理想气体状态方程
理想气体是热力学中一个理想化的模型（可以类比自由落体， 简谐振子等）， 用于探索密闭容器中一定量气体的压强， 体积和温度之间的关系． 该模型假设密闭容器中有一定量的气体（由原子或分子构成， 以下统称为分子）， 假设气体非常稀薄， 分子之间几乎不发生相互作用（例如碰撞）， 且与容器壁之间的碰撞是完全弹性的且在瞬间完成的， 假设每个分子所受重力忽略不计．
理想气体状态方程最开始由实验得到， 这是因为在日常环境下， 大部分气体与理想气体符合较好． 其最常见的形式为
\begin{equation}
PV = nRT
\end{equation}
记 $k_B$ 为玻尔兹曼常数， $N_A$ 为阿伏伽德罗常数（一摩尔粒子中的粒子数）．
\begin{equation}
k_B \approx 1.38064852 \times 10^{-23} \, \,\mathrm{m^2 kg / (K s^2)}
\end{equation}
\begin{equation}
N_A \approx 6.02214086 \times 10^{23} \, \,\mathrm{/mol}
\end{equation}
\begin{equation}
N = n N_A
\end{equation}
\begin{equation}
R = k_B N_A \approx 8.314 \, \,\mathrm{J / (mol \cdot K)}
\end{equation}
\begin{equation}
PV = N k_B T
\end{equation}
从微观角度， 热力学温度 可以由理想气体分子平均动能定义1
\begin{equation}
\bar E_k = \frac32 k_B T
\end{equation}
\begin{equation}
E_k = \frac32 Nk_B T = \frac{3}{2}nRT
\end{equation}
由经典力学推导
我们在 “分子撞击对容器壁的压强” 中已经详细推导了压强和分子速度的关系， 以下重复的部分将简略带过． 注意分子密度趋近于 0 的假设导致分子之间没有作用力， 每个分子的运动都是可以看作是独立的．
假设长方体容器的 $x, y, z$ 三个方向的边长分别为 $a, b, c$， 则体积为 $V = abc$． 考虑一个初始延任意方向运动的分子， 与容器壁发生完全弹性碰撞， 它在 $x$ 方向的周期（即运动一个来回所需的时间）为 $2a/v_x$， 每个周期带给 $x = a$ 容器壁的冲量为 $2m v_x$， 该容器壁面积为 $bc$， 所以受到该粒子的平均压强 $P$ 为冲量除以周期除以面积 $mv_x^2/V$， 即
\begin{equation}
P_i V = mv_{x,i}^2
\end{equation}
\begin{equation}
P V = \sum P_i V = 2 N \left(\frac12 m \overline {v_x^2} \right) = 2 N \bar E_{kx}
\end{equation}
\begin{equation}
\bar E_k = \frac{1}{2} m (\overline {v_x^2} + \overline {v_y^2} + \overline {v_z^2}) = \frac{3}{2} m \overline {v_i^2}
\end{equation}
\begin{equation}
P V = \frac23 N \bar E_k
\end{equation}
1. 注意这里的动能是平动动能， 我们暂时不讨论气体分子的转动．
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