三重积

贡献者： JierPeter; addis

部分内容和三矢量的混合积重复

预备知识　几何向量的点乘，几何向量的叉乘

　　在三维欧几里得空间中，有一类常用的特殊运算，称为三重积（triple product），又称混合积，就是选三个向量进行点乘或叉乘。三重积分为两类：标量三重积的结果是标量，向量三重积的结果是向量。

1. 标量三重积

　　取三个向量 $a, b, c$ ，定义它们的标量三重积为 $a \cdot (b \times c)$ 。

　　 $b \times c$ 是向量 $b$ 和向量 $c$ 的叉乘，结果是向量；于是 $a \cdot (b \times c)$ 是向量 $a$ 和向量 $b \times c$ 的点乘，结果是标量。

　　如果将三个向量分别展开为直角坐标，如下：

\begin{matrix} (1) & a \sim (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}), b \sim (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}), c \sim (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}), \end{matrix}

那么根据叉乘和点乘的计算公式可得

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} a \cdot (b \times c) \sim & (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \cdot ((\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}) \times (\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array})) \\ = & (\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} b_{2} c_{3} - b_{3} c_{2} \\ b_{3} c_{1} - b_{1} c_{3} \\ b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1} \end{array}) \\ = & (\begin{array}{c} a_{1} b_{2} c_{3} - a_{1} b_{3} c_{2} \\ a_{2} b_{3} c_{1} - a_{2} b_{1} c_{3} \\ a_{3} b_{1} c_{2} - a_{3} b_{2} c_{1} \end{array}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　标量三重积有直观的几何意义。考虑一个平行六面体，取其一个顶点作为原点，过此顶点的三条边作为三个向量，如图 1 所示。

图 1：标量三重积示意图。图中

c_{∥}

是向量

c

垂直于

a, b

平面的分量。

　　 $a \times b$ 是垂直于 $a, b$ 平面的向量，其长度恰为以 $a, b$ 为边的平行四边形的面积。 $| (a \times b) \cdot c |$ 等于 $a \times b$ 的长度乘以 $c$ 的长度，即图中平行六面体的底面积乘以高，即其体积。

　　考虑到三条边的对称性（没有哪条边更特殊），结合内积的交换性，可知三重积 $a \cdot (b \times c)$ 的几何意义，就是以三个向量为边的平行六面体的体积或其 $- 1$ 倍。

2. 向量三重积

　　取三个向量 $a, b, c$ ，定义它们的向量三重积为 $a \times (b \times c)$ 。

　　 $b \times c$ 是向量叉乘向量，结果是向量；三重积 $a \times (b \times c)$ 同样是向量叉乘向量，结果依然是向量。

　　向量三重积不具有交换性和结合性，也就是说 $a \times (b \times c) \neq (a \times b) \times c$ ；不过它遵守一种叫 “Jacobi 结合性” 的性质，即：

\begin{matrix} (3) & a \times (b \times c) + b \times (c \times a) + c \times (a \times b) = 0 . \end{matrix}

　　从几何上也能理解为什么向量三重积不具有结合性。如图 2 所示， $b \times c$ 是垂直于 $b, c$ 平面的向量，它跟 $a$ 做叉乘后又垂直于 $b \times c$ 自身了，因此最终结果还是在 $b, c$ 平面上。同理， $(a \times b) \times c$ 也必然在 $a, b$ 平面上。

图 2：向量三重积示意图。

　　具体来说，

\begin{matrix} (4) & a \times (b \times c) = b (a \cdot c) - c (a \cdot b) . \end{matrix}

式 4 的几何证明

　　式 4 可以用叉乘和点乘的计算公式证明，也可以用下列几何方法证明。

　　由于 $a \times (b \times c)$ 在 $b, c$ 平面上，因此可以设

\begin{matrix} (5) & a \times (b \times c) = x b + y c . \end{matrix}

　　于是

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} 0 = & a \cdot (a \times (b \times c)) \\ = & a \cdot (x b + y c) \\ = & x a \cdot b + y a \cdot c . \end{aligned} \end{matrix}

因此

\begin{matrix} (7) & \frac{x}{y} = - \frac{a \cdot c}{a \cdot b}, \end{matrix}

或者说

\begin{matrix} (8) & x = γ a \cdot c, y = - γ a \cdot b . \end{matrix}

　　这个 $γ$ 对任何向量三重积都是一样的。这是因为线性性，比如如果

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} a \times (b_{1} \times c) = & γ_{1} b_{1} (a \cdot c) - γ_{1} c (a \cdot b), \\ a \times (b_{2} \times c) = & γ_{2} b_{2} (a \cdot c) - γ_{2} c (a \cdot b), \end{aligned} \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (10) & a \times ((b_{1} + b_{2}) \times c) = (γ_{1} b_{1} + γ_{2} b_{2}) (a \cdot c) - (γ_{1} c + γ_{2} c) (a \cdot b) . \end{matrix}

可是

γ_{1} b_{1} + γ_{2} b_{2}

应该和

b_{1} + b_{2}

共线，因此必须有

γ_{1} = γ_{2}

。

　　既然 $γ$ 对所有三重积都一样，我们就可以选择比较特殊的三重积来计算出 $γ$ 。比如说，选择相互正交的 $a$ 和 $b$ ，于是

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} γ {| a |}^{2} | b | \\ = & γ a (a \times b) \\ = & γ a (a \cdot b) - γ b (a \cdot a) \\ = & a \times (a \times b) \\ = & {| a |}^{2} | b | . \end{aligned} \end{matrix}

由此可知，

γ = 1

。

　　综上即可得证式 4 。

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