牛顿—莱布尼兹公式（矢量分析）

贡献者：待更新

预备知识　散度散度定理

\begin{matrix} (1) & \int \nabla f d V = \oint f d s . \end{matrix}

该公式类似于散度定理，但被积函数变为标量而不是矢量。对于一维情况，该式就是牛顿—莱布尼兹公式。

　　事实上梯度定理（式 17 ）也可以看作是另一种拓展高维拓展。

　　我们可以对每个分量依次证明。两边乘以第 $i$ 个分量的单位矢量 ${\hat{x}}_{i}$ 得

\begin{matrix} (2) & \int \frac{\partial}{\partial x_{i}} f d V = \oint (f {\hat{x}}_{i}) \cdot d s . \end{matrix}

由散度定理得

\begin{matrix} (3) & \oint (f {\hat{x}}_{i}) \cdot d s = \int \nabla \cdot (f {\hat{x}}_{i}) d V = \int \frac{\partial}{\partial x_{i}} f d V, \end{matrix}

证毕。