图

角动量

预备知识 质点的角动量

系统的角动量

   角动量是矢量,若把系统看做质点系,则系统的角动量等于所有质点的角动量矢量叠加.

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{L}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}

角动量的坐标系变换

   可类比力矩的坐标系变换(式 9 ),坐标系 $A$ 中总角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i \end{equation}
变换到坐标系 $B$ 中,总角动量为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _B = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i + \boldsymbol{\mathbf{L}} _A \end{equation}

角动量的分解

   质心系中的角动量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{ci} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _i \end{equation}
定义质心角动量为 “ 质心处具有系统总质量 $M$ 的质点的角动量” (类比质心动量的定义, 式 3
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} _c = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times (M \boldsymbol{\mathbf{v}} _c) = \boldsymbol{\mathbf{r}} _c \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{p}} _c \end{equation}

   现在我们变换到任意坐标系中,令总角动量为 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} $,由式 3

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} _{c} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i + \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 \end{equation}
由于系统总动量 $\sum_i \boldsymbol{\mathbf{p}} _i$ 等于质心动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _c$,右边第一项等于质心角动量式 5 .最后得到
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{L}} _c + \boldsymbol{\mathbf{L}} _0 \end{equation}
所以任何坐标系中,系统的总角动量等于其质心的角动量加上相其相对质心的角动量

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