图

角动量

预备知识 质点的角动量

系统的角动量

   角动量是矢量,若把系统看做质点系,则系统的角动量等于所有质点的角动量矢量叠加.

\begin{equation} \bvec L = \sum_i \bvec L_i = \sum_i \bvec r_i \cross\bvec p_i = \sum_i m_i \bvec r_i \cross\bvec v_i \end{equation}

角动量的坐标系变换

   可类比力矩的坐标系变换(式 5 ),坐标系 $A$ 中总角动量为

\begin{equation} \bvec L_A = \sum_i \bvec r_{Ai} \cross \bvec p_i \end{equation}
变换到坐标系 $B$ 中,总角动量为
\begin{equation} \bvec L_B = \sum_i (\bvec r_{BA} + \bvec r_{Ai})\cross \bvec p_i = \bvec r_{BA}\cross \sum_i \bvec p_i + \bvec L_A \end{equation}

角动量的分解

   质心系中的角动量为

\begin{equation} \bvec L_0 = \sum_i \bvec r_{ci} \cross \bvec p_i \end{equation}
定义质心角动量为“ 质心处具有系统总质量 $M$ 的质点的角动量” (类比质心动量的定义, 式 2
\begin{equation} \bvec L_c = \bvec r_c \cross (M \bvec v_c) = \bvec r_c \cross \bvec p_c \end{equation}

   现在我们变换到任意坐标系中,令总角动量为 $\bvec L$,由式 3

\begin{equation} \bvec L = \bvec r_{c} \cross \sum_i \bvec p_i + \bvec L_0 \end{equation}
由于系统总动量 $\sum_i \bvec p_i$ 等于质心动量 $\bvec p_c$,右边第一项等于质心角动量式 5 .最后得到
\begin{equation} \bvec L = \bvec L_c + \bvec L_0 \end{equation}
所以任何坐标系中,系统的总角动量等于其质心的角动量加上相其相对质心的角动量

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