单个质点）

1. 系统的角动量

　　角动量是矢量，若把系统看做质点系，则系统的角动量等于所有质点的角动量矢量相加。

\begin{matrix} (1) & L = \sum_{i} L_{i} = \sum_{i} r_{i} \times p_{i} = \sum_{i} m_{i} r_{i} \times v_{i} . \end{matrix}

　　在例 1 中，我们知道单个质点做圆周运动的角动量为 $L = m r^{2} ω z$ 。现在考虑一个半径为 $r$ 质量为 $M$ 的细圆环绕处于原点的圆心做逆时针圆周运动，每个质点的轨迹就是圆环本身。如果我把圆环看成由许多质点 $m_{i}$ 组成，每个质点都做上述圆周运动，则总角动量为

\begin{matrix} (2) & L = \sum_{i} m_{i} ω r^{2} \hat{z} = M ω r^{2} \hat{z} . \end{matrix}

　　可类比力矩的坐标系变换（式 9 ），坐标系 $A$ 中总角动量为

\begin{matrix} (3) & L_{A} = \sum_{i} r_{A i} \times p_{i} . \end{matrix}

变换到与

A

相对静止的坐标系

B

中，从

B

原点指向

A

原点的矢量为

r_{B A}

，那么总角动量为

\begin{matrix} (4) & L_{B} = \sum_{i} (r_{B A} + r_{A i}) \times p_{i} = r_{B A} \times \sum_{i} p_{i} + L_{A} . \end{matrix}

可见当系统总动量为零时，两参考系中计算系统角动量的结果相同。注意由于两参考系相对静止，以上的

p_{i}

在两参考系中都是相同的。

　　如果我们把例 1 中的旋转圆环平移一下再计算（关于原点）的角动量，根据上述讨论，结果仍然是相同的。这是因为圆环中的每个质点都存在一个反方向运动的质点，圆环的总动量为零。

　　若当前参考系不是质心系，令质心的位置矢量为 $r_{c}$ ，速度为 $v_{c}$ 。每个质点在质心系中的位置为 $r_{c i}$ ，速度为 $v_{c i}$ ，令系统总质量为 $M = \sum_{i} m_{i}$ ，则系统角动量可以表示为

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} L & = \sum_{i} m_{i} r_{i} v_{i} = \sum_{i} m_{i} (r_{c} + r_{c i}) \times (v_{c} + v_{c i}) \\ = r_{c} \times (M v_{c}) + \sum_{i} m_{i} r_{c i} \times v_{c i} + r_{c} \times \sum_{i} m_{i} v_{c i} + (\sum_{i} m_{i} r_{c i}) \times v_{c} . \end{aligned} \end{matrix}

根据质心系的性质，最后两项中的求和为零。另外根据式 3 ，

M v_{c}

就是系统总动量，也相当于所有质量集中于质心获得的动量。所以我们可以把第一项定义所谓的 “质心的角动量”

\begin{matrix} (6) & L_{0} = r_{c} \times (M v_{c}) . \end{matrix}

而第二项就是质心系中系统的角动量

\begin{matrix} (7) & L_{c} = \sum_{i} m_{i} r_{c i} \times v_{c i}, \end{matrix}

所以式 5 可以记为

\begin{matrix} (8) & L = L_{0} + L_{c} . \end{matrix}

所以任何坐标系中，系统的总角动量等于其质心的角动量加上相其相对质心的角动量。注意与上一小节不同的是，我们不要求两个参考系相对静止。

　　在例 2 的基础上，如果圆环一边旋转，圆心一边以速度 $v$ 做匀速直线运动，直线与当前原点距离为 $d$ ，求系统的总角动量。角动量是否守恒？