贡献者： addis
我们在三维空间的矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中取一个闭合回路 $\mathcal L$ 并规定一个正方向，并定义该回路的环流量为矢量场在回路上的线积分
\begin{equation}
\oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
以下假设这个矢量场在某个区域内处处具有一阶偏导数。
图 1：面元，法向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，面积为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert $
现在来定义该矢量场的旋度（curl）。旋度是一个矢量，记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $。如图 1 ，在空间某点 $(x,y,z)$ 处选取一个小面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $（模长为面元的面积，方向为面元的一个法向量），令面元边界构成的回路为 $\mathcal L$，正方向由右手定则 判断。要定义旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 在 $x$ 方向的分量，就取 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 与 $x$ 轴单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 同向，再计算环流量除以面积的极限，即
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
同理，要计算旋度的 $y, z$ 分量就把 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 分别指向单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向，再将上式的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 分别替换为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $。这种定义方法叫做
积分—比—极限。
可以证明，旋度处处存在且与回路的形状选取无关1。所以选取任意方向的面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，都有
\begin{equation}
( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{S}}} = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
1. 直角坐标系中的旋度
在直角坐标系中给出矢量场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y,z) = F_x(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + F_y(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + F_z(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
在点 $(x,y,z)$ 附近，我们可以对场使用微分近似（
式 6 ）
\begin{equation}
F_i(x+x', y+y', z+z') = F_i(x,y,z) + \frac{\partial F_i}{\partial x} x' + \frac{\partial F_i}{\partial y} y' + \frac{\partial F_i}{\partial z} z'~.
\end{equation}
图 2：直角坐标系中旋度的 $z$ 分量
要求 $z$ 方向的旋度，令闭合回路为图 2 所示的正方形，延 $x$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_x$ 贡献，延 $y$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_y$ 贡献，所以整个环路的线积分为
\begin{equation} \begin{aligned}
\oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
&= \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' \right) \,\mathrm{d}{x'} - \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' + \frac{\partial F_x}{\partial y} h \right) \,\mathrm{d}{x'} \\
&\quad +\int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial x} h + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} - \int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} \\
&= h^2 \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) ~,
\end{aligned} \end{equation}
所以旋度的 $z$ 分量为
\begin{equation}
G_z = \lim_{h^2\to 0} \frac{1}{h^2} \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} ~.
\end{equation}
类似地，我们可得 $x, y$ 分量
\begin{equation}
G_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \qquad G_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} ~,
\end{equation}
所以类似叉乘的行列式表示（
式 13 ），我们可以将旋度记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} ~.
\end{equation}
现在我们知道为什么旋度要记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 了，类比散度，旋度可以从形式上理解为矢量算符 $ \boldsymbol\nabla $ 与矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的叉乘。
与梯度和散度不同的是，以上定义的旋度运算只能对三维空间的矢量场作用。
例 1 旋转体速度场的旋度
一个物体绕 $z$ 轴旋转，角速度矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，物体上任意一点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，则速度关于位置的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 构成一个矢量场（式 5 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times (x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )
= -\omega y \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \omega x \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
使用
式 9 计算 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的旋度，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\-\omega y&\omega x& 0\end{vmatrix} = 2\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
可见该场的旋度是一个 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $ 方向的常矢量。从这个例子也可以看出，如果一个（三维）矢量场在某个方向上没有分量（即平面场），则其旋度的方向（面元的法向量）必然平行于该方向（选取坐标系时将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 设为该方向即可）。
从这里还可以看出，旋度有一这样的物理意义：刚体旋转时，角速度的 $2$ 倍。
例 2 无旋度的旋转场
现在我们来看另一个旋转场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} /r$，写成分量的形式就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \left(\frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) = -\frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
由于这个场也是一个 $xy$ 平面场，旋度 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 共线，可以直接使用
式 7 计算
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \left(\frac{1}{r^2} - \frac{2x^2}{r^4} + \frac{1}{r^2} - \frac{2y^2}{r^4} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
要注意的是，在原点处由于矢量场不连续（而是出现了无限大的奇点），以上计算在原点处并不成立。
1. ^ 这里暂不作证明
