气体分子的速度分布

             

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预备知识 多变量分布函数

   当我们描述大量气体分子的运动时,在某时刻可以用一个速度分布函数 $f(v_x, v_y, v_z)$ 描述气体分子的速度分布,或用矢量符号记为 $f( \boldsymbol{\mathbf{v}} )$,也可以用球坐标表示为 $f(v, v_\theta, v_\phi)$.

   我们以下考虑各向同性的速度分部,即 $f(v, v_\theta, v_\phi)$ 与方向 $v_\theta, v_\phi$ 无关,可以简写为 $f(v)$.另外以下将分子视为质点,不考虑其转动和振动等内部运动.

1. 速度的能均分定理

   我们来考虑分子的平均动能以及各个方向的平均动能之间的关系.由于经典力学中动能为 $E_k = mv^2/2$,我们只需要计算分子速度(以及各个分量速度)平方的平均值.

   令 $v_i$ 为速度分量 $v_x, v_y, v_z$ 中的一个,有

\begin{equation} \left\langle v_i^2 \right\rangle = \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} \end{equation}
由于速度分布各向同性,有
\begin{equation} \left\langle v_x^2 \right\rangle = \left\langle v_y^2 \right\rangle = \left\langle v_z^2 \right\rangle \end{equation}
而速度模长平方的分布为
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle v^2 \right\rangle &= \int (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} \\ &= \sum_{i = x,y,z} \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \,\mathrm{d}{v_x} \,\mathrm{d}{v_y} \,\mathrm{d}{v_z} \\ &= \sum_{i = x,y,z} \left\langle v_i^2 \right\rangle = \frac{1}{3} \left\langle v_i^2 \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
这就说明,分子的平均动能和各个分量之间的平均动能满足
\begin{equation} \bar E_{kx} = \bar E_{ky} = \bar E_{kz} = \frac{1}{3} \bar E_k \end{equation}
这相当于把总平均动能均分到了三个方向上,所以称为能均分定理

2. 速率分布

   若把速度(矢量)的模长 $v = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert $ 叫做速率,则类比式 15 ,速率的分布函数为

\begin{equation} F(v) = 4\pi v^2 f(v) \end{equation}

   令气体分子的数量为 $N$,则随机一个分子速度绝对值落在 $[v_a, v_b]$ 范围的概率为(类比式 14

\begin{equation} P_{ab} = \int_a^b F(v) \,\mathrm{d}{v} = \int_a^b 4\pi v^2 f(v) \,\mathrm{d}{v} \end{equation}
所以近似地,该区间中的分子数量为
\begin{equation} N_{ab} = P_{ab} N \end{equation}

   (未完成)

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