图

理想气体状态方程

预备知识 分子撞击对容器壁的压强

   理想气体是热力学中一个理想化的模型(可以类比自由落体, 简谐振子等), 用于探索密闭容器中一定量气体的压强, 体积和温度之间的关系. 该模型假设密闭容器中有一定量的气体(由原子或分子构成, 以下统称为分子), 假设气体非常稀薄, 分子之间几乎不发生相互作用(例如碰撞), 且与容器壁之间的碰撞是完全弹性的且在瞬间完成的, 假设每个分子所受重力忽略不计.

   理想气体状态方程最开始由实验得到, 这是因为在日常环境下, 大部分气体与理想气体符合较好. 其最常见的形式为

\begin{equation} PV = nRT \end{equation}
其中 $P$ 是气体的压强(处处相等), $V$ 是容器的体积, $n$ 是气体分子的摩尔数, $R$ 是理想气体常数, $T$ 是热力学温度(单位为开尔文).

   记 $k_B$ 为玻尔兹曼常数, $N_A$ 为阿伏伽德罗常数(一摩尔粒子中的粒子数).

\begin{equation} k_B \approx 1.38064852 \times 10^{-23} \,\Si{m^2 kg / (K s^2)} \end{equation}
\begin{equation} N_A \approx 6.02214086 \times 10^{23} \,\Si{/mol} \end{equation}
容器中总分子数为
\begin{equation} N = n N_A \end{equation}
理想气体常数定义为
\begin{equation} R = k_B N_A \approx 8.314 \,\Si{J / (mol · K)} \end{equation}
所以状态方程(式 1 ) 也可以记为
\begin{equation} PV = N k_B T \end{equation}

   从微观角度, 热力学温度 可以由理想气体分子平均动能定义1

\begin{equation} \bar E_k = \frac32 k_B T \end{equation}

由经典力学推导

   我们在 “分子撞击对容器壁的压强” 中已经详细推导了压强和分子速度的关系, 以下重复的部分将简略带过. 注意分子密度趋近于 0 的假设导致分子之间没有作用力, 每个分子的运动都是可以看作是独立的.

   假设长方体容器的 $x, y, z$ 三个方向的边长分别为 $a, b, c$, 则体积为 $V = abc$. 考虑一个初始延任意方向运动的分子, 与容器壁发生完全弹性碰撞, 它在 $x$ 方向的周期(即运动一个来回所需的时间)为 $2a/v_x$, 每个周期带给 $x = a$ 容器壁的冲量为 $2m v_x$, 该容器壁面积为 $bc$, 所以受到该粒子的平均压强 $P$ 为冲量除以周期除以面积 $mv_x^2/V$, 即

\begin{equation} P_i V = mv_{x,i}^2 \end{equation}
注意这里我们用角标 $i$ 来表示第 $i$ 个分子. 如果有 $N$ 个分子, 质量都为 $m$, 那么
\begin{equation} P V = \sum P_i V = 2 N \qtyRound{\frac12 m \overline {v_x^2}} = 2 N \bar E_{kx} \end{equation}
注意 $\overline {v_x^2}$ 和 $\bar v_x^2$ 是不同的. 前者是先对每个分子的速度取平方再平均. 而后者是先计算速度的平均值在平方. 等式右边等于 $2N$ 乘以所有分子在 $x$ 方向的平均动能. 由于我们假设分子运动各向同性(即不会出现某些方向的分子运动较快), 所以平均的总动能等于单方向平均动能的 3 倍(注意这里我们假设是 3 维空间, 如果是 $N_d$ 维空间, 就是 $N_d$ 倍)
\begin{equation} \bar E_k = \frac{1}{2} m (\overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2}) = \frac{3}{2} m \overline {v_i^2} \end{equation}
所以有(参考式 8
\begin{equation} P V = \frac23 N \bar E_k \end{equation}
这说明压强和体积的乘积等于分子总平动动能的 $2/3$. 用式 7 消去 $E_k$, 就得到了式 6 形式的理想气体状态方程.


1. 注意这里的动能是平动动能, 我们暂时不讨论气体分子的转动.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利