贡献者： 零穹
预备知识 光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）
，相对论补全
[1] 本节将以一种 “统一” 的角度给出电磁力和引力的作用量。约定：重复指标代表求和，$\mu,\nu,\rho,\ldots$ 指标取值遍及所有分量 $0,1,2,3$，$i,j,k,\ldots$ 范围除去时间分量 $0$。
1. 从自由粒子到势阱中的粒子
在光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）一节，我们得到了自由粒子的作用量，其具有下面的形式
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}=-m\int\sqrt{ \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{\vec x} ^2}~.
\end{equation}
现在考虑粒子处于势 $V(x)$ 中。尽管非相对论情形（Newton 力学）时处于势为 $V(x)$ 的粒子作用量为
\begin{equation}
S_{NR}=\int \,\mathrm{d}{t} \left(\frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{\vec x}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-V(x) \right) ,~
\end{equation}
但是我们并不能理所当然的将 $V(x)$ 加入
式 1 中得到相对论情形处于势阱 $V(x)$ 中的粒子。换言之，我们不知道如何将 $V(x)$ 放入
式 1 中。
尽管如此，然而可以肯定的是，将 $V(x)$ 放入式 1 中，只有两种可能：a.根号外面，b.根号里面。因此，我们有如下的两种选择：
- E:
\begin{equation}
S=-\int{m\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}+V(x) \,\mathrm{d}{t} }.~
\end{equation}
- G:
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{\vec x} ^2}~.
\end{equation}
选项 G 来源于非相对论极限：首先，$ \left\lvert \,\mathrm{d}{\vec x} \right\rvert \ll \,\mathrm{d}{t} $，所以
\begin{equation}
S\approx-m\int \left\{\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) } \,\mathrm{d}{t} -\frac{ \,\mathrm{d}{\vec{x}^2} }{2\sqrt{1+\frac{2V}{m}} \,\mathrm{d}{t} } \right\} ~.
\end{equation}
其次，令 $V\ll m$（即 $V\ll mc^2$），则
\begin{equation}
\sqrt{1+\frac{2V}{m}}\approx1+\frac{V}{m}.~
\end{equation}
由于在
式 5 中，第二项已经远小于第一项了，因此第二项不需要再保留到 $\frac{V}{m}$ 的修正项，因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
S\approx&-m\int \left\{(1+\frac{V}{m}) \,\mathrm{d}{t} -\frac{ \,\mathrm{d}{\vec x} ^2}{2 \,\mathrm{d}{t} } \right\} \\
=&\int \,\mathrm{d}{t} \left\{\frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{\vec x}}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-V-m \right\} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式表明选项 $G$ 的作用量在适宜的极限下取 Newton 作用量的形式，除了多出一个常数 $-m$，而这一项我们已经知道代表着什么（见
子节 1 ）。
然而，无论是选项 E 还是 G，添加在作用量中的项都不是 Lorentz 不变的。因此，为了保持理论的 Lorentz 不变性（见相对论补全开头的说明），我们必须要进行修正。
2. 相对论补全
无论是 E 还是 G，若我们认为 $V$ 是通过外界固定和施加的，那么作用量无论如何都不能是 Lorentz 不变的。因此，为了保持 Lorentz 不变性，必须改变 $V(x)$ 的形式。改变的关键便是相对论补全。
E 的改进
首先看 E，注意 $V(x)$ 是和 $ \,\mathrm{d}{t} $ 结合的，因此可将 $V(x)$ 视为 Lorentz 矢量场 $A_\mu(x)$ 的时间分量 $A_0(x)$，而 $V(x) \,\mathrm{d}{t} $ 仅是 $A_\mu(x) \,\mathrm{d}{x} ^\mu=A_0(x) \,\mathrm{d}{t} +A_i(x) \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的第一项。因此，我们只需引入一个矢量场 $A_\mu(x)$，从而得到如下作用量
\begin{equation}
S=\int \left\{-m\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}+A_\mu(x) \,\mathrm{d}{x} ^\mu \right\} ~.
\end{equation}
当我们对 $x^\mu$ 进行 Lorentz 变换时，也必须对 $A_\mu$ 进行。两个 Lorentz 矢量的缩并，显然是一个 Lorentz 标量，因此，
式 8 的作用量是 Lorentz 不变的。
G 的改进
对 G 改进的关键是，平等的对待 $ \,\mathrm{d}{t} $ 和 $ \,\mathrm{d}{\vec x} $。若 $ \,\mathrm{d}{t} ^2$ 被某些函数乘，那么 $ \,\mathrm{d}{\vec x} $ 也应被某些函数乘。记 $ \left(1+\frac{2V}{m} \right) $ 为 $g$，因此得到形如 $g(x) \,\mathrm{d}{t} ^2-\tilde g(x) \,\mathrm{d}{\vec x} ^2$ 的式子。而在进行 Lorentz 变换时，$ \,\mathrm{d}{t} ^2$ 将变换为 $ \,\mathrm{d}{t} ^2, \,\mathrm{d}{x} ^i \,\mathrm{d}{x} ^j$ 和 $ \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的线性组合。这似乎预示着根号下必须出现 $ \,\mathrm{d}{t} \,\mathrm{d}{x} ^i$ 的项。
注意到 $ \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{\vec x} ^2$ 是通过 $ \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$ 和 Minkowski 度规 $\eta_{\mu\nu}$ 缩并出现的，因此我们应当将 $ \left(1+\frac{2V}{m} \right) $ 补全为一个 Lorentz 张量 $g_{\mu\nu}(x)$ 的分量。换句话说，我们应该将 $\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$ 推广为随时空变化的矩阵场 $g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$。因此得到 G 的下面的改进：
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}.~
\end{equation}
而
式 4 仅仅是上式的特殊情形。
3. 电磁学的出现
现在看看式 8 对应的运动方程是什么样的。首先利用本征时间（定义 3 ）将其参数化：
\begin{equation}
S=-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} }+\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(x(\tau)) \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
注意第二项是在粒子的时空位置 $x^\mu(\tau)$ 处计算的。换句话说，场 $A_\mu(x)$ 遍及时空，但粒子仅仅在特定的位置取样。
对式 10 变分，得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\delta(-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} })=m\int \,\mathrm{d}{\tau} \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{\delta x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
&=-m\int \,\mathrm{d}{\tau} \eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} \delta x^\nu,\\
&\delta\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(x) \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} =\int \,\mathrm{d}{\tau} \left\{A_\mu(x(\tau)) \frac{\mathrm{d}{\delta x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} +[\partial_\nu A_\mu(x(\tau))\delta x^\nu] \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \right\} \\
&=\int \,\mathrm{d}{\tau} \left\{-\partial_\nu A_\mu(x)+\partial_\mu A_\nu(x) \right\} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta x^\mu\\
\end{aligned}~.
\end{equation}
因此，反对称的张量场
\begin{equation}
F_{\mu\nu}\equiv\partial_\mu A_\nu(x)-\partial_\nu A_\mu(x).~
\end{equation}
出现了。联立
式 11 和
式 12 得
\begin{equation}
\delta S=\int \,\mathrm{d}{\tau} \left(-m\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} +F_{\nu\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \right) \delta x^\nu~.
\end{equation}
从而运动方程为
\begin{equation}
m \frac{\mathrm{d}^{2}{x^\rho}}{\mathrm{d}{\tau}^{2}} ={F^\rho}_{\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
利用四动量的定义 $p^\mu:= \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} $，上式写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{p^\rho}}{\mathrm{d}{\tau}} ={F^\rho}_{\mu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} ~.
\end{equation}
定义
\begin{equation}
E^i:=F^{0i},\quad B_i:=\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F^{jk}.~
\end{equation}
则 $\epsilon^{imn}B_i=\frac{1}{2}(\delta^m_j\delta^{n}_k-\delta^m_k\delta^{n}_j)F^{jk}=F^{mn}$。于是
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{p^i}}{\mathrm{d}{\tau}} =&{F^i}_{0} \frac{\mathrm{d}{x^0}}{\mathrm{d}{\tau}} +F^{ij} \frac{\mathrm{d}{x^j}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
=&{E^i} \frac{\mathrm{d}{x^0}}{\mathrm{d}{\tau}} +\epsilon^{kij}B_k \frac{\mathrm{d}{x^j}}{\mathrm{d}{\tau}} \\
\frac{\mathrm{d}{p^0}}{\mathrm{d}{\tau}} =&F^{0}_i \frac{\mathrm{d}{x^i}}{\mathrm{d}{\tau}} .
\end{aligned}~
\end{equation}
注意 $p^\mu=(E,\vec p)$，并改用参数 $t$，则上式写为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\vec p}}{\mathrm{d}{t}} =\vec E+\vec v\times \vec B,\quad \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{\tau}} =\vec E\cdot \vec v,~
\end{equation}
因此，我们得到了电磁学中粒子在磁场 $\vec B$ 中运动的 Lorentz 力定律，和粒子在电场 $\vec E$ 中如何获得能量的定律。
电荷的概念
注意作用量中的 $x^\mu$ 代表的是粒子的时空坐标，为了不和时空本身混肴，我们最好用 $X^\mu$ 标记。因此，当有多个粒子时，一般的作用量则写为
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int \,\mathrm{d}{\tau} \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} \frac{\mathrm{d}{X_a^\nu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} }+\sum_a e_a\int \,\mathrm{d}{\tau} A_\mu(X_a(\tau_a)) \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} ~.
\end{equation}
这里，每一粒子通过一个不同的强度 $e_a$ 与场 $A_\mu$ “耦合”，而当只有一个粒子时，$e$ 可以归到 $A_\mu$ 里面。我们称 $e_a$ 为
电荷（charge）。对应的运动方程则为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{p_a^\rho}}{\mathrm{d}{\tau_a}} =e_a{F^\rho}_{\mu}(X_a(\tau_a)) \frac{\mathrm{d}{X_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} ~.
\end{equation}
无参数化的形式为
\begin{equation}
S=\int\sum_a \left\{-m_a\sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{X} _a^\mu \,\mathrm{d}{X} _a^\nu}+e_a A_\mu(X_a) \,\mathrm{d}{X} _a^\mu \right\} ~.
\end{equation}
4. 引力的出现
对于选项 G，我们获得了
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{-g_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}.~
\end{equation}
其中，$g_{00}=- \left(1+\frac{2V}{m} \right) ,g_{0i}=g_{i0}=0,g_{ij}=\delta_{ij}$ 是其特例。
让我们处理这一特例
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V}{m} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{\vec x} ^2}.~
\end{equation}
考虑 Newton 引力下，质量为 $m$ 的粒子在质量为 $M$ 的物体下的受到的势 $V=-\frac{GMm}{r}$。我们可以去掉 $2V/m$ 中的 $m$（这当然需要代表引力质量的 $-GMm/r$ 中的 $m$ 和代表惯性质量的 $ma$ 中的 $m$ 是一样的），得到
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1-\frac{2GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{\vec x} ^2}.~
\end{equation}
假设粒子静止在势中，即 $ \,\mathrm{d}{\vec x} =0$，那么
\begin{equation}
S=-m\int\sqrt{ \left(1-\frac{2GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} ^2}\approx-m\int \,\mathrm{d}{t} \left(1-\frac{GM}{r} \right) .~
\end{equation}
由于是静止粒子，因此成立 $ \,\mathrm{d}{\tau} = \left(1-\frac{GM}{r} \right) \,\mathrm{d}{t} $，或 $ \,\mathrm{d}{t} = \,\mathrm{d}{\tau} / \left(1-GM/r \right) > \,\mathrm{d}{\tau} $。这就是说，处于引力场中的粒子的时间走慢了。
引力影响了时间的流动！
引力和弯曲时空
考虑一堆不同质量的粒子，则代替 式 23 的是
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int\sqrt{ \left(1+\frac{2V(x_a)}{m_a} \right) \,\mathrm{d}{t} _a^2- \,\mathrm{d}{\vec x_a} ^2}.~
\end{equation}
若 $V(x_a)$ 不正比于 $m_a$，那么粒子经历的时间 $ \,\mathrm{d}{\tau} _a=\sqrt{ \left(1+\frac{2V(x_a)}{m_a} \right) \,\mathrm{d}{t} _a^2- \,\mathrm{d}{\vec x_a} ^2}$ 将依赖于粒子的质量。即不同质量的粒子经历不同的时间流逝，除非 $V(x_a)$ 正比于 $m_a$。
现在，对一般的情形，即式 22 在多粒子情形将写为
\begin{equation}
S=-\sum_a m_a\int\sqrt{-g_{\mu\nu}(x_a) \,\mathrm{d}{x} _a^\mu \,\mathrm{d}{x} _a^\nu}.~
\end{equation}
其中，$g_{\mu\nu}(x_a)$ 依赖于粒子 $a$ 的性质，例如质量。注意上式就像是弯曲空间中的不同曲线长度的表达式，因此，粒子在引力场中，就等价于在弯曲时空一样。
注意，在数学上，平坦定义为曲率张量处处为 0 的，这意味着度规 $g_{\mu\nu}$ 处处一样。因此，若度规依赖于时空点 $x$，则时空便是非平坦的，即弯曲时空。
从上面可看出，Newton 引力是弯曲时空的一种特例（见式 7 和式 9 ），因为 $g$ 依赖于时空点 $x_a$。因此，引力可视为弯曲时空的表现。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。