气体分子的速度分布

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预备知识　多变量分布函数

　　当我们描述大量气体分子的运动时，在某时刻可以用一个速度分布函数 $f (v_{x}, v_{y}, v_{z})$ 描述气体分子的速度分布，或用矢量符号记为 $f (v)$ ，也可以用球坐标表示为 $f (v, θ, ϕ)$ 。我们以下考虑各向同性的速度分部，即 $f (v, θ, ϕ)$ 与方向 $θ, ϕ$ 无关，可以简写为 $f (v)$ 。另外以下将分子视为质点，不考虑其转动和振动等内部运动。

1. 速度的能均分定理

　　我们来考虑分子的平均动能以及各个方向的平均动能之间的关系。由于经典力学中动能为 $E_{k} = m v^{2} / 2$ ，我们只需要计算分子速度（以及各个分量速度）平方的平均值。

　　令 $v_{i}$ 为速度分量 $v_{x}, v_{y}, v_{z}$ 中的一个，有

\begin{matrix} (1) & ⟨ v_{i}^{2} ⟩ = \int v_{i}^{2} f (v_{x}, v_{y}, v_{z}) d v_{x} d v_{y} d v_{z} . \end{matrix}

由于速度分布各向同性，有

\begin{matrix} (2) & ⟨ v_{x}^{2} ⟩ = ⟨ v_{y}^{2} ⟩ = ⟨ v_{z}^{2} ⟩, \end{matrix}

而速度模长平方的分布为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ⟨ v^{2} ⟩ & = \int (v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}) f (v_{x}, v_{y}, v_{z}) d v_{x} d v_{y} d v_{z} \\ = \sum_{i = x, y, z} \int v_{i}^{2} f (v_{x}, v_{y}, v_{z}) d v_{x} d v_{y} d v_{z} \\ = \sum_{i = x, y, z} ⟨ v_{i}^{2} ⟩ = 3 ⟨ v_{i}^{2} ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

这就说明，分子的平均动能和各个分量之间的平均动能满足

\begin{matrix} (4) & {\bar{E}}_{k x} = {\bar{E}}_{k y} = {\bar{E}}_{k z} = \frac{1}{3} {\bar{E}}_{k} . \end{matrix}

这相当于把总平均动能均分到了三个方向上，所以称为能均分定理。

2. 速率分布

　　若把速度（矢量）的模长 $v = | v |$ 叫做速率，则类比式 15 ，速率的分布函数为

\begin{matrix} (5) & F (v) = 4 π v^{2} f (v) . \end{matrix}

　　令气体分子的数量为 $N$ ，则随机一个分子速度绝对值落在 $[v_{a}, v_{b}]$ 范围的概率为（类比式 14 ）

\begin{matrix} (6) & P_{a b} = \int_{a}^{b} F (v) d v = \int_{a}^{b} 4 π v^{2} f (v) d v . \end{matrix}

所以近似地，该区间中的分子数量为

\begin{matrix} (7) & N_{a b} = P_{a b} N . \end{matrix}

未完成：……

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