电磁力和引力

贡献者：零穹; addis

预备知识　光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量），相对论补全

　　 [1] 本节将以一种 “统一” 的角度给出电磁力和引力的作用量。约定：重复指标代表求和， $μ, ν, ρ, \dots$ 指标取值遍及所有分量 $0, 1, 2, 3$ ， $i, j, k, \dots$ 范围除去时间分量 $0$ 。

1. 从自由粒子到势阱中的粒子

　　在光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）一节，我们得到了自由粒子的作用量，其具有下面的形式

\begin{matrix} (1) & S = - m \int \sqrt{- η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} = - m \int \sqrt{d t^{2} - d x^{2}} . \end{matrix}

现在考虑粒子处于势

V (x)

中。尽管非相对论情形（Newton 力学）时处于势为

V (x)

的粒子作用量为

\begin{matrix} (2) & S_{N R} = \int d t (\frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} - V (x)), \end{matrix}

但是我们并不能理所当然的将

V (x)

加入式 1 中得到相对论情形处于势阱

V (x)

中的粒子。换言之，我们不知道如何将

V (x)

放入式 1 中。

　　尽管如此，然而可以肯定的是，将 $V (x)$ 放入式 1 中，只有两种可能：a.根号外面，b.根号里面。因此，我们有如下的两种选择：

E:
$\begin{matrix} (3) & S = - \int m \sqrt{- η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} + V (x) d t . \end{matrix}$
G:
$\begin{matrix} (4) & S = - m \int \sqrt{(1 + \frac{2 V}{m}) d t^{2} - d x^{2}} . \end{matrix}$

　　选项 G 来源于非相对论极限：首先， $| d x | ≪ d t$ ，所以

\begin{matrix} (5) & S \approx - m \int {\sqrt{(1 + \frac{2 V}{m})} d t - \frac{d x^{2}}{2 \sqrt{1 + \frac{2 V}{m}} d t}} . \end{matrix}

其次，令

V ≪ m

（即

V ≪ m c^{2}

），则

\begin{matrix} (6) & \sqrt{1 + \frac{2 V}{m}} \approx 1 + \frac{V}{m} . \end{matrix}

由于在式 5 中，第二项已经远小于第一项了，因此第二项不需要再保留到

\frac{V}{m}

的修正项，因此

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} S \approx & - m \int {(1 + \frac{V}{m}) d t - \frac{d x^{2}}{2 d t}} \\ = & \int d t {\frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} - V - m} . \end{aligned} \end{matrix}

上式表明选项

G

的作用量在适宜的极限下取 Newton 作用量的形式，除了多出一个常数

- m

，而这一项我们已经知道代表着什么（见子节 1 ）。

　　然而，无论是选项 E 还是 G，添加在作用量中的项都不是 Lorentz 不变的。因此，为了保持理论的 Lorentz 不变性（见相对论补全开头的说明），我们必须要进行修正。

2. 相对论补全

　　无论是 E 还是 G，若我们认为 $V$ 是通过外界固定和施加的，那么作用量无论如何都不能是 Lorentz 不变的。因此，为了保持 Lorentz 不变性，必须改变 $V (x)$ 的形式。改变的关键便是相对论补全。

E 的改进

　　首先看 E，注意 $V (x)$ 是和 $d t$ 结合的，因此可将 $V (x)$ 视为 Lorentz 矢量场 $A_{μ} (x)$ 的时间分量 $A_{0} (x)$ ，而 $V (x) d t$ 仅是 $A_{μ} (x) d x^{μ} = A_{0} (x) d t + A_{i} (x) d x^{i}$ 的第一项。因此，我们只需引入一个矢量场 $A_{μ} (x)$ ，从而得到如下作用量

\begin{matrix} (8) & S = \int {- m \sqrt{- η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} + A_{μ} (x) d x^{μ}} . \end{matrix}

当我们对

x^{μ}

进行 Lorentz 变换时，也必须对

A_{μ}

进行。两个 Lorentz 矢量的缩并，显然是一个 Lorentz 标量，因此，式 8 的作用量是 Lorentz 不变的。

G 的改进

　　对 G 改进的关键是，平等的对待 $d t$ 和 $d x$ 。若 $d t^{2}$ 被某些函数乘，那么 $d x$ 也应被某些函数乘。记 $(1 + \frac{2 V}{m})$ 为 $g$ ，因此得到形如 $g (x) d t^{2} - \tilde{g} (x) d x^{2}$ 的式子。而在进行 Lorentz 变换时， $d t^{2}$ 将变换为 $d t^{2}, d x^{i} d x^{j}$ 和 $d t d x^{i}$ 的线性组合。这似乎预示着根号下必须出现 $d t d x^{i}$ 的项。

　　注意到 $d t^{2} - d x^{2}$ 是通过 $d x^{μ} d x^{ν}$ 和 Minkowski 度规 $η_{μ ν}$ 缩并出现的，因此我们应当将 $(1 + \frac{2 V}{m})$ 补全为一个 Lorentz 张量 $g_{μ ν} (x)$ 的分量。换句话说，我们应该将 $η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}$ 推广为随时空变化的矩阵场 $g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}$ 。因此得到 G 的下面的改进：

\begin{matrix} (9) & S = - m \int \sqrt{- g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} . \end{matrix}

而式 4 仅仅是上式的特殊情形。

3. 电磁学的出现

　　现在看看式 8 对应的运动方程是什么样的。首先利用本征时间（定义 3 ）将其参数化：

\begin{matrix} (10) & S = - m \int d τ \sqrt{- η_{μ ν} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}} + \int d τ A_{μ} (x (τ)) \frac{d x^{μ}}{d τ} . \end{matrix}

注意第二项是在粒子的时空位置

x^{μ} (τ)

处计算的。换句话说，场

A_{μ} (x)

遍及时空，但粒子仅仅在特定的位置取样。

　　对式 10 变分，得到

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} δ (- m \int d τ \sqrt{- η_{μ ν} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ}}) = m \int d τ η_{μ ν} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d δ x^{ν}}{d τ} \\ = - m \int d τ η_{μ ν} \frac{d^{2} x^{μ}}{d τ^{2}} δ x^{ν}, \\ δ \int d τ A_{μ} (x) \frac{d x^{μ}}{d τ} = \int d τ {A_{μ} (x (τ)) \frac{d δ x^{μ}}{d τ} + [\partial_{ν} A_{μ} (x (τ)) δ x^{ν}] \frac{d x^{μ}}{d τ}} \\ = \int d τ {- \partial_{ν} A_{μ} (x) + \partial_{μ} A_{ν} (x)} \frac{d x^{ν}}{d τ} δ x^{μ} \end{aligned} . \end{matrix}

　　因此，反对称的张量场

\begin{matrix} (12) & F_{μ ν} \equiv \partial_{μ} A_{ν} (x) - \partial_{ν} A_{μ} (x) . \end{matrix}

出现了。联立式 11 和式 12 得

\begin{matrix} (13) & δ S = \int d τ (- m η_{μ ν} \frac{d^{2} x^{μ}}{d τ^{2}} + F_{ν μ} \frac{d x^{μ}}{d τ}) δ x^{ν} . \end{matrix}

从而运动方程为

\begin{matrix} (14) & m \frac{d^{2} x^{ρ}}{d τ^{2}} = {F^{ρ}}_{μ} \frac{d x^{μ}}{d τ} . \end{matrix}

　　利用四动量的定义 $p^{μ} := \frac{d x^{μ}}{d τ}$ ，上式写为

\begin{matrix} (15) & \frac{d p^{ρ}}{d τ} = {F^{ρ}}_{μ} \frac{d x^{μ}}{d τ} . \end{matrix}

定义

\begin{matrix} (16) & E^{i} := F^{0 i}, B_{i} := \frac{1}{2} ϵ_{i j k} F^{j k} . \end{matrix}

则

ϵ^{i m n} B_{i} = \frac{1}{2} (δ_{j}^{m} δ_{k}^{n} - δ_{k}^{m} δ_{j}^{n}) F^{j k} = F^{m n}

。于是

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} \frac{d p^{i}}{d τ} = & {F^{i}}_{0} \frac{d x^{0}}{d τ} + F^{i j} \frac{d x^{j}}{d τ} \\ = & E^{i} \frac{d x^{0}}{d τ} + ϵ^{k i j} B_{k} \frac{d x^{j}}{d τ} \\ \frac{d p^{0}}{d τ} = & F_{i}^{0} \frac{d x^{i}}{d τ} . \end{aligned} \end{matrix}

　　注意 $p^{μ} = (E, p)$ ，并改用参数 $t$ ，则上式写为

\begin{matrix} (18) & \frac{d p}{d t} = E + v \times B, \frac{d E}{d τ} = E \cdot v, \end{matrix}

因此，我们得到了电磁学中粒子在磁场

B

中运动的 Lorentz 力定律，和粒子在电场

E

中如何获得能量的定律。

电荷的概念

　　注意作用量中的 $x^{μ}$ 代表的是粒子的时空坐标，为了不和时空本身混肴，我们最好用 $X^{μ}$ 标记。因此，当有多个粒子时，一般的作用量则写为

\begin{matrix} (19) & S = - \sum_{a} m_{a} \int d τ \sqrt{- η_{μ ν} \frac{d X_{a}^{μ}}{d τ_{a}} \frac{d X_{a}^{ν}}{d τ_{a}}} + \sum_{a} e_{a} \int d τ A_{μ} (X_{a} (τ_{a})) \frac{d X_{a}^{μ}}{d τ_{a}} . \end{matrix}

这里，每一粒子通过一个不同的强度

e_{a}

与场

A_{μ}

“耦合”，而当只有一个粒子时，

e

可以归到

A_{μ}

里面。我们称

e_{a}

为电荷（charge）。对应的运动方程则为

\begin{matrix} (20) & \frac{d p_{a}^{ρ}}{d τ_{a}} = e_{a} {F^{ρ}}_{μ} (X_{a} (τ_{a})) \frac{d X_{a}^{μ}}{d τ_{a}} . \end{matrix}

式 19 无参数化的形式为

\begin{matrix} (21) & S = \int \sum_{a} {- m_{a} \sqrt{- η_{μ ν} d X_{a}^{μ} d X_{a}^{ν}} + e_{a} A_{μ} (X_{a}) d X_{a}^{μ}} . \end{matrix}

4. 引力的出现

　　对于选项 G，我们获得了

\begin{matrix} (22) & S = - m \int \sqrt{- g_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} . \end{matrix}

其中，

g_{00} = - (1 + \frac{2 V}{m}), g_{0 i} = g_{i 0} = 0, g_{i j} = δ_{i j}

是其特例。

　　让我们处理这一特例

\begin{matrix} (23) & S = - m \int \sqrt{(1 + \frac{2 V}{m}) d t^{2} - d x^{2}} . \end{matrix}

考虑 Newton 引力下，质量为

m

的粒子在质量为

M

的物体下的受到的势

V = - \frac{G M m}{r}

。我们可以去掉

2 V / m

中的

m

（这当然需要代表引力质量的

- G M m / r

中的

m

和代表惯性质量的

m a

中的

m

是一样的），得到

\begin{matrix} (24) & S = - m \int \sqrt{(1 - \frac{2 G M}{r}) d t^{2} - d x^{2}} . \end{matrix}

　　假设粒子静止在势中，即 $d x = 0$ ，那么

\begin{matrix} (25) & S = - m \int \sqrt{(1 - \frac{2 G M}{r}) d t^{2}} \approx - m \int d t (1 - \frac{G M}{r}) . \end{matrix}

由于是静止粒子，因此成立

d τ = (1 - \frac{G M}{r}) d t

，或

d t = d τ / (1 - G M / r) > d τ

。这就是说，处于引力场中的粒子的时间走慢了。

　　引力影响了时间的流动！

引力和弯曲时空

　　考虑一堆不同质量的粒子，则代替式 23 的是

\begin{matrix} (26) & S = - \sum_{a} m_{a} \int \sqrt{(1 + \frac{2 V (x_{a})}{m_{a}}) d t_{a}^{2} - d {x_{a}}^{2}} . \end{matrix}

若

V (x_{a})

不正比于

m_{a}

，那么粒子经历的时间

d τ_{a} = \sqrt{(1 + \frac{2 V (x_{a})}{m_{a}}) d t_{a}^{2} - d {x_{a}}^{2}}

将依赖于粒子的质量。即不同质量的粒子经历不同的时间流逝，除非

V (x_{a})

正比于

m_{a}

。

　　现在，对一般的情形，即式 22 在多粒子情形将写为

\begin{matrix} (27) & S = - \sum_{a} m_{a} \int \sqrt{- g_{μ ν} (x_{a}) d x_{a}^{μ} d x_{a}^{ν}} . \end{matrix}

其中，

g_{μ ν} (x_{a})

依赖于粒子

a

的性质，例如质量。注意上式就像是弯曲空间中的不同曲线长度的表达式，因此，粒子在引力场中，就等价于在弯曲时空一样。

　　注意，在数学上，平坦定义为曲率张量处处为 0 的，这意味着度规 $g_{μ ν}$ 处处一样。因此，若度规依赖于时空点 $x$ ，则时空便是非平坦的，即弯曲时空。

　　从上面可看出，Newton 引力是弯曲时空的一种特例（见式 7 和式 9 ），因为 $g$ 依赖于时空点 $x_{a}$ 。因此，引力可视为弯曲时空的表现。

[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell

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