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球坐标系中的拉普拉斯方程

             

预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符

   球坐标的拉普拉斯方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\phi}^{2}} = 0 \end{equation}
使用分离变量法解方程,令 $u(r, \theta, \phi) = f(r)g(\theta)h(\phi)$,代入原方程并除以 $u$ 得
\begin{equation} \left. \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right) \middle/ f + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \right) \middle/ g + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^{2}{h}}{\partial{\phi}^{2}} \middle/ h = 0 \right. \end{equation}
其中第一项只含有 $r$,第二项只含有 $\theta$,第三项却含有 $\theta$ 和 $\phi$.我们可以先分离关于 $r$ 的常微分方程,称为径向方程,以及关于 $\theta$ 和 $\phi$ 的方程,称为角向方程.令第一项为常数 $l(l+1)$,则后两项之和为 $-l(l+1)$(原因见下文),角向方程为
\begin{equation} l(l+1) + \left. \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial{\theta}} \left(\sin \theta \frac{\partial g}{\partial \theta} \right) \middle/ g + \frac{1}{\sin^2 \theta} \left( \frac{\partial^{2}{h}}{\partial{\phi}^{2}} \right) \middle/ h = 0 \right. \end{equation}
两边同时乘以 $\sin^2\theta$,得到前二项只含 $\theta$,第三项只含 $\phi$.一般令前两项之和为常数 $m^2$,则第三项为 $-m^2$.这样我们就成功分离出了三个常微分方程,下面分别介绍.

   径向方程是欧拉型方程

\begin{equation} r^2 \frac{\mathrm{d}^{2}{f}}{\mathrm{d}{r}^{2}} + 2r \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{r}} - l(l+1)f = 0 \end{equation}
使用变量代换 $t = \ln r$ 解得
\begin{equation} f(r) = C_1 r^l + \frac{C_2}{r^{l+1}} \end{equation}

   关于 $\theta$ 的方程是

\begin{equation} \sin^2\theta \frac{\mathrm{d}^{2}{g}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} + \sin\theta\cos\theta \frac{\mathrm{d}{g}}{\mathrm{d}{\theta}} + [l(l+1)\sin^2\theta - m^2] g = 0 \end{equation}
使用变量代换 $x = \cos\theta$ 得
\begin{equation} (1-x^2) \frac{\mathrm{d}^{2}{g}}{\mathrm{d}{x}^{2}} - 2x \frac{\mathrm{d}{g}}{\mathrm{d}{x}} + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] g = 0 \end{equation}
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left[(1-x^2) \frac{\mathrm{d}{g}}{\mathrm{d}{x}} \right] + \left[l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] g = 0 \end{equation}
该式被称为连带勒让德方程,解为连带勒让德多项式 $P_l^m(x) = P_l^m(\cos\theta)$.

   关于 $\phi$ 的方程是

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^{2}{h}}{\mathrm{d}{\phi}^{2}} = -m^2 h \end{equation}
该方程的解为 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi}$.原则上 $m$ 可以取任意实数,但由于球坐标中的循环边界条件要求 $h(\phi + 2\pi) = h(\phi)$,$m$ 只能取任意整数.

   综上,球坐标中拉普拉斯方程的通解为

\begin{equation} u(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \left(C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}} \right) P_l^m(\cos\theta) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} m\phi} \end{equation}
我们一般把在单位球面上归一化的 $g(\theta)h(\phi)$ 称为球谐函数,记为 $Y_l^m(\theta,\phi)$(满足角向方程式 3 ),则通解也可记为1
\begin{equation} u(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} \left(A_{l,m} r^l + \frac{B_{l,m}}{r^{l+1}} \right) Y_l^m (\theta, \phi) \end{equation}


1. ^ 以后为了方便,我们常在求和符号中省略 $l, m$ 的范围.

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