图

球坐标系中的拉普拉斯方程

预备知识 球坐标系中的拉普拉斯算符

   球坐标的拉普拉斯方程为

\begin{equation} \laplacian u = \frac{1}{r^2} \pdv{r} \qtyRound{r^2 \pdvTwo{u}{r}} + \frac{1}{r^2 \sin\theta}\pdv{\theta} \qtyRound{\sin \theta \pdvTwo{u}{\theta}} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \pdvTwo[2]{u}{\phi} = 0 \end{equation}
使用分离变量法解方程, 令 $u(r, \theta, \phi) = f(r)g(\theta)h(\phi)$, 代入原方程并除以 $u$ 得
\begin{equation} \left. \pdv{r} \qtyRound{r^2 \pdvTwo{f}{r}} \middle/ f + \frac{1}{\sin\theta}\pdv{\theta} \qtyRound{\sin \theta \pdvTwo{g}{\theta}} \middle/ g + \frac{1}{\sin^2 \theta} \pdvTwo[2]{h}{\phi} \middle/ h = 0 \right. \end{equation}
其中第一项只含有 $r$, 第二项只含有 $\theta$, 第三项却含有 $\theta$ 和 $\phi$. 我们可以先分离关于 $r$ 的常微分方程, 称为径向方程, 以及关于 $\theta$ 和 $\phi$ 的方程, 称为角向方程. 令第一项为常数 $l(l+1)$, 则后两项之和为 $-l(l+1)$ (原因见下文), 角向方程为
\begin{equation} l(l+1) + \left. \frac{1}{\sin\theta}\pdv{\theta} \qtyRound{\sin \theta \pdvTwo{g}{\theta}} \middle/ g + \frac{1}{\sin^2 \theta} \qtyRound{\pdvTwo[2]{h}{\phi}} \middle/ h = 0 \right. \end{equation}
两边同时乘以 $\sin^2\theta$, 得到前二项只含 $\theta$, 第三项只含 $\phi$. 一般令前两项之和为常数 $m^2$, 则第三项为 $-m^2$. 这样我们就成功分离出了三个常微分方程, 下面分别介绍.

   径向方程是欧拉型方程

\begin{equation} r^2\dvTwo[2]{f}{r} + 2r\dvTwo{f}{r} - l(l+1)f = 0 \end{equation}
使用变量代换 $t = \ln r$ 解得
\begin{equation} f(r) = C_1 r^l + \frac{C_2}{r^{l+1}} \end{equation}

   关于 $\theta$ 的方程是

\begin{equation} \sin^2\theta \dvTwo[2]{g}{\theta} + \sin\theta\cos\theta\dvTwo{g}{\theta} + [l(l+1)\sin^2\theta - m^2] g = 0 \end{equation}
使用变量代换 $x = \cos\theta$ 得
\begin{equation} (1-x^2)\dvTwo[2]{g}{x} - 2x\dvTwo{g}{x} + \qtySquare{l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}}g = 0 \end{equation}
\begin{equation} \dv{x} \qtySquare{(1-x^2)\dvTwo{g}{x}} + \qtySquare{l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2}}g = 0 \end{equation}
该式被称为连带勒让德方程, 解为连带勒让德多项式 $P_l^m(x) = P_l^m(\cos\theta)$.

   关于 $\phi$ 的方程是

\begin{equation} \dvTwo[2]{h}{\phi} = -m^2 h \end{equation}
该方程的解为 $\E^{\I m\phi}$. 原则上 $m$ 可以取任意实数, 但由于球坐标中的循环边界条件要求 $h(\phi + 2\pi) = h(\phi)$, $m$ 只能取任意整数.

   综上, 球坐标中拉普拉斯方程的通解为

\begin{equation} u(r, \theta, \phi) = \sum_{l = 0}^\infty \sum_{m = -l}^l \qtyRound{C_{l,m} r^l + \frac{C'_{l,m}}{r^{l+1}}}P_l^m(\cos\theta)\E^{\I m\phi} \end{equation}
我们一般把在单位球面上归一化的 $g(\theta)h(\phi)$ 称为球谐函数, 记为 $Y_l^m(\theta,\phi)$ (满足角向方程式 3 ), 则通解也可记为1
\begin{equation} u(r, \theta, \phi) = \sum_{l,m} \qtyRound{A_{l,m} r^l + \frac{B_{l,m}}{r^{l+1}}} Y_l^m (\theta, \phi) \end{equation}


1. 以后为了方便, 我们常在求和符号中省略 $l, m$ 的范围.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利