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圆周运动的加速度

预备知识 圆周运动的速度

匀速圆周运动的加速度(几何法)

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图1:把速度矢量移到原点再相减

   在圆周运动中,位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是时间的函数.对时间求导后,我们得到速度矢量关于时间的函数.对速度也进行同样的操作,就不难得到圆周运动的加速度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\Delta t} \end{equation}

   现在我们用几何的方法来求该极限.根据矢量减法的定义,计算 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 要先把 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的起点放在一起(例如都放在原点),再从 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1$ 的终点指向 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2$ 的终点得到 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ (图 1 ).

   我们已知匀速圆周运动的速度大小为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = R\omega$, 根据“微小正弦极限”中的结论,把 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的长度用弧长近似,得

\begin{equation} \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert \Delta \theta = (R\omega)\omega \Delta t \end{equation}
所以质点的加速度大小为
\begin{equation} a =\lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \left\lvert \Delta \boldsymbol{\mathbf{v}} \right\rvert }{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\omega ^2 R \Delta t}{\Delta t} = \omega ^2 R \end{equation}
由图可得加速度的方向是速度方向逆时针偏转 $\pi/2$. 又由于速度方向是位移方向逆时针偏转 $\pi/2$,所以匀速圆周运动的加速度的方向与位矢的方向相反.

   结合模长和方向,令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 为位矢(取圆心为坐标原点),就得到加速度的矢量形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}

圆周运动的加速度(求导法)

   现在我们来推导一般圆周运动的加速度(不要求匀速), 将式 4 继续对时间求导得加速度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \dot { \boldsymbol{\mathbf{v}} } = - R \dot\theta^2(\cos \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin \theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) + \ddot\theta R [ \cos\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \sin\left(\theta + \pi/2\right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ] \end{equation}
当角速度 $\omega = \dot\theta$ 为常量时(匀速圆周运动), 上式第二项为零, 第一项与式 4 相同, 当角速度随时间变化时, 由于 $\ddot\theta R = \dot\omega R = \dot v$, 上式可以记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = - \omega ^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} + \dot v \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} \end{equation}
其中 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $ 是速度方向的单位矢量. 所以变速圆周运动除了向心加速度外, 还有一个沿速度方向的加速度.

三维空间的情况

预备知识 连续叉乘的化简

   若要把式 4 拓展到三维空间中围绕过圆心的轴转动的任意匀速圆周运动, 可以对式 5 求时间导数(令 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 为常矢量)得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{v}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
式 5 代入上式, 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}
要验证该式与式 4 吻合, 把连续叉乘化为内积得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \omega^2 r \cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} - \omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} = -\omega^2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} - r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} ) = -\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot \end{equation}
其中 $\theta$ 是 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 之间的夹角, $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\bot$ 是从圆周运动的圆心指向点 $P$ 的矢量, 相当于式 4 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $. 证毕.

   我们再来考虑变速圆周运动的情况, 当 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 的模长随时间变化时, 式 7 变为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
定义角加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }$, 并将式 5 代入, 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
由定义易证右边第二项等于式 6 中的 $\dot v \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} $.

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