三矢量的混合积

             

预备知识 矢量的叉乘

   我们定义以下运算

\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \end{equation}
为矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} , \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的混合积,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 先做叉乘,然后再把得到的矢量与 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 做内积(点乘).注意即使我们把括号去掉这个表达式也没有歧义,因为叉乘只能在矢量之间进行,而点乘的结果是标量.混合积满足
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
这个公式可由图 1 记忆.

图
图 1:式 2 记忆法

   图中箭头的方向由叉乘的方向(顺时针或逆时针)决定,与内积无关,即 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )$.如果混合积的顺序取与箭头相反的方向,根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律).式 2 式 3 互为相反数

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}

   注意即使将混合积省略括号记为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 或者 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 也应该理解为先叉乘后内积.$ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} )$ 没有定义,因为矢量不能叉乘标量.

1. 几何法证明

图
图 2:矢量混合积的几何意义

   如图 2 ,以三个矢量为棱作平行六面体.由习题 1 可知 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert $ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} , \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 所在平行四边形的面积.令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $,则 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $ 为平面的法向量,平行六面体的高为 $ \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert $,所以平行六面体的体积等于底面积乘以高

\begin{equation} V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \left\lvert \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} \right\rvert \end{equation}
同理可得对于同一平行六面体
\begin{equation} V = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{C}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \right\rvert \end{equation}
这里只证明了式 2 的绝对值,要证明正负号,定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} < 0$ 时 $V$ 为负值即可.

2. 代数法证明

预备知识 行列式

   不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} = \begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ C_x & C_y & C_z\end{vmatrix} \end{equation}
而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2

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