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麦克斯韦—玻尔兹曼分布

预备知识 随机变量的变换, 气体分子的速度分布

   理想气体分子的速率分布由麦克斯韦—波尔兹曼分布来描述

\begin{equation} f(v) = 4\pi \qtyRound{\frac{m}{2\pi kT}}^{3/2} v^2 \expRound{-\frac{mv^2}{2kT}} \end{equation}
这是一个概率分布函数, 即速度模长在某个区间 $v \in [v_a, v_b]$ 的概率为
\begin{equation} P_{ab} = \int_{v_a}^{v_b} f(v) \dd{v} \end{equation}

   平均速度为

\begin{equation} \bar v = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \end{equation}
速度平方平均值为
\begin{equation} \overline {v^2} = \frac{3kT}{m} \end{equation}
概率最大的位置为
\begin{equation} v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} \end{equation}
动能分布为
\begin{equation} f(E) = \frac{2}{kT}\sqrt{\frac{E}{\pi kT}} \expRound{-\frac{E}{kT}} \end{equation}

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