气体分子对容器壁的压强

贡献者： addis

预备知识　动量定理

　　我们来从微观的角度考察气体是如何对一个光滑平面产生压强的。一种错误的解释是：每个气体分子像一个有弹性的小球，他们互紧挨着，对彼此和容器壁产生压力，当体积越小，压力也就越大。然而真实情况¹是，气体分子之间的距离远远大于他们的体积，且都在不断运动。是大量分子撞击容器壁产生的 “冲击力” 对容器产生了等效的压力。这种撞击可以看作是在一瞬间完成的，就像高中学的完全弹性碰撞。所以我们需要使用动量和冲量。

图 1：分子对容器壁的压强

　　如图 1 ，我们假设空间中没有重力，向右为 $x$ 方向，一块面积为 $S$ 的光滑平板初始时静止，令其质量为 $M$ ，远大于分子的质量。平板的左侧不断受到大量粒子从各个随机方向，以各种随机速度的撞击。虽然每个分子的动量很小，但撞击的频率却很大（数量级与阿伏伽德罗常数相当，即 $10^{24}$ 次每秒）。由于这些撞击的位置完全是随机的，他们可以被等效为一个均匀的压强。如何定义等效压强呢？我们可以在平板的右侧对平板施加一个均匀恒定的 “真正的” 压强 $P$ （或者等效地，直接施加恒力 $F = P S$ ），如果左边分子的撞击和右边的压强能使平板保持宏观的静止，那么我们就说分子撞击对平板的（等效）压强为 $P$ 。

　　我们给这些分子编号，假设第 $i$ 个分子延 $x$ 方向的速度分量为 $v_{x, i}$ ，质量都为 $m$ ，则碰撞前延 $x$ 方向的动量为 $p_{i} = m v_{x, i}$ 。由于平板的质量远大于单个分子的质量，撞击以后可以认为分子 $x$ 方向的速度取相反数，而平行于平板方向的速度不变（类似于光的镜面反射）。这样，碰撞后单个分子的动量变化（即冲量）为 $Δ p_{i} = - 2 m v_{x, i}$ ，由动量守恒，平板的动量瞬间增加了 $2 m v_{x, i}$ 。如果一段时间 $Δ t$ 内，有 $N$ 个分子撞击平板，则平板受到向右的总冲量为

\begin{matrix} (1) & Δ p = \sum_{i = 1}^{N} 2 m v_{x, i} = 2 m \sum_{i = 1}^{N} v_{x, i}, \end{matrix}

再来看右边的压力对平板的作用。

Δ t

时间内该作用力对平板向左的冲量为

\begin{matrix} (2) & Δ p = P S Δ t . \end{matrix}

若要使平板在宏观上不动，总冲量必须为零，以上两式相等，即

\begin{matrix} (3) & P = \frac{2 m}{S Δ t} \sum_{i = 1}^{N} v_{x, i} = 2 m {\bar{v}}_{x, i} \frac{N}{S Δ t} . \end{matrix}

其中我们定义

x

方向速度平均值为

\begin{matrix} (4) & {\bar{v}}_{x, i} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} v_{x, i} . \end{matrix}

也就是说，等效压强和分子在垂直容器壁方向的平均动量成正比，与单位面积单位时间撞击容器壁的粒子数成正比。

1. 两块平板

　　我们再来讨论一个稍微复杂一些的情况。假设空间中有两块平行平板，他们之间距离为 $a$ ，每个粒子会在这两块平板之间来回反弹（假设不飞出边界），第 $i$ 个粒子来回运动一次的周期是 $T_{i} = 2 a / v_{x, i}$ ， $Δ t$ 时间（假设远大于 $T_{i}$ ）内可以与右边的平板发生碰撞的次数为

\begin{matrix} (5) & N_{i} = \frac{Δ t}{T_{i}} = \frac{v_{x, i} Δ t}{2 a}, \end{matrix}

所有的分子在

Δ t

时间内碰撞右壁的次数为

N = \sum N_{i}

。

　　所以 $Δ t$ 时间内，右侧平板获得的总冲量为

\begin{matrix} (6) & Δ p = \sum_{i = 1}^{N} 2 m v_{x, i} N_{i} = \frac{m Δ t}{a} \sum_{i = 1}^{N} v_{x, i}^{2} = m \overset{―}{v_{x, i}^{2}} \frac{N Δ t}{a}, \end{matrix}

其中我们定义了速度平方得平均值（注意这与式 4 的平方

{\bar{v}}_{x, i}^{2}

不同）

\begin{matrix} (7) & \overset{―}{v_{x, i}^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} v_{x, i}^{2} . \end{matrix}

与上面同理，为了保持总冲量相等，式 6 和式 2 必须相等，得

\begin{matrix} (8) & P = m \overset{―}{v_{x, i}^{2}} \frac{N}{S a} . \end{matrix}

　　从这个公式出发，我们很容易可以得到理想气体状态方程。注意这里的 $S a$ 就是两平板之间的体积，而 $m v_{x, i}^{2}$ 就是单个分子动能 $E_{k, i}$ 的两倍。

1. ^ 除了极端温度或压强的情况

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